Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Метод Гаусса является универсальным методом решения систем линейных уравнений. Он заключается в приведении системы к треугольному виду путем последовательного исключения неизвестных и реализуется в несколько этапов:

I этап – выбирается первое ведущее уравнение, содержащее , и с его помощью из всех остальных уравнений исключается .

II этап – первое ведущее уравнение остается неизменным; выбирается второе ведущее уравнение из всех оставшихся и с его помощью исключается неизвестная ;

III этап – первое и второе ведущие уравнения остаются неизменными. Выбирается третье ведущее и с его помощью исключается и т.д.

Когда система приведена к треугольному виду, то, двигаясь в обратном порядке, находят значения неизвестных величин.

Пример 10. Решить систему методом Гаусса.

В качестве первого ведущего выбираем второе уравнение, т.к. у него первый коэффициент равен единице.

І этап

ІI этап

Из третьего уравнения определяем: ; из второго: , , ; из первого: . Таким образом, .

Замечание. Очень удобной модификацией метода Гаусса является правило прямоугольника, которое тоже реализуется поэтапно.

Пример 11. Рассмотрим систему и решим ее модифицированным методом Гаусса.

Идея подхода прежняя – расширенная матрица приводится к треугольному виду. Она составляется с участием правой части системы и контрольного столбца :

Элементы контрольного столбца равны сумме всех элементов соответствующих строк.

I этап. Считаем первый диагональный элемент не равным нулю (в противном случае поменяет местами строки). Этот элемент назовем первым генеральным элементом. В данном случае – это число 2. Далее первую строку переписываем без изменения, а первый столбец дополняем нулями. Остальные элементы определяем по правилу прямоугольника. Чтобы построить прямоугольник, каждый элемент соединяют с первой строкой и первым столбцом, а затем – с генеральным элементом. Вычисления проводят так: из произведения элементов диагонали, содержащей генеральный элемент, вычитают произведение элементов второй диагонали. В результате указанных преобразований получим:

Контрольный столбец, вычисленный по правилу прямоугольника, по-прежнему должен равняться сумме элементов строки.

II этап. Вторым генеральным элементом будет второй диагональный элемент. Далее первую и вторую строки переписываем без изменения, а первый и второй столбец дополняем нулями. Остальные элементы находим по правилу прямоугольника.

Сократим третью строку на 2, а четвертую – на (– 2).

III этап. Выбираем третий генеральный элемент – он третий по диагонали. Три строки оставляем без изменения, три столбца дополняем нулями, остальные элементы – по правилу прямоугольника.