Исследуем общее уравнение

1) – прямая проходит через начало координат;

2) – прямая параллельна оси ;

а) , ось – уравнение оси ;

3) – прямая параллельна оси ;

а) , - уравнение оси .

д) Уравнение прямой в “отрезках” на осях.

Рассмотрим общее уравнение прямой в предположении, что ни один из коэффициентов не равен 0.

.

Оно может быть приведено к специальному виду, удобному при решении задач. Перенесем в другую часть уравнения

.

Разделим на

или .

Обозначим , тогда

Получено уравнение “в отрезках” на осях: – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси , – на оси .

е) Нормальное уравнение прямой.

Этот вид уравнения получил свое название из-за нормали (перпендикуляра, проведенного из начала координат на прямую) (рис. 18).

Рис. 18.

Обозначим – расстояние от начала координат до прямой, – угол нормали к оси , - текущая точка – .

Из : , – угол с .

Из : , преобразовав, получим:

,

.

– нормальное уравнение.

Главная особенность этого уравнения – сумма квадратов коэффициентов при неизвестных равна единице.

Замечание. Чтобы общее уравнение прямой преобразовать к нормальному виду, его необходимо умножить на нормирующий множитель.

.

Знак берется противоположным свободному члену.

Например:

.

Следствие. Расстояние от точки до прямой

- если прямая задана нормальным уравнением:

и точка , то расстояние точки А до прямой выразится так:

;

- если прямая задана в общем виде, то

.

Пример 25. В треугольнике заданы вершины: , , . Найти длину и уравнение стороны ; длину и уравнение медианы , точку пересечения медиан ; длину и уравнение высоты .

Решение.

Схематично изобразим треугольник:

										а) длину стороны найдем по формуле   .

б) Уравнение стороны составим, используя уравнение прямой, проходящей через две точки

,

,

– уравнение стороны

в) Найдем точку – середину .

, , , .

г) Уравнение медианы находим аналогично уравнению .

– уравнение медианы .

д) Найдем точку – она делит медиану в отношении 2:1, т.е. .

.

е) Высота перпендикулярна прямой – значит, их угловые коэффициенты удовлетворяют условию

, .

Уравнение составим на основе уравнения пучка прямых – ведь нам известна точка и угловой коэффициент .

,

– уравнение высоты .

ж) Длину высоты определим как расстояние от вершины до прямой , представленной в общем виде:

– длина высоты .

Пример 26. Даны две стороны параллелограмма и точка пересечения диагоналей .

Найти уравнения двух других сторон.

Решение.

								В условии даны уравнения смежных сторон (т.к. они не параллельны). Предположим, что это стороны и .

а) Определим вершину как пересечение сторон

.

б) Найдем вершину , зная, что – середина

в) Уравнение параллельно и проходит через точку

.

Уравнения искомых сторон:

и

и

и

Задания для индивидуального решения

часть I. определители, Матрицы,

системы уравнений

В этом разделе предлагаются 30 вариантов заданий, позволяющих проверить практические навыки студентов по основным вопросам модуля: определители, матрицы, системы линейных уравнений и их совместимость. Каждому студенту предлагается 8 заданий с четырьмя вариантами ответов для самоконтроля усвоения материала. Задания можно рассматривать как своеобразные тесты для контроля знаний.

Вариант 1

1. Пользуясь свойствами определителя, не проводя вычислений, указать, какие из определителей равны нулю:

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

2. Найти значение определителя методом Саррюса, с помощью теоремы разложения, дописыванием столбцов:

а) 3;

б) –3;

в) 8;

г) другой ответ.

3. С помощью теоремы разложения найти значение определителя:

а) 16;

б) -5;

в) другой ответ;

г) 3.

4. Найти , если и .

а) ;

б) ;

в) ;

г) другой ответ.

5. Вычислить , если и .

а) ;

б) ;

в) ;

г) другой ответ.

6. Определите, какая из представленных матриц является обратной по отношению по отношению к данной матрице и сделайте проверку.

а) ;	б) ;
в) ;	г) другой ответ.

7. Определить ранг матрицы .

а) 4;

б) 2;

в) 3;

г) 1.

8. Показать совместимость системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы

а) (0; 6; 2);

б) (1;0;-2);

в) другой ответ;

г) (1; -1; 0).

Вариант 2

1. Пользуясь свойствами определителя, не проводя вычислений, указать, какой из определителей не равен нулю:

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

2. Найти значение определителя методом Саррюса, с помощью теоремы разложения, дописыванием столбцов:

а) -1;

б) 3;

в) 1;

г) другой ответ.

3. С помощью теоремы разложения найти значение определителя:

а) -10;

б) 35;

в) другой ответ;

г) -87.

4. Найти , если и .

а) ;

б) ;

в) ;

г) другой ответ.

5. Вычислить , если , .

а) ;

б) ;

в) ;

г) другой ответ.

6. Определите, какая из представленных матриц является обратной по отношению по отношению к данной матрице и сделайте проверку.

а) ;	б) ;
в) ;	г) другой ответ.

7. Определить ранг матрицы .

а) 4;

б) 2;

в) 1;

г) 3.

8. Показать совместимость системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы

а) (1; 1; -1);

б) (0; 1; -3);

в) другой ответ;

г) (1; 2; -1).

Вариант 3

1. Пользуясь свойствами определителя, не проводя вычислений, указать, какой из определителей не равен нулю:

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

2. Найти значение определителя методом Саррюса, с помощью теоремы разложения, дописыванием столбцов:

а) 6;

б) другой ответ;

в) 3;

г) -1.

3. С помощью теоремы разложения найти значение определителя:

а) 109;

б) другой ответ;

в) 53;

г) 266.

4. Найти , если и .

а) ;	б) ;
в) ;	г) другой ответ.

5. Вычислить , если , .

а) ;

б) ;

в) ;

г) другой ответ.

6. Определите, какая из представленных матриц является обратной по отношению по отношению к данной матрице и сделайте проверку.

а) ;	б) ;
в) ;	г) другой ответ.

7. Определить ранг матрицы .

а) 1;

б) 2;

в) 3;

г) 4.

8. Показать совместимость системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы

а) (1; 1; 1);

б) (-1; 1; -1);

в) другой ответ;

г) (0; 1; 0).

Вариант 4

1. Пользуясь свойствами определителя, не проводя вычислений, указать, какой из определителей не равен нулю:

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

2. Найти значение определителя методом Саррюса, с помощью теоремы разложения, дописыванием столбцов:

а) -3;

б) 1;

в) 7;

г) другой ответ.

3. С помощью теоремы разложения найти значение определителя:

а) 100;

б) -80;

в) -25;

г) другой ответ.

4. Найти , если и .

а) ;

б) ;

в) ;

г) другой ответ.

5. Вычислить , если и .

а) ;

б) ;

в) ;

г) другой ответ.

6. Определите, какая из представленных матриц является обратной по отношению по отношению к данной матрице и сделайте проверку.

а) ;	б) ;
в) ;	г) другой ответ.

7. Определить ранг матрицы .

а) 1;

б) 3;

в) 2;

г) 4.

8. Показать совместимость системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы

а) (1; 0; 2);

б) (3; -3; 1);

в) другой ответ;

г) (1; -1; 1).

Вариант 5

1. Пользуясь свойствами определителя, не проводя вычислений, указать, какой из определителей не равен нулю:

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

2. Найти значение определителя методом Саррюса, с помощью теоремы разложения, дописыванием столбцов:

а) 4;

б) 2;

в) -1;

г) другой ответ.

3. С помощью теоремы разложения найти значение определителя:

а) 138;

б) 72;

в) -61;

г) другой ответ.

4. Найти , если и .

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

5. Вычислить , если и .

а) ;

б) ;

в) ;

г) другой ответ.

6. Определите, какая из представленных матриц является обратной по отношению по отношению к данной матрице и сделайте проверку.

а) ;	б) ;
в) другой ответ;	г) .

7. Определить ранг матрицы .

а) 2;

б) 3;

в) 4;

г) 1.

8. Показать совместимость системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы

а) (1; 2; 0);

б) (0; 1; -1);

в) другой ответ;

г) (1; 1; 1).

Вариант 6

1. Пользуясь свойствами определителя, не проводя вычислений, указать, какой из определителей не равен нулю:

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

2. Найти значение определителя методом Саррюса, с помощью теоремы разложения, дописыванием столбцов:

а) 4;

б) 12;

в) другой ответ;

г) -3.

3. С помощью теоремы разложения найти значение определителя:

а) 374;

б) 123;

в) -17;

г) другой ответ.

4. Найти , если и .

а) ;

б) ;

в) ;

г) другой ответ.

5. Вычислить , если и .

а) ;

б) ;

в) ;

г) другой ответ.

6. Определите, какая из представленных матриц является обратной по отношению по отношению к данной матрице и сделайте проверку.

а) ;	б) ;
в) ;	г) другой ответ.

7. Определить ранг матрицы .

а) 3;

б) 4;

в) 2;

г) 1.

8. Показать совместимость системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы

а) (1; -2; -1);

б) (0; -1; -1);

в) (4; -2; -4);

г) другой ответ.

Вариант 7

1. Пользуясь свойствами определителя, не проводя вычислений, указать, какой из определителей не равен нулю:

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

2. Найти значение определителя методом Саррюса, с помощью теоремы разложения, дописыванием столбцов:

а) 4;

б) -1;

в) 1;

г) другой ответ.

3. С помощью теоремы разложения найти значение определителя:

а) 93;

б) 189;

в) 19;

г) другой ответ.

4. Найти , если и .

а) решение найти не возможно;

б) ;

в) ;

г) другой ответ.

5. Вычислить , если и .

а) ;

б) ;

в) ;

г) другой ответ.

6. Определите, какая из представленных матриц является обратной по отношению по отношению к данной матрице и сделайте проверку.

а) ;	б) ;
в) ;	г) другой ответ.

7. Определить ранг матрицы .

а) 1;

б) 2;

в) 3;

г) 4.

8. Показать совместимость системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы

а) (1; 1; -1);

б) (2; 0; -1);

в) другой ответ;

г) (-1; -3; 2).

Вариант 8

1. Пользуясь свойствами определителя, не проводя вычислений, указать, какой из определителей не равен нулю:

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

2. Найти значение определителя методом Саррюса, с помощью теоремы разложения, дописыванием столбцов:

а) 1;

б) - 4;

в) 3;

г) другой ответ.

3. С помощью теоремы разложения найти значение определителя:

а) 42;

б) -24;

в) другой ответ;

г) -84.

4. Найти , если и .

а) ;

б) ;

в) ;

г) другой ответ.

5. Вычислить , если и .

а) ;

б) ;

в) ;

г) другой ответ.

6. Определите, какая из представленных матриц является обратной по отношению по отношению к данной матрице и сделайте проверку.

а) ;	б) ;
в) ;	г) другой ответ.

7. Определить ранг матрицы .

а) 1;

б) 2;

в) 3;

г) 4.

8. Показать совместимость системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы

а) (0; 1; 7);

б) (-1; 0; -1);

в) (-1; 2; 0);

г) другой ответ.

Вариант 9

1. Пользуясь свойствами определителя, не проводя вычислений, указать, какой из определителей не равен нулю:

а) ;	б) ;
в) ;	г)

2. Найти значение определителя методом Саррюса, с помощью теоремы разложения, дописыванием столбцов:

а) 6;

б) 1;

в) другой ответ;

г) -3.

3. С помощью теоремы разложения найти значение определителя:

а) 370;

б) 110;

в) 280;

г) другой ответ.

4. Найти , если и .

а) ;

б) ;

в) ;

г) другой ответ.

5. Вычислить , если и .

а) ;

б) ;

в) ;

г) другой ответ.

6. Определите, какая из представленных матриц является обратной по отношению по отношению к данной матрице и сделайте проверку.

а) ;	б) ;
в) ;	г) другой ответ.

7. Определить ранг матрицы .

а) 3;

б) 1;

в) 2;

г) 4.

8. Показать совместимость системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы

а) (1; 1; 1);

б) (0; 0; 1);

в) другой ответ;

г) (2; 1; 0).

Вариант 10

1. Пользуясь свойствами определителя, не проводя вычислений, указать, какой из определителей не равен нулю:

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

2. Найти значение определителя методом Саррюса, с помощью теоремы разложения, дописыванием столбцов:

а) 10;

б) 5;

в) 15;

г) другой ответ.

3. С помощью теоремы разложения найти значение определителя:

---

---

а) 63;

б) -31;