2015-10-22
1212При определении массовой доли вольфрама в стали были получены следующие результаты (%): 1,37; 1,32; 1,32; 1,36; 1,48; 1,33; 1,27; 1,31.
Провести статистическую обработку этих данных.
Прежде чем рассчитывать среднее значение и погрешность, проверим результаты анализа на наличие грубых промахов по Q-критерию. Располагаем полученные результаты в порядке возрастающих значений: 1,27; 1,31; 1,32; 1,32; 1,33; 1,36; 1,37; 1,48. Подозрение вызывают минимальное и максимальное значения. Рассчитываем Q-критерий по формуле:
где х1 – подозрительно выделяющееся (сомнительное) значение;
х2 – соседнее с ним значение;
R – размах варьирования, равный разности между минимальным и максимальным значениями х в рассматриваемом ряду.
Табл. 1 Коэффициенты Стьюдента (при Р=0,95) Табл.2 Числовые значения Q при Р=0,95
| f=n-1 | t0.95;f | f=n-1 | t0.95;f | f=n-1 | Q | |
| 12,71 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,23 2,20 2,18 | 2,16 2,14 2,13 2,12 2,11 2,10 2,09 2,04 2,02 2,00 1,98 1,96 | 0,94 0,77 0,64 0,56 0,51 0,48 0,46 0,44 |
Для этих значений х величина Q-критерия составляет:
Для Р - 0,95 и n= 8 в табл..2 приводится Qта6л = 0,48. Сравнение с Q1показывает, что Q1< Qта6л и, следовательно, результат 1,27 грубым промахом не является. Однако Q8 > Qта6л, поэтому результат 1,48 считаем грубым промахом и при статистической обработке его не учитываем.
Из оставшихся семи значений находим среднее арифметическое. В практических расчетах среднего результата для удобства вычислений обычно используют формулу
где А - произвольно выбранная величина.
Принимаем А = 1,30 и находим среднее арифметическое:
Дисперсию также рассчитываем по более удобному для практических расчетов выражению:
Подставляем сюда числовые значения:
и находим стандартное отклонение отдельного результата:
=3,27*10-2
Стандартное отклонение среднего арифметического определяем по формуле
=3,27*10-2
По табл. 7.1 находим коэффициент Стьюдента для Р = 0,95 и f=δt0.95;6=2.45 и рассчитываем вероятную погрешность:
При расчетах окончательный результат обычно округляют. Округление следует проводить с соблюдением определенных правил, так как излишнее округление может ухудшить результаты анализа, а вычисления с неоправданно большим числом десятичных знаков без округления требуют больших, но напрасных затрат труда, поскольку не улучшают реальной точности результата. Указание пяти-шести значащих цифр в результатах анализа обычно свидетельствует о некритическом отношении к погрешности числа. Напомним, кстати, что нули, предшествующие первой цифре, отличной от нуля, значащими не являются.
Все вычисления следует проводить с точностью, на порядок или два большей, чем погрешность измерения, и уменьшать число знаков можно только в конечной величине. (Погрешность анализа обычно характеризуется числом с одной или двумя значащими цифрами.) Результат анализа следует приводить с таким числом знаков, чтобы одна или две последние цифры характеризовали тот же разряд, который имеет погрешность.
Округляем окончательные результаты расчетов и получаем, что массовая доля вольфрама находится в границах доверительного интервала (1,33±0,03)%.
Если будет предъявлено требование снизить относительную погрешность определения вольфрама до 1,0%, его можно удовлетворить или за счет увеличения числа параллельных проб, или за счет совершенствования методики и уменьшения погрешности единичного определения при том же числе параллельных. Рассмотрим оба пути. Относительная погрешность ±1,0% означает, что вероятная абсолютная погрешность в данном случае будет равна 1,33 • 0,01 = 0,0133 (%).
Для определения числа параллельных проб, удовлетворяющего этому условию, воспользуемся соотношением
Уже беглый взгляд на это соотношение показывает, что n > 20, так как при n = 20 получается t = 0,41 
= 1,83, а это существенно меньше табличного t0.95;19 = 2,09. При n= 26 получаем t = 0,41 
= 2,09. Это уже близко к табличным t0.95;20= 2,09 и t0.95;30 = 2,04, гарантирующим, что при 26 параллельных определениях погрешность с вероятностью 0,95 не будет превышать заданный предел.
По этой формуле находим, при какой погрешности единичного определения вероятная погрешность анализа будет удовлетворять предъявленному требованию
т.е. имеющуюся погрешность единичного определения, равную 0,0327, следует уменьшить в 2,3 раза.
Практически, по-видимому, следует использовать оба пути, так как при снижении погрешности единичного определения в 1,5 раза, т.е. до 0,02 вместо 0,0327, число параллельных проб в соответствии с соотношением
будет составлять 12.
Действительно, при n= 12tрасч = 0,66 
= 2,30, а табличное t0.95;11= 2,20, что подтверждает реальность рассчитанного числа проб.
