Вот одна из современных задач на смешивание

МОУ Школа с.Белоярск

Решение задач на концентрации.

Учитель математики

Бахрина Татьяна Ильинична

Решение задач на концентрации.

В школьном курсе математики мало внимания уделяется задачам на смеси, сплавы, концентрации растворов. Эти задачи включены в варианты ЕГЭ по предмету и вызывают большие затруднения у выпускников.

Приведем старинный способ решения задач на смешивание веществ из арифметики Магницкого.

Задача 1. Как смешать масла?

У некоторого человека были продажные масла: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла стоимостью 7 гривен?

Друг под другом пишутся стоимости имеющихся масел, слева от них и примерно посередине – стоимость масла, которое должно получиться после смешивания. Соединив написанные чиста черточками получим такую картину:

 

Меньшую цену вычтем из цены смешанного масла, и результат поставим справа от большей цены. Затем из большей цены вычтем цену смешанного масла, а то, что останется, напишем справа от меньшей цены. Получится такая картина:

6 3

 

10

Из нее делается заключение, что дешевого масла нужно взять втрое больше, чем дорогого, т.е. для получения одного ведра масла ценою 7 гривен нужно взять дорогого масла 1/4 ведра, а дешевого 3/4 ведра.

Предложенный способ позволяет легче запомнить последовательность действий при решении задач на смешивание и добиться автоматизма при выполнении самих действий..

Вот одна из современных задач на смешивание.

Задача 2. Имеется два раствора 68% и 78% серной кислоты. Сколько надо взять каждого раствора серной кислоты, чтобы получить 100 граммов 70% раствора серной кислоты?

Решение. По изложенному выше способу имеем:

68 8

 

78

Таким образом, надо взять 80 граммов 68% и 20 граммов 78% растворов серной кислоты.

Старинный способ решения задач на смешивание двух веществ всегда позволяет получить правильный ответ.

В самом деле, предположим, что смешиваются два вещества – первое стоимостью a гривен за фунт и второе b гривен за фунт. Желательно же получить вещество стоимостью с гривен за фунт. Будем считать, что а меньше b. Ясно, что если с больше b или с меньше а, то задача не разрешима (смешивая дешевые вещества дорогое не получишь). Поэтому можно считать, что с больше a, но меньше b. Смешаем 1 фунт первого вещества и g фунтов второго. В результате получится 1+g фунтов вещества стоимостью a+bg гривен. Один фунт смеси должен стоить с гривен. Значит, должно выполняться равенство a+bg=c(1+g). Отсюда находим g=(c-a):(b-c).

Вещества нужно мешать в отношении или (b-c):(c-a). Но именно это отношение и дает старинный способ:

A b-c

c

 

B c-a

Рассмотрим решение задач из сборника М.Л. Галицкого по алгебре для 8-9 классов с углубленным изучением математики.

Задача 3.(10.26) Смешали 10% и 25% растворы соли и получили 3 кг 20% раствора. Какое количество каждого раствора в килограммах было использовано?

Решение:

10% 5 частей

 

20% (3 кг)

 

25% частей

 

– 10%-ого раствора.

– 25%-ого раствора.

Ответ: 1 кг; 2 кг.

Задача 4. (10.27) Имеются два сплава золота и серебра. В одном сплаве количество этих металлов находится в отношении 2:3, а в другом – в отношении 3:7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5:11?

Используем для решения этой задачи старинный метод из арифметики Магницкого.

В первом сплаве золота 2 части из 5-ти, = 0,4 = 40%.

Во втором сплаве золота 3 части из 10-ти, = 0,3 = 30%.

В третьем сплаве золота 5 частей из 16-ти, = 0,3125 = 31,25%.

30% 8,75 = 0,875

 

31,25%

 

40% = 0,125

8∙0,875 = 7кг – сплава, в котором золото и серебро находятся в отношении 3:7

8∙0,125 = 1кг – сплава, в котором золото и серебро находятся в отношении 2:3

Ответ: 1 кг; 7 кг.

Задача 5 (из текста ЕГЭ). Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?

Решение: (пресная вода)

0% 3,5 = 0,7

1,5%

5% (30кг) = 0,3

0,3 – 30 кг

0,7 – х кг

= 70 кг – пресной воды.

Ответ: 70 кг.

Изложенный в статье метод Магницкого позволяет сократить время для решения задач данного типа, решать трудные задачи всем учащимся, которые знают действие с обыкновенными дробями.