Скорость истечения и расход в адиабатически изолированных каналах без трения

Первый закон термодинамики в форме (6.8) легко интегрируется, так как входящие в него дифференциалы являются полными: причём этот результат справедлив как для обратимого течения, так и для необратимого. Обычно интересуются скоростью w ₂потока в выходном сечении канала: (6.14)

Мы будем для определённости рассматривать только сопла, в которых скорость на выходе w ₂значительно превышает скорость на входе w ₁, так что под корнем в (6.14) можно пренебречь вторым слагаемым:

(6.15)

Из (6.12) следует также, что разность энтальпий при течении в адиабатических соплах равна полезной внешней работе потока, откуда

(6.16)

В случае идеального газа на основании выражения для полезной внешней работы адиабатического процесса (3.33) получаем

(6.17)

Массовый расход газа при известной скорости в выходном сечении находится на основании определения (6.9)

где удельный объём в выходном сечении находится из условия адиабатичности процесса, т.е.

(6.18)

С учётом этого выражение для массового расхода идеального газа принимает вид

(6.19)

Построим графики зависимости скорости истечения газа из сопла w ₂ и массового расхода газа G от отношения давлений за соплом p ₂ и перед соплом p ₁, для чего введём обозначение

(6.20)

причём β может изменяться в пределах от 0 до 1, так как давление газа на выходе p ₂ для сопел по определению меньше давления на входе p ₁ и оба они положительны.

Для упрощения графического представления введём также безразмерные скорость истечения и массовый расход с помощью равенств

(6.21)

Тогда для безразмерных скорости истечения и расхода получаем следующие выражения (графики этих функций показаны на рис. 6.2.):

 

(6.22)

Сравнение с экспериментом показывает, что формулы (6.22) для скорости и расхода (или (6.17) и (6.19) для размерных величин) справедливы в интервале значений отношения давлений β от некоторого критического β _кр до единицы, причём при массовый расход G принимает максимальное значение. В интервале же массовый расход не зависит от отношения давлений β и оказывается равным G _max, в то время как теория даёт ниспадающую до нуля ветвь при уменьшении β до нуля (на рисунке показана пунктиром). Скорость потока в этом же интервале β может вести себя двояким образом: либо возрастать с уменьшением отношения давлений, что описывается теоретической формулой (6.17), либо оставаться постоянной и равной скорости при критическом отношении давлений β _кр. Вычисляя β _кр из условия максимума массового расхода, получаем

(6.23)

Таким образом, критическое отношение давлений при адиабатном течении идеального газа в соплах зависит только от его показателя адиабаты, т.е. от числа атомов в молекулах, составляющих газ. Значения β _кр представим в табл. 6.1. Здесь же приведено ориентировочное значение β _кр для водяного пара вблизи верхней пограничной кривой.

Таблица 6.1

Газ	1 – атомный	2 – атомный	3 – и более атомный	Водяной пар
Число степеней свободы f
Показатель адиабаты k	1.67	1.40	1.33	–
Критическое отношение β кр	0.487	0.528	0.540	0.546

Для выяснения физического смысла расхождения теории с экспериментом в интервале значений отношения давлений , подставим β = β _кр (6.23) в выражение для скорости истечения из адиабатического сопла (6.17):

С другой стороны, из условия адиабатичности процесса течения имеем

Отсюда находим, что скорость истечения газа при критическом отношении давлений определяется выражением

(6.24)

а это есть не что иное, как скорость звука в газах, т.е. скорость распространения малых возмущений давления, плотности и т.д. Таким образом, аномалия в поведении скорости потока в адиабатическом сопле связана с переходом от дозвукового режима течения к сверхзвуковому.