2017-10-31
540ЗАНЯТИЕ № 4
Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Эквивалентности.
Необходимые сведения.
1. Пусть 
и 
– две бесконечно малые функции при 
. Рассмотрим 
.
Если =0, то бесконечно малая – более высокого порядка, чем .
Если = 
, то бесконечно малая – более низкого порядка чем , или,
наоборот: – более высокого порядка, чем .
Если = 
, то бесконечно малые и – одного порядка малости.
Если же эта константа 
, то две бесконечно малые называются эквивалентными при
и это обозначается 
,
2. Пусть 
и 
– две бесконечно большие функции при . Рассмотрим 
.
Если = , то – бесконечно большая более высокого порядка (степени роста), чем . Другими словами, растёт быстрее, чем при .
Если =0, то – бесконечно большая более низкого порядка, чем (растёт медленнее, чем , при ).
Если = , то бесконечно большие и – одного порядка роста
при 
.
Если же эта константа , то две бесконечно большие и называются
эквивалентными при и это обозначается: 
, .
3. Таблица основных эквивалентностей бесконечно малых величин:
Эквивалентности, следующие
из первого замечательного предела:  
| Эквивалентности, следующие
из второго замечательного предела: 
|
 при 
|  при
|
 при
|  при
|
 при
|  при
|
 при
|  при
|
 при
|  при
|
4. Если , , 
, , то 
= 
Математический анализ 1 курс 1 семестр
Задачи для решения в аудитории.
1.Определить порядок малости относительно 
при 
:
2.Доказать, что 
имеет 2-й порядок малости относительно 
при :
, 
3.Вычислить пределы, используя эквивалентные бесконечно малые:
3.1) 
3.2) 
3.3) 
3.4) 
3.5) 
3.6) 
3.7) 
3.8) 
3.9) 
3.10) 
3.11) 
3.12) 
4.Определить порядок роста бесконечно большой относительно = при 
:
5.Подобрать такие константы С и k, чтобы , :
5.1) 
, 
, 
5.2) 
, , 
Домашнее задание.
- Таблицу эквивалентностей выучить наизусть, уметь выводить
2. Ефимов – Поспелов, том 2, №№ 5.347-5.357, 5.359, 5.364-5.376
3*. Кудрявцев, Кутасов, Чехлов, Шабунин, том1, гл.2, параграф 9, стр.189-192,№№ 44 - 52, 58
При подготовке к самостоятельной работе № 4 обратите внимание на вычисление пределов вида:
а) 
в) 
с) 
