Задачи для решения в аудитории

ЗАНЯТИЕ № 4

 

Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Эквивалентности.

Необходимые сведения.

 

1. Пусть и – две бесконечно малые функции при . Рассмотрим .

Если =0, то бесконечно малая – более высокого порядка, чем .

Если = , то бесконечно малая – более низкого порядка чем , или,

наоборот: – более высокого порядка, чем .

Если = , то бесконечно малые и – одного порядка малости.

Если же эта константа , то две бесконечно малые называются эквивалентными при

и это обозначается ,

 

2. Пусть и – две бесконечно большие функции при . Рассмотрим .

Если = , то – бесконечно большая более высокого порядка (степени роста), чем . Другими словами, растёт быстрее, чем при .

Если =0, то – бесконечно большая более низкого порядка, чем (растёт медленнее, чем , при ).

Если = , то бесконечно большие и – одного порядка роста

при .

Если же эта константа , то две бесконечно большие и называются

эквивалентными при и это обозначается: , .

 

3. Таблица основных эквивалентностей бесконечно малых величин:

 

Эквивалентности, следующие из первого замечательного предела:	Эквивалентности, следующие из второго замечательного предела:
при	при
при	при
при	при
при	при
при	при

 

4. Если , , , , то =

 

Математический анализ 1 курс 1 семестр

 

Задачи для решения в аудитории.

 

1.Определить порядок малости относительно при :

 

2.Доказать, что имеет 2-й порядок малости относительно при :

,

 

3.Вычислить пределы, используя эквивалентные бесконечно малые:

 

3.1) 3.2) 3.3) 3.4)

 

3.5) 3.6) 3.7) 3.8)

 

3.9) 3.10) 3.11) 3.12)

 

 

4.Определить порядок роста бесконечно большой относительно = при :

 

5.Подобрать такие константы С и k, чтобы , :

5.1) , ,

5.2) , ,

 

 

Домашнее задание.

1. Таблицу эквивалентностей выучить наизусть, уметь выводить

2. Ефимов – Поспелов, том 2, №№ 5.347-5.357, 5.359, 5.364-5.376

 

3*. Кудрявцев, Кутасов, Чехлов, Шабунин, том1, гл.2, параграф 9, стр.189-192,№№ 44 - 52, 58

 

При подготовке к самостоятельной работе № 4 обратите внимание на вычисление пределов вида:

 

а) в) с)