2017-12-14
713Лабораторная работа №6
ИНТЕГРАЛ
Цель: закрепить знания по теме «Интеграл», научиться:вычислять интегралы путем применения таблицы и свойств интегралов, и с помощью простейших преобразований, приводящих подынтегральное выражение в табличному интегралу; выработать навык интегрирования подстановкой, установить связь подстановки с внесением под знак дифференциала;установить, для каких интегралов применяется интегрирование по частям, какая часть под интегрального выражения обозначается за 
и какая за 
; вычислять определенный интеграл методами подстановки и по частям.
Ход выполнения работы:
I. Ответить на контрольные вопросы:
1. В чем состоит задача интегрального исчисления?
2. Определение первообразной функции.
3. Определение неопределенного интеграла.
4. Сформулируйте свойства неопределенного интеграла.
II. Выполнить практическое задание.
Методические рекомендации:
1. В следующих равенствах заполнить пропущенные места:
1) 
Решение:
|
|
|
Дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал независимой переменной, значит нужно найти функцию, производная которой равна 
. Это 
.
2) 
Ответ: 
3) 
Ответ: 
4) 
Ответ: 
5) 
Ответ: 
6) 
Ответ: 
2. Найти интегралы:
Методические рекомендации:
Обратить внимание та то, что таблицу интегралов надо знать наизусть, чтобы свободно ею пользоваться.
ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ
Найти интегралы:
1) 
Решение:
Студент должен сформулировать правила интегрирования (интеграл от суммы и постоянном многочлене) и взять интегралы по формулам:
2) 
3) 
4)
4) 
разделим числитель почленно на знаменатель
5)Вычислить интеграл 
Решение:
Интеграл не является табличным. Табличный выглядит так: 
, для того, чтобы данный интеграл стал табличным, надо иметь 
, но 
, т.е. внесение постоянного множителя 
под знак дифференциала увеличивает дифференциал в раз: 
поэтому имеем: 
7) 
Под знаком интеграла степенная функция с показателем 
, но не табличный, т.к. в основании степени и под знаком дифференциала стоят разные выражения.
Рассмотрим 
т.е. 
Получим: под знаком дифференциала, стоящего в интеграле, можно ввести любое постоянное слагаемое.
Вернемся к вычислению интеграла:
3. Найти инреграл, применив интегрирование подстановкой:
Методические рекомендации:
или 
.
Найти инрегралы, применив метод интегрирования по частям.
Методические рекомендации:
1. Вычислить: 
Решение:
Видим, что из двух множителей 
и 
, первый упрощается после дифференцирования, а второй не изменяется, ни от дифференцирования, ни от интегрирования, получим:
|
|
|
2. Вычислить: 
Решение:
видим, что множитель 
изменил степень, она стала на единицу меньше , еще раз применим интегрирование по частям
:
Замечание: в рассмотренных примерах мы следовали общему указанию: выбирать за множитель, упрощающийся от дифференцирования.
Попробуем отступить от этого указания.
Пусть 
.
При решении этого примера мы принимаем за множитель . Попробуем теперь принять за множитель 
, хотя он не упрощается от дифференцирования. Тогда
Хотя это равенство верное, но оно бесполезно, т.к. правый интеграл сложнее левого.
3. Вычислить: 
Решение:
В этом примере от дифференцирования упрощается трансцендентный множитель, его и примем за .
Последний интеграл от неправильной рациональной дроби и надо исключить целую часть:
Значит: 
.
4. Вычислить определенный интеграл:
Методические рекомендации:
1. 
.
Решение:
.
2. 
.
3. 
.
4. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами 
Методические рекомендации:
Решение. Найдём точки пересечения парабол. Для этого решим систему уравнений 
 |
.
Получили две точки 
Найдём площадь фигуры:
Варианты заданий:
1 и 6 вариант
1. 
2. 
3. 
4. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями 
2 и 7 вариант
1. 
2. 
3. 
4. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями 
3 и 8 вариант
1. 
2. 
3. 
4. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями 
4 и 9 вариант
1. 
2. 
3. 
4. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями 
5 и 10 вариант
1. 
2. 
3. 
4. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями 
Вариант для бонусных баллов
1. 
2. 
3. 
3. 
4.Найти площадь фигуры, ограниченную линиями 
