Описание метода Гаусса для частного случая

Система линейных алгебраических уравнений

При записи систем линейных уравнений применяются следующие обозначения: переменные обозначаются буквой x с индексом, который указывает номер переменной, коэффициенты при переменной обозначаются буквой a с двумя индексами: первый индекс указывает номер уравнения, второй ˗ номер переменной. Свободные члены снабжаются также двумя индексами.

Система n линейных алгебраических уравнений с n переменными запишется следующим образом:

(1)

Решением системы (1) называется совокупность таких значений переменных при подстановке которых в данную систему каждое уравнение системы обращается в истинное числовое равенство.

 

Описание метода Гаусса для частного случая

Метод Гаусса является одним из распространенных методов решений систем линейных уравнений. В основе метода лежит приём последовательного исключения переменных для получения эквивалентной треугольной или трапецеидальной системы уравнений. Сущность метода проиллюстрируем на системе трёх линейных уравнений с тремя переменными:

(2)

Пусть (в противном случае переставим уравнения так, чтобы это условие выполнялось). Разделив коэффициенты первого уравнения системы (3) на , получим уравнение:

Обозначим

или

Тогда уравнение (3) примет вид:

Исключим переменную из второго и третьего уранений системы (2). Чтобы исключить переменную из второго уравнения системы, нужно из этого уравнения вычесть уравнение (4), умноженное на :

–

_____________________________________________________________ (5)

т.е.

Обозначим , , ,

Или

Уравнение (5) примет вид:

(6)

Для исключения переменной из третьего уравнения системы (2) вычтем из этого уравнения уравнение (4), умноженное на В результате получим:

Обозначив , перепишем полученное уравнение в виде:

.

В результате проведённых эквивалентных преобразований получим систему линейных уравнений:

Разделив коэффициенты второго уравнения системы (7) на , получим уравнение:

где

Исключим из третьего уравнения системы (7). Для этого вычтем из него уравнение (8), умноженное на . Получим:

Обозначив , перепишем уравнение в виде: . Если , то разделив полученное уравнение на , получим уравнение:

где .

Таким образом, в результате преобразований получена система трёх уравнений:

Если , то имеем систему:

В случае система (10) и, следовательно, система (2) не имеют решений. Если то третье уравнение, имеющее вид , исключаем и получаем трапецеидальную систему: