По дисциплине «математика-2»

ВОПРОСЫ К КОЛЛОКВИУМУ-1

1. Какие основные задачи решают дифференциальное и интегральное исчисления?

2. Какую функцию называют первообразной для данной функции? Какими свойствами первообразная функция обладает?

3. Что называют неопределённым интегралом? Для каких функций он всегда существует?

4. Какие неопределённые интегралы называют - «неберущиеся». Приведите примеры таких интегралов.

5. Какими свойствами обладает неопределённый интеграл? Перечислите их.

6. Какую функцию называют интегрируемой на промежутке ? Каким образом связаны между собой понятия: непрерывность и интегрируемость функции на промежутке ?

7. Какой способ вычисления неопределённого интеграла называют непосредственным интегрированием?

8. В чём состоит суть метода замены переменной при вычислении неопределённого интеграла?

9. Запишите формулу замены переменной в неопределённом интеграле, выполняемую методом подстановки. Какие условия при этом должны быть выполнены?

10. Запишите формулу интегрирования по частям в неопределённом интеграле. Какие условия должны быть при этом выполнены? При вычислении каких интегралов она применяется?

11. Схема вычисления интеграла ?

12. Схема вычисления интеграла ?

13. Какую функцию называют рациональной функцией? Целой рациональной функцией? Дробной рациональной функцией (рациональной дробью)? Неправильной и правильной рациональной дробью? Приведите примеры.

14. Представление неправильной дроби через правильную дробь. Всегда ли такое представление возможно? Каким способом, если это возможно, можно получить такое представление?

15. Какие рациональные дроби называют простыми (элементарными)? Сформулируйте правило разложения правильной дроби на простые дроби.

16. Приведите общую схему вычисления интеграла от неправильной рациональной дроби.

17. Какую подстановку называют универсальной тригонометрической подстановкой? При вычислении каких интегралов она применяется? Запишите формулу замены переменной в неопределённом интеграле с помощью такой подстановки.

18. Какую подстановку при вычислении интегралов применяют, если ? Запишите формулу замены переменной в неопределённом интеграле в этом случае.

19. Какую подстановку при вычислении интегралов применяют, если ? Запишите формулу замены переменной в неопределённом интеграле в этом случае.

20. Какую подстановку при вычислении интегралов применяют, если ? Запишите формулу замены переменной в неопределённом интеграле в этом случае.

21. Схема вычисления интегралов , где ?

22. Схема вычисления интегралов

23. Схема вычисления интегралов .

24. Что называют определённым интегралом? Его геометрический смысл? Какую фигуру называют криволинейной трапецией?

25. Какими свойствами обладает определенный интеграл? Перечислите их.

26. Запишите формулу Ньютона-Лейбница. Для каких функций она справедлива?

27. Запишите формулу замены переменной в определённом интеграле. Какие условия при этом должны быть выполнены?

28. Запишите формулу интегрирования по частям в определённом интеграле. Какие условия при этом должны быть выполнены?

29. Запишите формулы для вычисления площадей плоских фигур, заданных декартовыми координатами, с помощью определённого интеграла.

30. Запишите формулу для вычисления длины дуги гладкой кривой (заданной декартовыми координатами) с помощью определённого интеграла.

31. Какое тело называют телом вращения? Запишите формулу для вычисления объёма тел вращения относительно координатных осей.

32. Что называют несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования? С бесконечным нижним пределом интегрирования? Какие интегралы называют сходящимися, а какие расходящимися?