2017-12-14
1365
|
Рис. 5.4
Р е ш е н и е
По первому закону Кирхгофа для узла «1» (рис. 5.4)
Ф1 +Ф2 = Ф3. (5.4)
Для графического решения уравнения (5.4) необходимо иметь зависимости всех трех потоков в функции одной переменной. Этой общей для всех магнитных потоков в данной цепи переменной является магнитное напряжение между узлами «1» и «2». Таким образом, нелинейное уравнение (5.4) может быть графически разрешено, если его представить в виде
Ф1(U М12) +Ф2(U М12) = Ф3(U М12). (5.5)
Зависимости Ф1(U М12), Ф2(U М12) и Ф3(U М12) могут быть построены на основании уравнений по второму закону Кирхгофа для схемы (рис. 5.4):
U М12(Ф1) = I 1 W 1 – U М1 (Ф1), (5.6)
U М12(Ф2) = I 2 W 2 – U М2 (Ф2), (5.7)
U М12(Ф3) = U М3(Ф3) + U d3 (Ф3). (5.8)
Порядок построения вебер-амперных характеристик (5.6)–(5.8) по данным кривой намагничивания электротехнической стали 2411 (табл. 3) приведен в табл. 5.5.
|
|
|
Зависимости Ф1(U М12), Ф2(U М12) и Ф3(U М12), построенные по результатам табл. 5.5, приведены на рис. 5.5.
Посредством суммирования ординат зависимостей Ф1(U М12) и Ф2(U М12), соответствующих одному и тому же значению магнитного напряжения U М12, строится вебер-амперная характеристика (Ф1 +Ф2) = = f (U М12). Точка m 3 пересечения характеристики (Ф1 +Ф2) = f (U М12) с кривой Ф3(U М12), в которой удовлетворяется уравнение (5.2), определяет магнитное напряжение U М12 и магнитный поток Ф3 = 2,25 мВб.
Рис. 5.4
Т а б л и ц а 5.5
| В | Н | I сердечник | II сердечник | III сердечник | |||||||
| Ф1 | U M1 | U M12 | Ф2 | U M2 | U M12 | Ф3 | U M3 | U d3 | U M12 | ||
| В 1 S 1 | H 1 l 1 | F 1 – U M1 | В 2 S 2 | H 2 l 2 | F 2 – U M2 | В 3 S 3 | H 3 l 3 | Ф3 R d3 | U d3 + U M3 | ||
| Тл | А/м | мВб | А | А | мВб | A | A | мВб | А | A | A |
| 0,67 | 4,02 | 4,02 | 4,02 | 17,8 | 1082,8 | ||||||
| 0,9 | 5,4 | 5,4 | 5,4 | 26,7 | 1456,7 | ||||||
| 1,05 | 6,3 | 6,3 | 6,3 | 42,6 | 1712,6 | ||||||
| 1,14 | 6,83 | 6,83 | 6,83 | 71,1 | 1881,1 | ||||||
| 1,42 | 8,5 | 8,5 | –124 | 8,5 | |||||||
| 1,53 | 9,16 | –155 | 9,16 | –655 | 9,16 | ||||||
| –0,67 | –100 | –4,02 | –52 | –4,02 | –52 | –4,02 | –17,8 | –1065 | –1082,8 | ||
| –0,9 | –150 | –5,4 | –78 | –5,4 | –78 | –5,4 | –26,7 | –1430 | –1456,7 | ||
| –1,05 | –240 | –6,3 | –125 | –6,3 | –125 | –6,3 | –42,6 | –1670 | –1712,6 | ||
| –1,14 | –400 | –6,83 | –208 | –6,83 | –208 | –6,83 | –71,1 | –1810 | –1881,1 | ||
| –1,42 | –1200 | –8,5 | –624 | –8,5 | –624 | –8,5 | –214 | –2250 | –2464 |
Ординаты точек m 1 и m 2 пересечения прямой (m – m 3) с кривыми Ф1(U М12) и Ф2(U М12) дают соответственно магнитные потоки Ф1 = = 7,75 мВб и Ф2 = –5,5 мВб.
Ответ: Ф1 = 7,75 мВб, Ф2 = –5,5 мВб, Ф3 = 2,25 мВб.
|
|
|
5.2. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ с использованием ЗАМЕНЫ
РЕАЛЬНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
УСЛОВНО-НЕЛИНЕЙНЫМИ
(расчет по действующим значениям
эквивалентных синусоид)
В задаче по расчету нелинейной цепи переменного тока рассматривается последовательно параллельная цепь, содержащая два безынерционных элемента (нелинейную индуктивность и нелинейную емкость). Задача должна быть решена с использованием метода эквивалентных синусоид (посредством замены безынерционных элементов условно-нелинейными).
Содержание задачи
Схемы рис. 5.6–5.11 включают в себя линейные (r, r 1, L, C) и нелинейные элементы. В качестве нелинейных элементов рассматриваются нелинейная индуктивность (НЭ1) и нелинейный конденсатор (НЭ2). Вольт-амперные характеристики (ВАХ) нелинейных элементов для действующих значений заданы в табл. 5.6. Схемы питаются от источника синусоидального напряжения. Значения сопротивлений линейных элементов и напряжения источника U вх (действующие значения) приведены в табл. 5.7. Во всех схемах r = 10 Ом. Полагая реальные нелинейные элементы условно-нелинейными:
· рассчитать токи в ветвях схемы при заданном U вх;
· определить сопротивление нелинейного элемента, при котором в цепи имеет место резонанс (если в результате расчета получается два значения искомого сопротивления, то для схем 4,5 учитывать меньшее значение, для остальных схем – большее);
· найти входное напряжение U вх и входной ток I 1 в режиме резонанса;
· определить и построить вольт-амперную U вх(I 1) и фазоамперную j1(I 1) характеристики рассматриваемой цепи (при расчете этих характеристик необходимо учесть все точки ВАХ нелинейного элемента).
Т а б л и ц а 5.6
Т а б л и ц а 5.7
| Номер варианта | Номер схемы | xL, xC | r 1 | U вх | Номер варианта | Номер схемы | xL, xC | r 1 | U вх |
| Ом | Ом | В | Ом | Ом | В | ||||
О к о н ч а н и е т а б л. 5.7
| Номер варианта | Номер схемы | xL, xC | r 1 | U вх | Номер варианта | Номер схемы | xL, xC | r 1 | U вх |
| Ом | Ом | В | Ом | Ом | В | ||||
Указания к расчету
|
|
|
Для расчета схем, представленных на рис. 5.6–5.11, может быть использован метод последовательных приближений. Задавшись комплексом произвольной величины (тока или напряжения) в удаленной от источника ветви, с помощью законов Кирхгофа определяют комплексное напряжение на входе цепи. Полученное значение входного напряжения сравнивается с заданным и при несовпадении этих значений расчет повторяется до их сходимости с требуемой точностью.
Если известны вольт-амперные U вх(I 1) и фазоамперные j1(I 1) характеристики рассматриваемых схем, то заданное входное напряжение позволяет определить по этим характеристикам комплекс входного тока 
и вслед за этим с помощью законов Кирхгофа определить все остальные токи и напряжения в цепи.
В режиме резонанса входной ток должен быть в фазе с входным напряжением. Поэтому значение входного тока в режиме резонанса определяется по точке пересечения фазоамперной характеристики с осью абсцисс (т.е. при j1 = 0). Найденное значение резонансного входного тока позволяет определить (с помощью законов Кирхгофа) напряжения и токи во всех участках цепи в том числе и в нелинейном элементе. Отношение 
характеризует величину сопротивления нелинейного элемента в режиме резонанса.
Величина сопротивления нелинейного элемента в режиме резонанса может быть также найдена посредством определения комплексного входного сопротивления схемы 
. В режиме резонанса цепь должна быть активной, поэтому 
. Данное тождество, включающее в себя искомое сопротивление нелинейного элемента, позволяет его найти.
|
|
|
В качестве примера рассматривается цепь, представленная на рис. 5.12.
Схема состоит из линейных элементов r = 100 Ом; xL = 80 Ом и нелинейного конденсатора, вольт-амперная характеристика которого для действующих значений напряжения и тока приведена в табл. 5.8.
Т а б л и ц а 5.8
| UC, В | ||||||||||||
| I, А | 0,4 | 0,7 | 0,9 | 1,0 | 1,08 | 1,14 | 1,18 | 1,21 | 1,24 | 1,28 | 1,3 | 1,34 |
Рассчитать токи в ветвях схемы при U = 60 В, пренебрегая несинусоидальностью режима. Определить действующее значение напряжения на входе цепи, при котором в цепи будет иметь место резонанс напряжений. Найти сопротивление нелинейного конденсатора в режиме резонанса.
Р е ш е н и е
Расчет проводится посредством подбора величин либо посредством построения зависимостей I = f (U вх) и 
= f (U вх).
1. Произвольно выбирается первое приближение действующего значения тока в нелинейном конденсаторе 
.
2. По заданной вольт-амперной характеристике UС (I) для значения тока первого приближения определяется действующее значение емкостного напряжения 
первого приближения.
3. В предположении, что 
, комплекс действующего значения емкостного напряжения 
(В).
4. С помощью символического метода определяется комплекс входного напряжения первого приближения
= 
В.
Полученное значение входного напряжения первого приближения 
сравнивается с действующим значением заданного входного напряжения U вх, и при несовпадении этих величин расчет повторяется до тех пор, пока действующее значение очередного приближения входного напряжения не совпадет (с требуемой точностью) с заданной величиной входного напряжения. Порядок расчета нескольких приближений приведен в табл. 5.9.
Т а б л и ц а 5.9
| I, А | 0,4 | 0,7 | 0,9 | 1,0 | 1,08 | 1,14 | 1,18 | 1,21 | 1,24 | 1,28 | 1,3 | 1,34 |
| UC, В | ||||||||||||
| U вх, В | 18,3 | 37,8 | 42,2 | 44,8 | 51,8 | 62,5 | ||||||
 , град
| 31,4 | 27,4 | 21,7 | 12,7 | 3,7 | –5,8 | –15,6 | –24 | –31,3 | –37 | –42,7 | –46,2 |
5. Для ускорения процесса сходимости можно построить зависимость I (U вх) и по ней определить для заданного значения входного напряжения U вх = 60 B действительное значение входного тока цепи
I = 1,26 A (рис. 5.13).
6. В предположении, что начальная фаза входного тока принята равной нулю (см. п. 3), комплекс действующего значения входного тока будет иметь вид: 
А. Токи в остальных ветвях схемы могут быть найдены с использованием символического метода следующим образом:
А,
А.
Рис. 5.13 Рис. 5.14
7. Для оценки резонансного режима достаточно построить зависимость 
по расчетным данным табл. 5.9. Режим резонанса напряжений будет иметь место в том случае, когда входной ток будет совпадать по фазе с входным напряжением. Так как в расчете начальная фаза входного тока принята равной нулю (см. п. 3), резонанс будет иметь место, если начальная фаза входного напряжения тоже равна нулю. Как следует из графика , нулевая фаза входного напряжения имеет место при U вх = 43 В. Таким образом, резонанс напряжений в рассматриваемой нелинейной цепи наступит при входном напряжении U вх = 43 В.
8. Чтобы определить величину нелинейной емкости, соответствующей режиму резонанса, достаточно определить комплекс входного сопротивления цепи и приравнять нулю его мнимую часть
Чтобы выделить мнимую часть в полученном выражении, необходимо избавиться от комплексности в знаменателе, посредством умножения и деления дроби на сопряженный комплекс знаменателя:
Условием резонанса для рассматриваемой цепи является соотношение
,
из которого определяется искомая величина
Ом.
ЛИТЕРАТУРА
1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А. Основы теории цепей. – М.: Энергия, 1989.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – М.: Высшая школа, 1973. – ч. 5.
3. Каплянский А.Е. Теоретические основы электротехники. – М.: Высшая школа, 1972.
4. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. – М.: Энергии, 1981. – ч. 2.
 |
Приложения
Приложение 1
Кривая намагничивания, используемая в задании при расчетах магнитных цепей, представлена дискретными точками в виде таблицы. В тех случаях, когда искомая функция не может быть найдена непосредственно из таблицы, необходимо прибегать к интерполяции (если аргумент находится между дискретными точками внутри таблицы) и к экстраполяции (если аргумент находится за пределами таблицы). Простейшая интерполяция – линейная, когда принимается, что приращение функции пропорционально приращению аргумента (рис. П.1 и П.2).
Рис. П1 Рис. П2
Формулы интерполяции (экстраполяции)
;
.
 |
Приложение 2
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Кафедра теоретических основ электротехники
ЗАДАНИЕ №
(название задания)
Вариант №
Выполнил студент
Ф.И.О.
Группа
Принял
Ф.И.О.
Новосибирск 2007
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение...................................................................................................................... 3
Задание № 3. Расчет несинусоидальных режимов.......................................... 4
3.1. Расчет установившегося режима в однофазной линейной электрической цепи с несинусоидальным источником ЭДС.............................................................................................................. 5
3.2. Расчет симметричной трехфазной электрической цепи с несинусоидальной трехфазной системой ЭДС....................................................................................................................... 19
Задание № 4. Расчет переходных процессов в электрических цепях........ 38
Формирование расчетной схемы................................................................ 38
Содержание задания...................................................................................... 40
Указания к расчету.......................................................................................... 44
Классический метод........................................................................................ 44
Операторный метод........................................................................................ 50
Классический метод расчета переходного процесса в цепи с синусоидальным источником питания 54
Расчет переходного режима с помощью интеграла Дюамеля........... 56
Расчет переходного процесса методом переменныхсостояния........ 58
Расчет переходного процесса в нелинейной цепи................................. 61
Задание № 5. Расчет нелинейных цепей............................................................. 65
5.1. Расчет магнитных цепей постоянного тока...................................... 65
Содержание задачи........................................................................................ 65
Указания к расчету.......................................................................................... 71
Расчет магнитной цепи методом последовательного приближения 71
Расчет магнитной цепи графическим методом........................................ 75
5.2. Расчет нелинейных электрических цепей с использованием замены реальных нелинейных элементов условно-нелинейными............................................................................................. 78
Содержание задачи......................................................................................... 78
Указания к расчету.......................................................................................... 81
Литература................................................................................................................. 85
Приложение 1............................................................................................................. 86
Приложение 2............................................................................................................. 87
