Об использовании основных приёмов обработки экспериментальных данных

Министерство образования и науки Российской Федерации

ПСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Филиал «Псковский государственный университет» в г. Великие Луки

В.Г. Серебрянская

МАТЕМАТИКА

Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения

Великие Луки

УДК 33

ББК 65,5

Б 82

Печатается по решению кафедры «Технология машиностроения» и учебно-методической комиссии инженерно-экономического факультета (протокол № от..2015 г.)

Рецензенты:

Б 82 Серебрянская В.Г. Математика. Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения/ В.Г.Серебрянская. – Великие Луки: Псков ГУ, 2015. – с.

Учебное пособие предназначено для студентов заочной формы обучения направлений 150305 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», 270800 «Строительство»

	© В.Г. Серебрянская
	© Псковский государственный университет, 2015

Оглавление

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
ПО Математике.. 4

2. ВЫБОР варианта КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ... 5

3. ОБЩИЕ методические УКАЗАНИЯ, СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ…………………….. 5

4. контрольные вопросы... 6

5. ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ……………………….....14

ЛИТЕРАТУРА.. 42

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
ПО Математике

Дисциплина Б2.Б1 «Математика» относится к базовой части математического, естественнонаучного и общетехнического цикла, и является обязательной к изучению для направлений 150305 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», 270800 «Строительство»

Учебный курс базируется на знаниях, полученных в рамках школьных курсов алгебра и начало анализа, геометрия, тригонометрия, студентами в период обучения их в школе. Студент, приступая к изучению дисциплины должен обладать знаниями, умениями и навыками в области основных элементарных функций, их свойств и графиков, уметь выполнять алгебраические и тригонометрические преобразования, решать алгебраические и тригонометрические уравнения и неравенства, знать свойства плоских геометрических фигур (треугольник, четырехугольники, круг), пространственных фигур (призма, пирамида, цилиндр, конус, шар), уметь вычислять площади плоских фигур, объемы и площади поверхностей пространственных фигур.

Содержание данной дисциплины является опорой для освоения таких дисциплин как:

- физика,

- теоретическая механика,

- математическое моделирование систем и средств управления,

- математическая обработка экспериментальных данных,

- сопротивление материалов,

- начертательная геометрия и инженерная графика,

- метрология, стандартизация и сертификация,

- теория автоматического управления.

Цель преподавания дисциплины:

Дать студентам теоретическую подготовку и практические навыки по математике для успешного усвоения фундаментальных, общетехнических и специальных дисциплин учебного плана, а также для возможности изучения специальной литературы при необходимости углубления математических знаний после окончания университета.

Задачи изучения математики:

Знать:

1) основные понятия и методы исследования и решения задач математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, теории вероятностей и математической статистики;

2) способы построения математических моделей простейших систем и процессов в естествознании и технике.

Уметь:

применять математические методы к решению задач, проводить конкретные расчёты в рамках выполнения аудиторных и домашних заданий.

Иметь представление:

1) об употреблении математической символики для выражения количественных и качественных соотношений объектов;

2) о применении теоретических рассуждений при доказательстве теорем;

об использовании основных приёмов обработки экспериментальных данных.

2. ВЫБОР ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Номер варианта контрольной работы студент выбирает по предпоследней и последней цифре своей зачётной книжки, руководствуясь следующей таблицей.

последняя цифра пред- последняя цифра	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
нечётная
чётная

Выбрав вариант, студент делает все задания в котрольной работе под своим номером.

Всего контрольных заданий 26. Контрольная работа №1 содержит 1-9 задания, контрольная работа №2: 10-22 задания, контрольная работа №3: 23-26 задания. В каждом семестре выполняется одна контрольная работа с номером, соответствующим номеру семестра обучения.

3. ОБЩИЕ методические УКАЗАНИЯ, СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, ответы на вопросы для самопроверки, выполнение контрольных работ.

Во время сессии для них читаются обзорные лекции по наиболее важным и трудным разделам курса и проводятся практические занятия.

В соответствии с действующим учебным планом студенты-заочники изучают курс математики в течение трёх семестров и выполняют по данному курсу три контрольные работы. К выполнению каждой контрольной работы следует приступать только после изучения соответствующего материала курса по учебнику, после решения задач, указанных в каждой теме, и ответов на вопросы для самопроверки.

При выполнении контрольных работ студент должен руководствоваться следующими указаниями:

1. Контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля шириной 3-4 см для замечаний рецензента. В конце работы должна быть оставлена чистая страница для развернутой рецензии.

1. На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия имя и отчество студента, учебный шифр, название дисциплины, номер контрольной работы, дата ее отсылки (сдачи) в университет и адрес студента.

2. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту. Контрольная работа, содержащая не все задачи задания, а также задачи не своего варианта, не рецензируются.

3. Решение задач следует располагать в порядке возрастания номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач. Перед решением каждой задачи надо полностью переписать ее условие.

4. Решения задач следует излагать подробно, делая соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием необходимых формул и теорем. Решение задачи геометрического содержания должно сопровождаться чертежами (желательно на миллиметровой бумаге), выполненными аккуратно, с указанием осей координат и единиц масштаба. Объяснения к задачам должны соответствовать обозначениям, приведенным на чертежах.

5. Получив контрольную работу после проверки, студент должен исправить в ней все отмеченные рецензентом недостатки. В случае незачета студент обязан в кратчайший срок выполнить все требования рецензента, приложив при этом первоначально выполненную работу.

6. Студент при наличии у него данной контрольной работы, предусмотренной учебным планом, с выводом рецензента «допущена к защите» или «допущена к защите условно», перед экзаменом защищает свои контрольные работы, отвечая на вопросы рецензентов и решая аналогичные задачи.

7. Контрольная работа должна выполняться самостоятельно. Если будет установлено, что контрольная работа выполнена не самостоятельно, то она не будет засчитана (даже если в этой работе все задачи решены верно) и студенту выдается новое индивидуальное задание по теме не зачтенной работы.

8. Студент может сдавать экзамен только при наличии у него всех контрольных работ с выводом рецензента «зачтена».

9. Выполненная контрольная работа направляется студентом в университет или его представительство по месту учебы для регистрации. Работа хранится у студента до экзамена (зачета) и в день экзамена (зачета) сдается преподавателю, принимающему экзамен (зачет).

10. Если в процессе изучения материала или при решении той или иной задачи у студента возникают вопросы, на которые он не может ответить сам, то можно обратиться к преподавателю для получения письменной или устной консультации.

11. Завершающим этапом изучения отдельных частей курса высшей математики является сдача зачётов и экзаменов в периоды сессий. Определения, теоремы, правила должны формулироваться точно и с пониманием существа дела, решение задач в простейших случаях следует выполнять без ошибок и уверенно. Только при выполнении этих условий знания могут быть признаны удовлетворяющими требованиям, предъявляемым программой. Вопросы для самопроверки, приведенные в настоящем пособии помогут проверить прочность усвоения изученного материала. В первом и втором семестрах студент сдаёт экзамены по математике. В третьем семестре - зачёт.

4.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1 семестр

1. Определители и их свойства. Вычисление определителей.

2. Матрицы и операции над ними.

3. Обратные матрицы. Элементарные преобразования матриц.

4. Системы линейных уравнений и методы их решения.

5. Понятие вектора. Линейные операции над векторами.

6. Координаты вектора. Линейные операции над векторами в координатах.

7. Скалярное произведение векторов и его свойства.

8. Векторное произведение векторов и его свойства.

9. Смешанное произведение векторов и его свойства.

10. Множества, операции над ними.

11. Числовые множества. Счетные множества.

12. Ограниченные множества. Точные грани числовых множеств.

13. Числовые промежутки.

14. Модуль действительного числа и его свойства. Окрестность точки.

15. Комплексные числа, основные понятия. Геометрическое изображение комплексных чисел. Формы записи комплексных чисел.

16. Действия над комплексными числами.

17. Функция, область её определения, способы задания.

18. Простейшие свойства функций. (Ограниченные и неограниченные, четные и нечетные, периодические).

19. Понятие числовой последовательности. Арифметические действия над числовыми последовательностями. Монотонная последовательность.

20. Предел числовой последовательности; сходящиеся последовательности и их свойства.

21. Бесконечно малые и большие последовательности, их свойства.

22. Существование предела монотонной ограниченной последовательности; число е.

23. Понятие предела функции в точке. Теоремы о пределах функции. Односторонние пределы.

24. Первый замечательный предел.

25. Второй замечательный предел.

26. Бесконечно малые функции в точке, их свойства; сравнение бесконечно малых.

27. Применение эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов.

28. Непрерывность функций в точке. Непрерывность функций на отрезке. Арифметические действия над непрерывными функциями.

29. Кусочно-непрерывные функции.

30. Классификация точек разрыва функции.

31. Понятие производной и её физический смысл.

32. Геометрический смысл производной.

33. Уравнение касательной и нормали к графику функции.

34. Дифференцируемые функции и их свойства. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного.

35. Правило дифференцирования функции, заданной параметрически. Дифференцирования сложной функции.

36. Понятие производной и дифференциала n-го порядка.

37. Понятие дифференциала, его геометрический смысл.

38. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей , .

39. Признак монотонности функции. Отыскание точек локального экстремума функции.

40. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции.

41. Асимптоты графика функции.

2 семестр

42. Понятие первообразной функции, её свойства.

43. Неопределенный интеграл, его свойства. Правила интегрирования.

44. Метод непосредственного интегрирования и замены переменной в неопределенном интеграле.

45. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

46. Интегрирование рациональных дробей.

47. Задача о площади криволинейной трапеции. Определение определенного интеграла.

48. Формула Ньютона-Лейбница. Методы интегрирования в определенном интеграле.

49. Геометрические приложения определенного интеграла.

50. Несобственные интегралы 1-го рода.

51. Несобственные интегралы 2-го рода.

52. Понятие функции двух переменных. Основные понятия.

53. Предел и непрерывность функции двух переменных.

54. Частные производные.

55. Дифференцируемость функций двух переменных.

56. Производные сложных функций.

57. Дифференциал функции двух переменных.

58. Производная по направлению. Градиент.

59. Частные производные высших порядков.

60. Дифференциалы высших порядков.

61. Экстремумы функций двух переменных.

62. Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных.

63. Понятие числового ряда. Свойства сходящихся рядов.

64. Сходимость геометрического ряда. Необходимый признак сходимости рядов.

65. Признак сравнения сходимости рядов.

66. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов.

67. Сходимость обобщенно гармонического ряда.

68. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

69. Абсолютная и условная сходимость ряда.

70. Понятие степенного ряда. Область сходимости степенного ряда.

71. Свойства степенных рядов.

72. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.

73. Функциональный ряд. Область сходимости. Сумма ряда.

74. Равномерная сходимость функциональных рядов.

75. Непрерывность суммы равномерно сходящегося функционального ряда.

76. Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда.

77. Признаки Абеля и Дирихле равномерной сходимости.

78. Почленное интегрирование функционального ряда.

79. Почленное дифференцирование функционального ряда.

80. Ряды Фурье.

81. Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций.

82. Интеграл Фурье.

83. Определение двойного интеграла и его свойства.

84. Понятие повторного интеграла. Вычисление двойного интеграла по прямоугольной области.

85. Понятие повторного интеграла. Вычисление двойного интеграла по криволинейной области.

86. Замена переменных в двойном интеграле. Криволинейные координаты.

87. Замена переменных в двойном интеграле. Полярные координаты.

88. Определение тройного интеграла и его свойства.

89. Вычисление тройного интеграла.

90. Замена переменных в тройных интегралах. Цилиндрические координаты.

91. Замена переменных в тройных интегралах. Сферические координаты.

92. Геометрические и физические приложения двойного интеграла.

93. Понятие криволинейного интеграла 1-го рода, его свойства и вычисление.

94. Понятие криволинейного интеграла 2-го рода, его свойства и вычисление. Формула Грина.

95. Определение дифференциального уравнения первого порядка. Решение уравнения. Задача Коши.

96. Общее и частное решение дифференциального уравнения.

97. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.

98. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

99. Дифференциальные уравнения второго порядка, его общее и частное решение.

100. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка.

101. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

102. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

103. Источники и классификация погрешности.

104. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных.

105. Вычислительная погрешность.

106. Погрешность функции.

107. Интерполяционный многочлен Лагранжа.

108. Интерполяционный многочлен Ньютона.

109. Погрешность многочленной интерполяции.

110. Графическое решение уравнений, отделение корней уравнений.

111. Метод хорд.

112. Метод касательных.

113. Метод итераций.

114. Формулы прямоугольников, трапеций, парабол.

115. Метод Эйлера.

116. Метод Рунге-Кутта.

117. Основные элементарные функции комплексной переменной.

118. Дифференцирование функции комплексной переменной.

119. Условия Эйлера-Даламбера.

120. Аналитическая функция. Дифференциал.

121. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформные отображения.

122. Свойства и правила вычисления интеграла.

123. Теорема Коши. Первообразная и неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

124. Интеграл Коши. Интегральная формула Коши.

125. Нули аналитической функции.

126. Ряд Лорана.

127. Классификация особых точек. Связь между нулем и полюсом функции.

128. Понятие вычета и основная теорема о вычетах.

129. Вычисление вычетов и их применение в вычислении интегралов.

130. Интеграл от функции комплексной переменной, его свойства. Теоремы Коши.

3 семестр

131. Классификация событий. Классическое определение вероятности.

132. Перестановки, размещения и сочетания.

133. Действия над событиями. Сложение и умножение вероятностей.

134.Формула полной вероятности. Формула Байеса.

135.Дискретные и непрерывные случайные величины.

136.Закон распределения дискретной случайной величины.

137.Функция распределения.

138.Плотность распределения.

139.Математическое ожидание случайной величины.

140.Дисперсия случайной величины. Среднее квадратическое отклонение

141.Формула Бернулли.

142.Выборочный метод.

143.Статистические оценки основных параметров распределения.

144.Метод расчёта сводных характеристик выборки.

145.Элементы теории корреляции.

146.Проверка статистических гипотез.

5. ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНых РАБОТ

Контрольная работа №1

1. Даны две матрицы: A и B. Найти .

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. , .

10. , .

11. , .

12. , .

13. , .

14. , .

15. , .

16. , .

17. , .

18. , .

19. , .

20. , .

2. Решить систему уравнений:

1) методом Крамера;

2) средствами матричного исчисления (x=A_{_}^-1B);

3) методом Гаусса.

Указание: вычисления проводить с обычными дробями, не используя десятичных приближений.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

3. Даны четыре точки А, В, С, D. Определите:

1) единичный вектор направления ;

2) косинус угла между векторами и ;

3) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;

4) площадь четырехугольника АВСD.

1. А (5;7;−2), В (3;1;−1), С (9;4;−4), D (1;5;0).

2. А (1;4;−2), В (1;−3;−1), С (3;5;1), D (0;−1;1).

3. А (−2;1;3), В (1;−3;4), С (5;2;−1), D (2;6;−2).

4. А (2;3;2), В (0;2;4), С (4;1;0), D (6;2;−2).

5. А (−2;13;3), В (1;4;1), С (−1;−1;−4), D (0;0;0).

6. А (1−1;0), В (0;1;−1), С (−1;0;1), D (0;−2;2).

7. А (5;−1;0), В (−2;7;1), С (12;−15;−7), D (1;1;−2).

8. А (4;2;−1), В (1;−3;2), С (−4;2;1), D (−1;7;−2).

9. А (4;4;0), В (0;0;0), С (0;3;2), D (1;4;4).

10. А (0;2;0), В (1;0;0), С (2;0;2), D (1;2;2).

11. А (−1;1;−3), В (1;2;−1), С (3;−1;2), D (3;−5;3).

12. А (2;0;4), В (7;−15;16), С (−1;−1;11), D (−14;28;−6).

13. А (1;−3;−2), В (8;0;−4), С (4;8;−3), D (−3;5;−1).

14. А (−1;1;1), В (5;0;2), С (3;−3;1), D (−3;−2;0).

15. А (5;2;2), В (−8;−2;5), С (6;3;0), D (9;3;2).

16. А (4;0;8), В (5;2;6), С (3;1;4), D (2;−1;6).

17. А (−4;−4;4), В (−3;2;2), С (2;5;1), D (3;−2;2).

18. А (5;0;−6), В (1;2;3), С (2;−1;2), D (2;3;0).

19. А (1;2;−1), В (0;1;5), С (−1;2;−1), D (2;1;3).

20. А (1;1;4), В (0;2;4), С (2;2;2), D (1;2;3).

4.Даны координаты вершин тетраэдра А₁ А₂ А₃ А₄. Найти:

1) длину ребра А₁ А₂;

2) угол между ребрами А₁ А₂ и А₁ А₄;

3) угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃;

4) объем тетраэдра;

5) уравнения прямой А₁А₂;

6) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃;

7) уравнения высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁ А₂ А₃;

8) расстояние вершины А₄ до грани А₁ А₂ А₃.

Указание: все результаты представить точно в виде радикалов, а затем привести их приближенные значения.

А ₁ А ₂ А ₃ А ₄

1. (1, 3, 6) (2, 2, 1) (-1, 0, 1) (-4, 6, -3)

2. (-4, 2, 6) (2, -3, 0) (-10, 5, 8) (-5, 2, -4)

3. (7, 2, 4) (7, -1, -2) (3, 3, 1) (-4, 2, 1)

4. (2, 1, 4) (-1, 5, -2) (-7, -3, 2) (-6, -3, 6)

5. (-1, -5, 2) (-6, 0, -3) (3, 6, -3) (-10, 6, 7)

6. (0, -1, -1) (-2, 3, 5) (1, -5, -9) (-1, -6, 3)

7. (5, 2, 0) (2, 5, 0) (1, 2, 4) (-1, 1, 1)

8. (2, -1, -2) (1, 2, 1) (5, 0, -6) (-10, 9, -7)

9. (-2, 0, -4) (-1, 7, 1) (4, -8, - 4) (1, - 4, 6)

10. (14, 4, 5) (-5, -3, 2) (-2, -6, -3) (-2, 2, -1)

11. (1, 2, 0) (3, 0, -3) (5, 2, 6) (8, 4, -9)

12. (2, -1, 2) (1, 2, -1) (3, 2, 1) (-4, 2, 5)

13. (1, 1, 2) (-1, 1, 3) (2, -2, 4) (-1, 0, -2)

14. (2, 3, 1) (4, 1, -2) (6, 3, 7) (7, 5, -3)

15. (1, 1, -1) (2, 3, 1) (3, 2, 1) (5, 9, -8)

16. (1, 5, -7) (-3, 6, 3) (-2, 7, 3) (-4, 8, -12)

17. (-3, 4, -7) (1, 5, -4) (-5, -2, 0) (2, 5, 4)

18. (-1, 2, -3) (4, -1, 0) (2, 1, -2) (3, 4, 5)

19. (4, -1, 3) (-2, 1, 0) (0, -5, 1) (3, 2, -6)

20. (1, -1, 1) (-2, 0, 3) (2, 1, -1) (2, -2, -4)

5. Составить канонические уравнения: а) эллипса; б) гиперболы; в) параболы. A, B – точки, лежащие на кривой; F – фокус; a – большая (действительная) полуось; b – малая (мнимая) полуось; e – эксцентриситет; D – директриса кривой; 2 c – фокусное расстояние; - уравнения асимптот гиперболы.

1. а) ; б) ; в) .

2. а) ; б) ; в) .

3. а) ; б) ; в) .

4. а) ; б) ; в) .

5. а) ;б) ; в) ось симметрии и .

6. а) ; б) ; в) ось симметрии

и .

7. а) ; б) ; в) .

8. а) ; б) ; в) .

9. а) ; б) ; в) .

10. а) ; б) ; в) .

11. а) ;б) ; в) ось симметрии и .

12. а) , б) ; в) .

13. а) ; б) ; в) .

14. а) ; б) ; в) .

15. а) ; б) ; в) ось симметрии и .

16. а) ; б) ; в) ось симметрии и .

17. а) ; б) ; в) .

18. а) ; б) ; в) .

19. а) ; б) ; в) .

20. а) ; б) ; в) .

6. Найти указанные пределы:

1.	аа)	бб)
	вв)	гг)
2.	аа)	бб)
	вв)	гг)
3.	аа)	бб)
	вв)	гг)
4.	аа)	бб)
	вв)	гг)
5.	аа)	бб)
	вв)	гг)
6.	аа)	бб)
	вв)	гг)
7.	аа)	бб)
	вв)	гг)
8.	аа)	бб)
	вв)	гг)
9.	аа)	бб)
	вв)	гг)
10.	аа)	бб)
	вв)	гг)