Описание экспериментальной установки. Изучение движения маятника Максвелла

ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА

 

 

Цель работы: Изучение сложного движения твердого тела на примере движения маятника Максвелла. Определение моментов инерции твердых тел.

 

Оборудование: Экспериментальная установка для изучения движения маятника Максвелла, набор тел, штангенциркуль, микрометр.

 

 

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

 

Маятник Максвелла /рис.1/ представляет собой однородный металлический диск (маховик), в середине которого укреплен стержень. К концам стержня привязаны две нити. Нити наматываются на стержень (виток к витку в направлении от концов стержня к диску). При этом диск поднимается на некоторую высоту h₁. При освобождении маятника он начинает поступательное движение вертикально вниз и одновременно вращательное движение относительно оси симметрии маятника, которая проходит через центр масс диска.

В нижней точке, когда нить полностью размотана, вращение маятника продолжается по инерции. В результате нить начинает снова наматываться на стержень, а маятник подниматься вертикально вверх, замедляя свое движение. Из-за сил сопротивления со стороны окружающей среды маятник поднимается на меньшую высоту h₂.

Уравнение поступательного движения маятника, связанного с движением его центра масс, определяется вторым законом Ньютона

(1)

Уравнение вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс диска, определяется уравнением моментов:

(2)

В приведенных уравнениях (1) и (2 ) a – ускорение маятника, m – его масса маятника, J - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр масс, `T - сила натяжения нити, `M_T - момент сил натяжения, и ` M_TP - векторная сумма сил и моментов сил сопротивления, действующих на вращающийся маятник со стороны окружающего воздуха.

Проектируя векторные уравнения (1) и (2) на вертикальную ось и горизонтальную, совпадающую с осью вращения, получим:

(3)

(4)

Учитывая, что угловое ускорение b и ускорение центра масс диска a связаны между собой соотношением

,

и исключая из уравнений (3) и (4) силы натяжения T, получим формулу, для момента инерции маятника Максвелла

(5)

Здесь R - радиус стержня, на который наматывается нить.

При небольших скоростях движения маятника силы сопротивления и их результирующий момент будут линейными функциями скорости. Поэтому ускорение маятника a не будет постоянной величиной. Оно будет уменьшаться. Однако, как показывает опыт, величина сил сопротивления и их моментов невелика и среднее ускорение маятника может быть определено по формуле

,

в которую входит время t, за которое маятник опускается до своего нижнего уровня, пройдя расстояние h₁.

Для определения момента сил сопротивления M_TP воспользуемся законом сохранения энергии, в соответствии, с которым полная энергия маятника E в процессе его движения должна оставаться постоянной величиной

E₁ = E₂. или

К₁ + П₁ +U₁ = К₂ + П₂ +U₂

Строго говоря, закон сохранения энергии выполняется для механической системы "Маятник - Земля".

Принимая во внимание, что в положении 1 (на высоте h₁) и в положении 2 (на высоте h₂) кинетическая энергия маятника равна нулю

K₁ = K₂ = 0, приходим к выводу о том, что потенциальная энергия маятника уменьшится за счет увеличения внутренней энергии данной системы

П₁ - П₂ = U₂ - U₁.

Будем полагать, что изменение внутренней энергии DU связано с работой сил сопротивления

A_TP = -DU.

Работу сил сопротивления можно найти по формуле

A_TP = - (M_TPDj + F_ТР Ds).

Знак "минус" указывает на то, что векторы и , и направлены в противоположные стороны.

Учитывая это, получим

П₁ - П₂ = M_TP×Dj + F_ТР Ds.

Замечая далее, что

П₁ = mgh₁; П₂ = mgh₂; Dj. = Dj₁ + Dj₂;

,

где Dj₁ - угол, на который повернется маятник вокруг своей оси при движении вниз, Dj₂ - угол, на который повернется маятник вокруг своей оси при движении вверх, Ds – общее перемещение маятника. Теперь для среднего момента сил сопротивления M_TP и среднего значения сил сопротивления окончательно получим

(6)

Следует заметить, что средние значения сил и моментов сил сопротивления, представленных в уравнениях движения (3) и (4), не равны их средним значениям фигурирующим в уравнении (6). Первые из них являются средними по времени, вторые – средними по расстоянию. Связь между ними в рассматриваемом нами случае легко установить.

Полагая, что величина силы сопротивления прямо пропорциональна скорости, для средней силы по времени и расстоянию получим:

. Если u = at, то ;

Из приведенных соотношений следует, что

, .(7)

Учитывая формулы (5) – (7), для момента инерции маятника окончательно получим

. (8)

Справедливость формулы (8) проверяется в данной работе.

 

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Экспериментальная установка (рис. 2) состоит из массивного основания 1, на котором крепится вертикальная стойка 2. В верхней части стойки 2 закрепляется кронштейн 3 с электромагнитом 4. Кронштейн удерживает две нити, на которых подвешивается маятник Максвелла 5.

Маятник имеет алюминиевую сердцевину в виде тонкого диска со стержнем общая масса которой m = 141,5 г, и сменную стальную кольцевую насадку 6 известной массы m₀.

На основании 1 размещается электронный блок пульта управления 7 На передней панели пульта имеются три кнопки управления: " СЕТЬ ", " ПУСК ", " СБРОС " и цифровое табло на пять разрядов. На цифровом табло высвечивается время, отсчитываемое электронным секундомером с точностью до 0.001 с. Пуск секундомера производится однократным нажатием кнопки " ПУСК ". Перед этим нажимается кнопка " СБРОС ". Одновременно с пуском секундомера обесточивается цепь электромагнита. В результате начинается движение маятника вниз. Выключение секундомера производится световым датчиком 7 после перекрытия светового луча нижней частью маятника. Измерение пройденного пути h₁ производится с помощью линейки 8, укрепленной на вертикальной стойке 2. Измерение h производят с точностью до 1 мм. С помощью линейки 8 измеряют также h₂ или Dh,