Метод квадратних коренів

Цей метод використовується для знаходження розв’язку лінійної системи рівнянь А х = b, (2) в якій матриця А = (а ) симетрична, тобто елементи, симетричні відносно головної діагоналі, рівні між собою: а = а (i, j = 1,2, …, n). Відомо, що симетричну матрицю А завжди можна подати у вигляді добутку двох взаємно транспонованих трикутних матриць А = Т΄Т, (3)

де Т = ; Т΄ = .

Якщо тепер перемножити матриці Т΄ і Т, а потім прирівняти відповідні елементи матриць у рівності (3), то для знаходження елементів t

(i = 1, 2, …, n; j = i, i +1, …, n) матриці Т дістанемо систему рівнянь

(i = 1, 2, …, n; j = i +1, i +2, …, n; i j).

З цієї системи знаходимо послідовно елементи матриці Т (і Т΄).

Маємо (4)

З рівності (3) випливає, що система (2) рівносильна двом системам рівнянь з трикутними матрицями Т΄ y = b і Т x = y.

Розв’язавши систему Т΄ y = b з нижньою трикутною матрицею Т΄, знайдемо (5)

Розв’язавши потім систему Т x = y з верхньою трикутною матрицею Т, знайдемо шуканий розв’язок системи (2) (6)

Всі обчислення за формулами (4)–(6) доцільно виконувати за спеціальною схемою (табл. 1), в якій забезпечується проміжний і заключний контролі введенням контрольних і рядкових сум. У методі квадратних коренів, як і в методі Гауса, поряд з системою (2) одночасно розв’язують допоміжну систему А =s. (7)

Таблиця 1

Крок пере-тровення	Рядок	Коефіцієнти при змінних	Вільний член	Контроль
x	x	…	x	Контрольна сума	Рядкова сума
				…	n+2	n+3	n+4	n+5
		a	a		a	b	s
		a		a	b	s
…	…	…	…	…	…	…
n				a	b	s
	n+1	t	t	…	t	y	z	u
n+2		t	…	t	t	z	u
…			…	…	…	…	…
2n				t	y	z	u
	2n+1					x		1+ x
…			…	…	…	…	…
3n-1					x		1+ x
3n					x		1+ x

Системи (2) і (7) мають однакову матрицю коефіцієнтів А, але різні вільні члени: у системі (2) – це числа b (i = 1, 2, …, n), а в системы (7) – числа

s = (8)

Розв’язки цих систем зв’язані співвідношенням:

(9)

Оскільки система (7) рівносильна двом системам з трикутними матрицями Т´ z = s i T = z, то елементи вектора z обчислюють за формулами

z , z , (1 < i n), (10)

а елементи вектора – за формулами

, , (1 < i n). (11)

Поточний контроль здійснюють порівнянням контрольних сум z (стовпець n+4), які обчислюють за формулами

u (і = 1,2,3 …, n). (12)

Якщо обчислення виконано правильно, то суми збігаються, або внаслідок округлення проміжних обчислень відрізняться між собою на 1-2 одиниці нижчого розряду. Всі проміжні обчислення доцільно виконувати з 1-2 запасними цифрами.

Заключний контроль можна здійснити двояко. Або перевірити виконання рівностей (9) або (і) обчислити нев’язки, підставивши знайдений розв’язок у систему (2).

Розрахункова таблиця 1 складається з трьох частин. У першій записано коефіцієнти і вільні члени системи(2), а також обчислені за формулами (8) контрольні суми s (рядкові суми можна не записувати, бо вони збігаються з контрольними); у другій знайдені за формулами(4) коефіцієнти t (i =1, 2, …, n; j = i +1, і +2, …, n) матриці Т, обчислені за формулами (5) і (10) вектори y i z, а також обчислені за формулами (12) рядкові суми u (i = 1, 2, …, n); у третій – обчислені за формулами (6) і (11) вектори x і . Дві перші частини – це прямий хід, а третя – зворотній.