Потенциальная энергия системы зарядов. Энергия конденсатора. Плотность энергии электрического поля

Энергия заряженного конденсатора

Если на обкладках конденсатора электроемкостью С находятся электрические заряды +q и -q, то напряжение между обкладками конденсатора равно

В процессе разрядки конденсатора напряжение между его обкладками убывает прямо пропорционально заряду q от первоначального значения U до 0.

Среднее значение напряжения в процессе разрядки равно

Для работы А, совершаемой электрическим полем при разрядке конденсатора, будем иметь:

Следовательно, потенциальная энергия Wp конденсатора электроемкостью С, заряженного до напряжения U, равна

Энергия конденсатора обусловлена тем, что электрическое поле между его обкладками обладает энергией. Напряженность Е поля пропорциональна напряжению U, поэтому энергия электрического поля пропорциональна квадрату его напряженности.

Энергия системы зарядов

Потенциальная энергия Wp неподвижной системы зарядов представляет собой работу, необходимую для создания этой системы из отдельных частей, т.е. энергию, запасенную в созданной системе. Это - скалярная величина, являющаяся свойством системы в целом.

Рис. 6.1

Соберем систему из трех зарядов, последовательно перенося их из бесконечности в данные точки пространства, как показано на рис. 6.1. При переносе первого заряда в пространстве, где отсутствует электрическое поле, сила на заряд не действует, и работа не совершается. При переносе второго заряда работа составит (см. 1.9) (6.1)

Поскольку r изменяется от бесконечности до r12, то dr в (6.1) отрицательно. Очевидно, что работа, произведенная над системой, будет положительной для одноименных зарядов, так как они отталкиваются.

Перенос третьего заряда будет осуществляться в поле двух зарядов. На основании принципа суперпозиции это поле есть сумма полей, создаваемых каждым из зарядов. Тогда работа, производимая внешними силами над третьим зарядом будет равна сумме двух работ, одна из которых необходима для переноса заряда q3, если имеется только один заряд q1, а другая требуется для переноса заряда q3 при наличии только одного заряда q2

(6.2)

Следовательно, потенциальная энергия системы из трех зарядов, равная полной работе, затраченной на образование указанного на рис.6.1 расположения зарядов, составит

(6.3)

Нетрудно видеть, что полученный результат не зависит от порядка переноса зарядов.

В данном случае нулевое значение потенциальной энергии соответствует ситуации, когда все три заряда находятся на бесконечно больших расстояниях друг от друга.

Очевидно, что если система состоит из N зарядов, то в выражении (6.3) будет N слагаемых того же вида. Один из способов написания такой суммы по парам зарядов следующий

(6.4)

Знак двойной суммы в (6.4) обозначает: возьмите i=1 и суммируйте по k=2,3,4,...,N; затем возьмите i=2 и суммируйте по k=1,3,4,...N; и т.д. до i=N. Ясно, что при этом каждая пара войдет в сумму дважды, поэтому перед знаком суммы стоит множитель 1/2.

На основании (1.15) потенциальную энергию (6.4) системы зарядов можно представить следующим образом

(6.5)

где φi - потенциал, создаваемый всеми зарядами кроме qi, в той точке, где помещается заряд qi.

Обобщение полученного выражения (6.5) на случай непрерывного распределения заряда с объемной плотностью ρ

(6.6)