Типові завдання (ТОМ)

 

1. Довести, що (64³ - 64²): 63.

 

2. Довжину прямокутної пластини зменшили на 20%, а ширину збільшили на 20%. Чи змінилася площа даної пластини? Якщо змінилася, то як?

 

3. Довести, що (57⁴ – 23⁴): 40.

 

4. Довести, що (48⁷ –48⁶): 47.

 

5. Розв’яжіть задачі арифметичним способом:

а) За перший рік було побудовано всієї дороги, наступного року - всієї

дороги, а за третій рік – решту 5 км. Якої довжини була дорога?

б) Група туристів запланувала пройти шлях від турбази до озера за чотири дні.

За перший день вони планували пройти всього шляху, за другий , що

залишився, а за третій і четвертий проходити по 12 км. Яка довжина всього

шляху від турбази до озера?

в)У квартирі дві кімнати. Довжина однієї дорівнює м, довжина іншої

складає цієї довжини. Ширина кожної кімнати м. Площа цих кімнат

складає площі всієї квартири. Чому дорівнює площа квартири?

г) На фарбування 72% площі підлоги пішло 4,5 кг фарби. Скільки потрібно фарби на площу підлоги, що залишилась?

 

6. Порівняйте числа: і 1,(25).

7.Запишіть у вигляді звичайних дробів: 0,(25); 0,13(749).

 

8. Скоротити дріб: .

 

9. Одна із сторін прямокутника на 5 см більша, ніж друга, а його площа дорівнює сумі числа 50 і квадрата числа 10. Якщо позначити через х довжину меншої сторони цього прямокутника, то яке з нижченаведених рівнянь відповідатиме розв’язуванню даної задачі?

А. Б. В. Г. .

 

10. Розв’яжіть рівняння, використовуючи залежність між компонентами і

результатом дій:

 

11. Периметр трикутника АВС дорівнює 30 дм. Сторона ВС на 2 дм більше сторони АВ, а сторона АС – на 2 дм більше ВС. Якщо позначити за х довжину сторони АВ, то яке з нижченаведених рівнянь задовольнятиме умову задачі:

А. Б. В. Г.

 

12. Виконати дії

 

13. Розв’язати нерівність .

 

14. Розв’язати систему нерівностей .

 

15. Одна сторона трикутника дорівнює 5 м, а друга 8 м. Які натуральні значення

може приймати довжина третьої сторони, якщо периметр трикутника менший

22м?

 

16. Знайти область визначення функції .

 

17. Розв'яжіть задачі алгебраїчним способом:

а) 16 км від турбази до санаторію велосипедист проїхав за 1 год 10 хв. Перші

40 хвилин цього часу він їхав з однією швидкістю, а решту часу – зі

швидкістю, на 3 км/год меншою. Знайдіть швидкість велосипедиста на

першій ділянці шляху.

б) У трьох класах 88 учнів. У другому на два учні більше ніж у першому, а у

третьому на 3 учні більше, ніж у другому. Скільки учнів у кожному класі?

в) На першій поличці на 16 книжок більше, ніж на другій. Якщо з кожної полиці

зняти по 3 книжки, то на першій полиці книжок буде в півтора рази більше,

ніж на другій. Скільки книжок на кожній полиці?

18. Розташуйте числа у порядку зростання: 0,125; 2,(7); 0,1(25); 2,78.

 

29. Розв’яжіть задачу: Сувій тканини довжиною 108 м треба розрізати на дві частини так, щоб у першій було на 16 м більше, ніж у другій. Скільки тканини буде у кожній частині?

 

20. Спростіть вираз .

 

21. Розв’яжіть задачу: Знайти площу прямокутника, довжина якого на 20% більша, ніж ширина, а периметр дорівнює 44 см.

22. Встановіть, які з наступних рівностей істинні: 1) ; 2) ;

3) .

 

23. Одна сторона трикутника дорівнює 5 м, а друга 8 м. Які натуральні значення

може приймати довжина третьої сторони, якщо периметр трикутника більший

17 м?

 

24. Довести, що різниця квадратів двох послідовних непарних чисел ділиться

на 8.

 

25. Знайдіть область визначення та множину розв’язків рівняння

 

26. Довести, що сума трьох послідовних натуральних чисел ділиться на 3.

 

27. Довести, що різниця між кубом будь-якого натурального числа і самим цим

числом ділиться на 6.

 

 

28. Довести, що коли число а при діленні на 5 дає в остачі 3, то число ділиться на 5.

 

29. Довести, що різниця будь-якого чотирицифрового числа і числа, записаного тими самими цифрами, але у зворотному порядку, ділиться на 9.

 

 

30. Знайти НСД (6253, 1001) за алгоритмом Евкліда.

 

31. Знайти області визначення функцій:

 

32. Які числа, поставлені замість (*) і (^), забезпечують подільність

на 3?

 

33. Яке число треба поставити замість зірочки (*), щоб число ділилося на 6

 

34. Розв’яжіть задачу та обґрунтуйте вибір дії. Турист в перший день проїхав на велосипеді 80 км, а в другий – 64, а в третій – 96 км. Скільки годин велосипедист був у дорозі за три дні, якщо швидкість його була однакова і найбільша з можливих? (Вказівка. Швидкість – НСД(80, 64, 96)).

 

35. Розв’яжіть задачу та обґрунтуйте вибір дії.

а) Троє суден заходять в порт після кожного рейсу. Перше судно проходить свій рейс за 6 днів, друге – за 5, третє – за 10 днів. Через скільки днів (найменше) зустрінуться в порту перше судно з другим, перше з третім, друге з третім і всі троє разом, якщо вони вийшли в рейс одночасно?

б) У порту пришвартувалося 4 теплоходи. Опівдні 2 січня 1983 року вони одночасно зайшли в порт. Відомо, що перший теплохід повертається до цього порту через кожні 4 тижні, другий – через 8 тижнів, третій – через 12 тижнів, а четвертий – через 16 тижнів. Коли вперше теплоходи знов зустрінуться в цьому порту?

в) На станції стоять три потяги. В першому – 418 пасажирів, в другому – 494 пасажири, а в третьому – 456 пасажирів. Скільки вагонів у кожному потязі, якщо відомо, що в кожному вагоні число пасажирів однакове і їх кількість найбільша з усіх можливих?

г) Довжина кола переднього колеса екіпажа 2 м 25 см, заднього – 3 м 25 см. Знайти найменшу відстань, яку повинен проїхати екіпаж, щоб переднє і заднє колеса зробили по цілому числу обертів.

 

36. Обчислити: (563₈ + 217₈) ∙ 15_8.

 

37. У якій системі числення справджується рівність 507_х+436_х = 1145_х?

44. Різниця між найбільшим трицифровим числом і задуманим в 2 рази більша різниці між задуманим числом і найбільшим двоцифровим числом. Знайти задумане число.

 

38. Знайти коефіцієнти k і b, якщо функція задана формулою 2х-3у=-10.

 

39. В трицифровому числі десятків на один більше, ніж одиниць і сотень на одну більше, ніж десятків. Якщо до цього числа додати число, записане тими ж цифрами, але у зворотному прядку, то вийде 444. Знайдіть це число.

 

40. В двоцифровому числі десятків у три рази більше, ніж одиниць. Якщо між цифрами цього числа вставити цифру 0, то число збільшиться на 540. Знайдіть це двоцифрове число.

 

41. Двоцифрове число закінчується цифрою 3. Якщо суму його цифр помножити на 4, то вийде число, записане тими ж цифрами, але в зворотному порядку. Знайдіть двоцифрове число.

 

42. Сума цифр двоцифрового числа дорівнює 16. Якщо від цього числа відняти число, записане тими ж цифрами, але в зворотному порядку, то вийде – 18. Знайдіть це число.

 

43. Виконайте дії: додайте 5 років 7 місяців 8 днів і 3 роки 2 місяці 4 дні.

 

44. Цифра десятків у записі деякого двоцифрового числа втричі більша цифри одиниць. Якщо ці цифри переставити, то вийде число менше за дане на 36. Знайдіть це число.

 

45. Задача (загадкова біографія). У паперах одного дивака-математика знайдено

його «біографію»: «Я закінчив курс університету 44 років від роду. Через рік, 100-річним юнаком я одружився з 34-річною дівчиною. Незначна різниця у віці – всього 11 років – сприяла тому, що ми жили спільними інтересами і мріями. Незабаром у нас була вже сім’я із 10 чоловік». У якій системі числення написано цю біографію?