Лабораторная работа №16

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет)»(МГТУ им. Н.Э. Баумана)

Мытищинский филиал

Космический факультет. Кафедра ИУ-4 МФ

Специальность 24.05.06

«Системы управления летательными аппаратами»

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №16

по дисциплине:	Основы конструирования приборов

тема:	«Полный факторный эксперимент.
Расчёт в MathCAD»

 

Вариант №7

 

 

Выполнил:	Жаров Андрей Дмитриевич, КИУ1-51
	(фамилия, имя, отчество, группа)
Руководитель	к.т.н., доцент Знаменская Татьяна Дмитриевна
	(ученая степень, звание должность, фамилия, имя, отчество)

 

 

Москва – 2017 г.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

 

Целью настоящей работы является изучение и практическое знакомство с методикой планирования полного факторного эксперимента (ПФЭ) при моделировании параметров технологического процесса напыления резисторов с помощью ЭВМ.

 

ЗАДАНИЕ

 

1. Для варианта, заданного преподавателем, методом полного факторного эксперимента построить математическую модель исследования технологического процесса напыления резисторов.

2. Провести исследование на матрице планирования ПФЭ на ЭВМ.

3. Обработать результаты эксперимента.

4. Проанализировать полученное уравнение регрессии и сделать выводы о степени влияния исследуемых факторов на выходной параметр.

 

ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ

 

Работа на ЭВМ выполняется с помощью программы «MathCAD».

Для воспроизведения зависимости выходной величины в функции двух исходных влияющих варьируемых факторов, необходимо задать значения этих факторов в соответствии с выданным заданием.

С помощью генератора случайных чисел в ЭВМ имитируется воздействие на объект неуправляемых факторов. Это позволяет в ходе проведения лабораторной работы на математической модели воссоздать обстановку реального эксперимента на исследуемом физическом объекте.

Влияющие факторы x₁, x₂ при моделировании процесса напыления резисторов на ЭВМ представляются в виде условных переменных z₁, z₂, каждая из которых может принимать до 10 целочисленных значений. Эти значения, в соответствии с вариантом задания могут быть заданы в виде одной из цифр 1,2,…9.

Значение выходной величины Y по каждому из опытов выводятся на дисплей ЭВМ и на печать.

Ввод значений z₁, z₂ осуществляется с клавиатуры ЭВМ.

 

УКАЗАНИЯ ПО МЕТОДИКЕ ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

 

Получение тонкопленочных резисторов методом термического напыления в вакууме является одним из основных технологических процессов тонкопленочной микроэлектроники.

Влияние большого числа неконтролируемых факторов, часть из которых носит случайный характер, сложность процессов, протекающих при напылении тонких пленок, невозможность непосредственного контроля большинства параметров и др., существенно затрудняют получение математической модели этого процесса.

Применение методов планируемого активного эксперимента позволяет при использовании минимального количества экспериментов получить математическое описание для выходного параметра – температурного коэффициента сопротивления (ТКС) напыляемой пленки в функции исходных контролируемых факторов и оценить степень влияния каждого из них на выходной параметр.

Зададим математическую модель для выходного параметра Y (функция отклика) при проведении ПФЭ для K независимых факторов X в виде линейной зависимости

,

(1)

 

где B₀B_i – коэффициенты влияния (называемые коэффициентами регрессии), которые надо определить по результатам эксперимента.

Уравнение вида (1) называется уравнением регрессии.

В настоящей работе ввиду сложности постановки экспериментального исследования непосредственно на установке вакуумного напыления резисторов, осуществляется моделирование этого процесса на ЭВМ.

Для упрощения решаемой задачи в качестве влияющих факторов взяты только два X_i из всей совокупности факторов, определяющих величину ТКС резистивной пленки:

а) температура подложки

X₁-T_n(C⁰)

 

б) удельное сопротивление резистивного материала

 

X₂ – ρ₀(Ом/ квадрат)

 

В этом случае уравнение регрессии будет иметь вид

 

Ŷ =B0+B1*X1+B2*X2.

(2)

 

Рисунок 1. Регрессионная модель при натуральных обозначениях факторов.

 

ПОСТРОЕНИЕ ПЛАНА ПФЭ

 

В ПФЭ влияющие факторы могут варьироваться на двух уровнях: верхнем и нижнем. Поэтому, необходимо выбрать диапазон варьирования каждого фактора в пределах

 

Xmin<=Xi<=Xmax

(3)

 

Величина X_max называется верхним уровнем варьирования фактора X_i, а величина X_min нижнем уровнем варьирования того же фактора.

Середина диапазона варьирования того же фактора X_оснназывается его основным уровнем и обозначается так

 

Xосн=(Xmin+Xmax)/2

(4)

 

Величина

DX_i=X_max – X_осн = X_осн– X_min

называется интервалом варьирования фактора X_i.

Переходим к кодированным обозначениям факторов X_i

 

(5)

 

 

При проведении ПФЭ реализуются все возможные сочетания уровней факторов. Поэтому, общее число экспериментов для K факторов

N=4

Таким образом, постановка четырех опытов дает все мыслимые комбинации для двух факторов, каждый из которых варьируется на двух уровнях.

План ПФЭ для двух факторов приведен в табл.1

Таблица 1.

№ опыта	Кодированные значения факторов	Натуральные значения факторов	Значения условных переменных	Y	Ŷ
				X1	X2	Z1	Z2
	+1	- 1	- 1	X1min	X2min
	+1	+1	- 1	X1max	X2min
	+1	- 1	+1	X1min	X2max
	+1	+1	+1	X1max	X2max

 

В левой части табл. 1 представлена матрица планирования эксперимента в кодированных значениях факторов.

На установке термического напыления резисторов можно устанавливать диапазон варьирования контролируемых факторов в довольно широких пределах:

1) температура подложки 100⁰C<=X₁<=300⁰C

2) удельное сопротивление 20 Ом/кв<=X₂<=40 Ом/кв

На основании изучения имеющихся сведений о технологическом процессе вакуумного напыления резисторов устанавливаются технологически разумные пределы X_min и X_max, в которых могут изменяться факторы.

Варианты заданий для экспериментального исследования приведены в табл. 3.

Введение кодированных обозначений факторов позволяет независимо от диапазона варьирования любого фактора устанавливать его нижний уровень (-1), верхний уровень (+1) и основной уровень нулем. Благодаря этому планы ПФЭ в кодированных обозначениях можно строить перебором уровней (-1) и (+1) не интересуясь конкретным диапазоном варьирования факторов.

Коэффициенты регрессии B_i (i=0,1,2…k) отыскиваются по результатам экспериментов по формуле:

 

(6)

 

Из (6) видно, что для вычисления коэффициента регрессии используется столбец значений соответствующего фактора X_i.

Коэффициент В₀ равен среднему арифметическому значению выходной величины

 

N В0=(∑ Yi)/N

(7)

 

Для того, чтобы формула (6) была справедлива и для коэффициента В₀ при i=0 в матрицу планирования часто водят фиктивный фактор К₀, который в каждом опыте принимает значение +1 (см. табл. 1).

Коэффициенты регрессии В_i, найденные по результатам эксперимента, являются лишь оценками некоторых истинных коэффициентов регрессии, которые обозначаются как b_i.

При выборе вида математической модели мы исходим из предположения, что уравнение регрессии является линейной функцией. Но может оказаться, что это предположение неверно и необходимо было задаться более сложной зависимостью, например, второго порядка. Поэтому, обязательна проверка пригодности модели для описания объекта исследования – так называемая проверка адекватности. Эту проверку можно осуществить только в том случае, если количество опытов плана N превышает число оцениваемых коэффициентов регрессии Р, то есть выполняется условие

N>P.

(8)

В нашем случае это условие выполняется и, следовательно, избыточный опыт можно использовать при проверке адекватности модели.

На объект исследования всегда воздействуют различные неконтролируемые факторы (шумы), что приводит к уменьшению точности результатов эксперимента. Влияние мешающих факторов можно в известной степени уменьшить, если каждый опыт экспериментального плана повторить некоторое число раз.

В случае равномерного дублирования, когда число повторений каждого из N основных опытов одинаково и равно M, весь эксперимент содержит N серий опытов (N=2^k), где каждая серия состоит из M опытов, проводимых в одинаковых условиях. Тогда общее количество опытов с учетом дублирования равно N*M.

При равномерном дублировании опытов ПФЭ вычисление коэффициентов регрессии В_i осуществляется по формулам:

 

	(9)
	(10)
	(11)

Следует отметить, что необходимыми предпосылками правильности дальнейшей статистической обработки результатов эксперимента является нормальность распределения выходной величины и однородность дисперсий опытов.

 

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

 

Обработку результатов эксперимента следует начинать с вычисления коэффициентов регрессии по формулам (9) и (10). Записать полученную математическую модель по формуле:

 

(12)

 

Рисунок 2. Регрессионная модель при кодированных значениях факторов.

 

В найденном уравнении регрессии (в кодированных обозначениях факторов) подставляются значения факторов Х₁, Х₂, соответствующие условиям каждого из опытов матрицы планирования (табл. 1). Таким образом вычисляются значения выходной величины Ŷ₁, Ŷ₂,…, Ŷ_n, предсказанные уравнением регрессии для каждого из опытов, и заносятся в табл. 1.

Вычисляется оценка дисперсии S_j² для каждой серии дублированных опытов по формуле:

 

(13)

 

Эта величина используется для проверки однородности дисперсии опытов S₁², S₂²,…, S_n² по критерию Кохрана по формуле:

 

(14)

 

причем это должно быть меньше G табл.

где G табл. находится для уровня значимости q=0.05 по таблице приложения 1 при числе степеней свободы f=M-1 и числе выборок K=N.

Если условие (14) выполняется, то с пятипроцентным уровнем значимости гипотеза об однородности дисперсий принимается и можно считать расхождения между их численными значениями случайными. Вычисляется оценка дисперсий, характеризующая ошибку эксперимента S²<Y> как среднее арифметическое значение дисперсий опытов:

 

(15)

 

Затем вычисляются дисперсии коэффициентов регрессии. Коэффициенты регрессии В_i являются случайными величинами, поэтому, дисперсия этих коэффициентов характеризует точность, с которой они найдены:

 

(16)

 

Оценивается значимость коэффициентов регрессии. В результате этой процедуры выявляются незначимые коэффициенты регрессии, то есть те, которые являются пренебрежимо малыми.

Коэффициент регрессии незначим в том случае, если соответствующий ему фактор оказывает весьма малое влияние на изменение выходной величины эксперимента. Оценка значимости коэффициентов регрессии производится с помощью t-критерия Стьюдента в следующем порядке:

a) для каждого коэффициента регрессии вычисляется расчетное t-отношение

 

(17)

 

, где S_<Bi> - среднеквадратическое отклонение коэффициента Bi, равное корню из дисперсии этого коэффициента регрессии;

b) из таблицы t – распределение по величине числа степеней свободы (приложение 2) f2=N*(M-1) для уравнения значимости q=0.05 берется табличное t-отношение tтабл;

c) проверяется условие t расчет. <t табл.

Коэффициенты регрессии, для которых условие выполняется, являются незначимыми.

 

ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

 

Результаты этой проверки дают ответ на вопрос: «пригодна ли постоянная модель описания объекта?».

1) Вычисляется сумма квадратов, характеризующая адекватность модели S_ад. по формуле:

 

,

(18)

где Ỹ_j – значение выходной величины опыта, предсказанное уравнением регрессии (см. обработку результатов эксперимента).

2) Вычисляется число степеней свободы f_ад., связанное с дисперсией адекватности. При равномерном дублировании опытов оно равно:

 

fад.=N-P,

(19)

 

где N – число основных опытов плана, P – число оцениваемых коэффициентов регрессии (при N=P адекватность модели проверить невозможно).

3) Вычисляется F – отношение по формуле:

 

Fрасч.=Sад/fад*S2<y>=S2ад/S2<y><=Fqкритич.(f1,f2)

(20)

 

С помощью F-критерия Фишера для уровня значимости q=5% и числа степеней свободы числителя f1= N-P и знаменателя по приложению 3 определяется Fq критическое отношение.

Если выполняется условие F<= Fкр., то найденную модель объекта можно считать адекватной. Если F>Fкр., то гипотеза об адекватности модели отвергается. В этом случае необходимо перейти к модели более сложного вида, например, к плану второго порядка или уменьшить диапазон варьирования факторов.

 

АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

 

Это заключительный этап планирования эксперимента, на котором, пользуясь построенной моделью, получим необходимую информацию об объекте исследования. Анализ модели лучше всего проводить, пользуясь уравнением регрессии в кодированных значениях.

1. Важную информацию несут знаки коэффициентов регрессии. Например, если линейный коэффициент регрессии положителен, то выходная величина растет с увеличением соответствующего фактора и убывает при его уменьшении.

2. По уравнению регрессии можно оценить относительную степень влияния варьируемых факторов на изменение выходной величины (коэффициенты влияния факторов).

Для плана ПФЭ дисперсии всех коэффициентов регрессии равны друг другу согласно (14), что позволяет оценить относительную значимость факторов для всех этих планов непосредственно по абсолютным величинам коэффициентов регрессии.

3. Уравнение регрессии позволяет предсказать значение Y для любой точки внутри области варьирования факторов. С его помощью можно строить графики зависимости Y от любого фактора при фиксированных значениях остальных факторов.

4. Построенная математическая модель может послужить основанием для оптимизации исследуемого процесса и для управления им.

 

 

Таблица 2.

Уровни факторов	Натуральные значения факторов	Кодированные значения факторов
	x1	x2
Верхний уровень	X1 max	X2 max
Нижний уровень	X1 min	X2 min
Основной уровень	X1 осн	X2осн

 

Таблица 3.

Уровни варьирования	Значения условных переменных Z1,Z2 (варианты)
ВЕРХНИЙ
НИЖНИЙ
ОСНОВНОЙ

 

Таблица 4. Данные варианта №7.

Кодированные значения факторов	Номер опыта (эксперимента) (N=4)	Номер дублирования опыта (m=4)
	-1	-1		2,154	1,894	1,981	1,858
	+1	-1		4,821	5,364	5,013	4,917
	-1	+1		-7,844	-7,525	-7,579	-7,365
	+1	+1		2,407	2,594	2,325	2,475
Диапазоны параметров: x1 (температура T, K): 473 K – 525 K x2 (время t, с): 75 с – 140 с Формулы перехода от натуральных значений к кодированным и обратно:

 

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ В MATHCAD

 

ORIGIN:= 1

 

Число серий опытов N:=4

Число опытов в серии m:=4

 

j:= 1.. 4

 

Матрица экспериментальных данных

Вектор Ysсредних значений параметра оптимизации

ORIGIN:= 0

Матрица планирования

Вектор коэффициентов регрессии

Транспонированная матрица планирования

Число шагов по плоскости x1Ox2

k:= 10

Уравнение регрессии

i:= 0.. k

j:= 0.. k

Построение двухмерной сетки с шагом 2/k

Расчёт значений уравнения регрессии в узлах сетки для построения графика

 

 

Серии опытов (точки экспериментальных данных)

Серия 1	Серия 2	Серия 3	Серия 4
M10,0:= Y0,0	M1k,0:= Y1,0	M10,k:= Y2,0	M1k,k:= Y3,0
M20,0:= Y0,1	M2k,0:= Y1,1	M20,k:= Y2,1	M2k,k:= Y3,1
M30,0:= Y0,2	M3k,0:= Y1,2	M30,k:= Y2,2	M3k,k:= Y3,2
M40,0:= Y0,3	M4k,0:= Y1,3	M40,k:= Y2,3	M4k,k:= Y3,3

 

 

Рисунок 3. График регрессии.

 

ORIGIN:= 1

Проверка однородности дисперсий

max(v):=

S2max:= max(S2)

S2max = 0.094

G = 0.474

Gtabl:= 0.68

Odnorodnost(G, Gtabl):=

"Yes" if G <Gtabl "No" otherwise

Odnorodnost(G, Gtabl) = "Yes"

 

Проверка значимости коэффициентов регрессии

 

S2y = 0.05

S2bi = 3.101*10^-3

Sbi = 0.056

 

ttabl:= 2.18

 

Znachimost(t, ttabl):=	n ← rows(t)
	si ← “No1” if ti<ttabl si ← “Yes” otherwise
s

 

Проверка адекватности регрессионной модели

Ykr₁:= Yreg(-1,-1)

Ykr₂:= Yreg(1,-1)

Ykr₃:= Yreg(-1,1)

Ykr₄:= Yreg(1,1)

S2ad = 3.038

fad:= 1

F = 61.214

Fkr:= 4.75

 

Adekvatnost(F, Fkr):=

"Yes" if F<Fkr "No" otherwise

Adekvatnost(F, Fkr) = “No”

 

Уравнение регрессии в натуральных значениях факторов

 

ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ. НЕЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ.

 

ORIGIN:= 0

Матрица планирования

Вектор коэффициентов регрессии

Транспонированная матрица планирования

Число шагов по плоскости x1Ox2

k:= 10

Уравнение регрессии

i:= 0.. k

j:= 0.. k

Построение двухмерной сетки с шагом 2/k

Расчёт значений уравнения регрессии в узлах сетки для построения графика

 

Серии опытов (точки экспериментальных данных)

Серия 1	Серия 2	Серия 3	Серия 4
M10,0:= Y0,0	M1k,0:= Y1,0	M10,k:= Y2,0	M1k,k:= Y3,0
M20,0:= Y0,1	M2k,0:= Y1,1	M20,k:= Y2,1	M2k,k:= Y3,1
M30,0:= Y0,2	M3k,0:= Y1,2	M30,k:= Y2,2	M3k,k:= Y3,2
M40,0:= Y0,3	M4k,0:= Y1,3	M40,k:= Y2,3	M4k,k:= Y3,3

 

 

Рисунок 3. График регрессии.

 

ORIGIN:= 1

Проверка однородности дисперсий

max(v):=

S2max:= max(S2)

S2max = 0.094

G = 0.474

Gtabl:= 0.68

Odnorodnost(G, Gtabl):=

"Yes" if G <Gtabl "No" otherwise

Odnorodnost(G, Gtabl) = "Yes"

 

Проверка значимости коэффициентов регрессии

 

S2y = 0.05

S2bi = 3.101*10^-3

Sbi = 0.056

 

ttabl:= 2.18

 

Znachimost(t, ttabl):=	n ← rows(t)
	si ← “No1” if ti<ttabl si ← “Yes” otherwise
s

 

Проверка адекватности регрессионной модели

Ykr₁:= Yreg(-1,-1)

Ykr₂:= Yreg(1,-1)

Ykr₃:= Yreg(-1,1)

Ykr₄:= Yreg(1,1)

S2ad = 0

fad:= 1

F = 0

Fkr:= 4.75

 

Adekvatnost(F, Fkr):=

"Yes" if F<Fkr "No" otherwise

Adekvatnost(F, Fkr) = “Yes”

 

Уравнение регрессии в натуральных значениях факторов

 

ВЫВОД

 

Целью работы было изучение и практическое знакомство с методикой планирования полного факторного эксперимента (ПФЭ) при моделировании параметров технологического процесса напыления резисторов с помощью ЭВМ. Работа на ЭВМ выполнялась с помощью программы «MathCAD».

В ходе лабораторной работы было сделано несколько проверок: проверка однородности дисперсий, значимости коэффициентов регрессии, адекватности регрессионной модели. При проверке адекватности регрессионной модели функция Adekvatnost(F, Fkr) вернула значение «No», поэтому был произведён перерасчёт для нелинейной модели.