Численноерешениенелинейногоуравнения. Этапырешения. Классификацияметодовуточнениякорня. Геометрическийсмысл, достоинстваинедостаткикаждогометода

1.Методперебора. Прирешениинелинейногоуравненияметодомпереборазадаютсяначальноезначениеаргументаx=aишагh, которыйприэтомопределяетиточностьнахождениякорнейнелинейногоуравнения. ПокавыполняетсяусловиеF(x)*F(x+h)>0 аргументxувеличиваемнашагh (x=x+h). ЕслипроизведениеF(x)*F(x+h) становитсяотрицательным, тонаинтервале [x,x+h] существуетрешениеуравнения. Структограмма метода приведена на рисунке.

Пока F(x)∙F(x+h)>0	Рис. Структограмма для метода перебора
	x=x+h

2. Метод половинного деления. При решении нелинейного уравнения методом половинного деления задаются интервал [a,b], на котором существует только одно решение, и желаемая точность ε. Затем определяется середина интервала с=(а+b)/2 и проверяется условие F(a)∙F(c)<0. Если указанное условие выполняется, то правую границу интервала b переносим в среднюю точку с (b=c). Если условие не выполняется, то в среднюю точку переносим левую границу(a=c). Деление отрезка пополам продолжается пока |b-a|>ε. Структограмма решения нелинейных уравнений методом половинного деления приведена на рисунке.

Пока \|b-a\|>ε
c=(a+b)/2 F(a)∙F(c)<0

да	нет
b=c	a=c

· Метод хорд. При решении нелинейного уравнения методом хорд задаются интервал [a,b], на котором существует только одно решение, и точность ε. Затем через две точки с координатами (a,F(a)) и (b,F(b)) проводим отрезок прямой линии (хорду) и определяем точку пересечения этой линии с осью абсцисс (точка c). Если при этом F(a)∙F(c)<0, то правую границу интервала переносим в точку с (b=c). Если указанное условие не выполняется, то в точку c переносится левая граница интервала (а=с). Поиск решения прекращается при достижении заданной точности |F(c)|< ε. Для определения точки пересечения хорды с осью абсцисс воспользуемся следующей формулой (попытайтесь получить формулу самостоятельно).Структограмма метода хорд показана на рисунке.

Пока \|F(c)\|>ε
F(a)∙F(c)<0

да	нет
b=c	a=c

· Метод касательных. При решении нелинейного уравнения методом касательных задаются начальное значение аргумента x₀ и точность ε. Затем в точке(x₀,F(x₀)) проводим касательную к графику F(x) и определяем точку пересечения касательной с осью абсцисс x₁. В точке (x₁,F(x₁)) снова строим касательную, находим следующее приближение искомого решения x₂ и т.д. Указанную процедуру повторяем пока |F(x_i)| > ε. Для определения точки пересечения (i+1) касательной с осью абсцисс воспользуемся следующей формулой (получите формулу самостоятельно). Условие сходимости метода касательных F(x₀)∙F''(x₀)>0. Структограмма решения нелинейных уравнений методом касательных показана на рис.

Пока \|F(x)\|>ε	Рис. Структограмма для метода касательных

· Метод хорд-касательных. Если в методе касательных производную функции F'(x_i) заменить отношением конечных приращений, то получаем расчетную формулу для метода хорд-касательных. Порядок выполнения вычислений в данном методе аналогичен рассмотренному ранее.

· Метод итераций. При решении нелинейного уравнения методом итераций воспользуемся записью уравнения в виде x=f(x). Задаются начальное значение аргумента x₀ и точность ε. Первое приближение решения x₁ находим из выражения x₁=f(x₀), второе - x₂=f(x₁) и т.д. В общем случае i+1 приближение найдем по формуле x_i+1 =f(x_i). Указанную процедуру повторяем пока |f(x_i)|>ε. Условие сходимости метода итераций |f'(x)|<1. Структограмма метода итераций показана на рис.