2018-01-21
1546ІНДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 5.1
Криві другого порядку. Загальна теорія кривих другого порядку.
Задачі, з яких складається індивідуальне завдання
| №№ варіантів | Номери задач індивідуального завдання | |||||||||
|
|
|
1. Скласти рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо:
а) його півосі дорівнюють 5 і 2;
б) його велика вісь і відстань між фокусами дорівнюють 10 і 8 відповідно;
в) його мала вісь та відстань між фокусами дорівнюють 24 і 10 відповідно;
г) відстань між фокусами та ексцентриситет дорівнюють 6 і 3/5 відповідно;
д) його велика вісь та ексцентриситет дорівнюють 20 і 3/5 відповідно;
е) його мала вісь та ексцентриситет дорівнюють 10 і 12/13 відповідно;
є) відстань між його директрисами та відстань між фокусами дорівнюють 5 і 4 відповідно;
ж) його велика вісь та відстань між директрисами дорівнюють 8 і 16 відповідно;
з) його мала вісь та відстань між директрисами дорівнюють 6 і 13 відповідно;
и) відстань між його директрисами та ексцентриситет дорівнюють 32 і ½ відповідно.
|
|
|
2. Скласти рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі ординат симетрично відносно початку координат, якщо:
а) його півосі дорівнюють 7 і 2;
б) його велика вісь і відстань між фокусами дорівнюють 10 і 8 відповідно;
в) відстань між фокусами та ексцентриситет дорівнюють 24 і 12/13 відповідно;
г) його мала вісь та ексцентриситет дорівнюють 16 і 3/5 відповідно;
д) відстань між його директрисами та відстань між фокусами дорівнюють 50/3 і 6 відповідно;
е) відстань між його директрисами та ексцентриситет дорівнюють 32/3 і 3/4 відповідно.
3. Задано еліпс 
. Знайти: а) його півосі; б) фокуси; в) ексцентриситет; г) рівняння директрис.
4. Задано еліпс 
. Знайти: а) його півосі; б) фокуси; в) ексцентриситет; г) рівняння директрис.
5. Обчислити відстань від фокуса F(с,0) еліпса 
до односторонньої з цим фокусом директриси.
6. Фокальний радіус точки М еліпса дорівнює 10. Обчислити відстань від точки М до односторонньої з цим фокусом директриси, якщо ексцентриситет еліпса дорівнює 2/3.
7. Відстань від точки М до директриси дорівнює 20. Обчислити відстань від точки М до фокуса, одностороннього з цією директрисою, якщо ексцентриситет еліпса дорівнює 2/5.
8. Дано точку (2,-5/3) на еліпсі 
. Скласти рівняння прямих, на яких лежать фокальні радіуси даної точки.
9. Ексцентриситет еліпса дорівнює 1/3, його центр збігається з початком координат, а один з фокусів – з точкою (-2,0). Обчислити відстань від точки М еліпса з абсцисою 2 до односторонньої з даним фокусом директриси.
10. Ексцентриситет еліпса дорівнює 1/2, його центр збігається з початком координат, а одна з директрис задана рівнянням х=16. Обчислити відстань від точки М еліпса з абсцисою -4 до одностороннього з даною директрисою фокуса.
11. Визначити точки еліпса 
, відстань від яких до правого фокуса дорівнює 14.
12. Визначити точки еліпса 
, відстань від яких до лівого фокуса дорівнює 5/2.
13. Скласти рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо дано:
а) точку (
,2) еліпса і його малу піввісь 3;
б) точку (2, -2) еліпса і його велику піввісь 4;
в) точки (4, 
) і (
,3) еліпса;
г) точку (
,-1) еліпса і відстань 8 між його фокусами;
д) точку (2, -5/3) еліпса і його ексцентриситет 2/3;
е) точку (8, 12) еліпса і відстань 20 від неї до лівого фокуса;
є) точку (
,2) еліпса і відстань 10 між його директрисами.
14. Визначити ексцентриситет еліпса, якщо:
а) його малу вісь видно з фокусів під кутом 60°;
б) відрізок між фокусами видно з кінців малої осі під прямим кутом;
в) відстань між директрисами втричі більша за відстань між фокусами;
г) вершині еліпса ділить навпіл перпендикуляр, опущений з центра еліпса на його директрису.
15. Довести, що кожне з наступних рівнянь визначає еліпс, і знайти координати його центра, півосі, ексцентриситет та рівняння директрис:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
16. Склади рівняння еліпса, якщо:
а) його велика вісь дорівнює 26, а фокуси знаходяться у точках F1(-10,0) I F2(14,0);
б) його мала вісь дорівнює 2, а фокуси знаходяться у точках F1(-1,-1)I F2(1,1);
в) його фокуси знаходяться у точках F1(-2,3/2) і F2(2, -3/2), а ексцентриситет дорівнює 
;
г) його фокуси знаходяться у точках F1(l,3) і F2(3,1), а відстань між його директрисами дорівнює 
.
17. Скласти рівняння еліпса, якщо його ексцентриситет дорівнює 2/3, фокус знаходиться в точці F(2, 1), а відповідна директриса задана рівнянням х -5 = 0
18. Скласти рівняння еліпса, якщо його ексцентриситет дорівнює 1/2, фокус знаходиться в точці F(-4,1), а відповідна директриса задана рівнянням у + 3 = 0.
19. Точка А(- 3, -5) лежить на еліпсі з фокусом у точці F(l,-4), а відповідна цьому фокусу директриса задана рівнянням х — 2 = 0. Скласти рівняння цього еліпса.
20. Точка А(2,-1) лежить на еліпсі з фокусом у точці F(l, 0), а відповідна цьому фокусу директриса задана рівнянням 
. Скласти рівняння цього еліпса.
21. Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі ординат симетрично відносно початку координат, якщо:
|
|
|
а) її дійсна і уявна півосі дорівнюють 18 і 6 відповідно;
б) відстань між фокусами і ексцентриситет дорівнюють 10 і 5/3 відповідно;
в) асимптоти задані рівняннями 
, і відстань між вершинами дорівнює 48;
г) відстань між її директрисами і ексцентриситет дорівнюють 50/7 і 7/5 відповідно;
д) асимптоти задані рівняннями 
, і відстань між директрисами дорівнює 32/5.
22. Дано гіперболу 
. Знайти: а) півосі; б) фокуси; в) ексцентриситет; г) рівняння асимптот; д) рівняння директрис.
23. Дано гіперболу 
. Знайти: а) півосі; б) фокуси; в) ексцентриситет; г) рівняння асимптот; д) рівняння директрис.
24. Ексцентриситет гіперболи і фокальний радіус її точки М дорівнюють 2 і 16 відповідно. Обчислити відстань від точки М до односторонньої з цим фокусом директриси.
25. Ексцентриситет гіперболи та відстань від її точки М до директриси дорівнюють 3 і 4 відповідно. Обчислити відстань від точки М до фокуса, одностороннього з цією директрисою.
26. Ексцентриситет гіперболи дорівнює 2, її центр збігається з початком координат, а один з фокусів — з точкою (12,0). Обчислити відстань від точки гіперболи з абсцисою 13 до односторонньої з даним фокусом директриси.
27. Ексцентриситет гіперболи дорівнює 3/2, її центр збігається з початком координат, а одна з директрис задана рівнянням x = -6. Обчислити відстань від точки гіперболи з абсцисою 10 до одностороннього з даною директрисою фокуса.
28. Визначити точки гіперболи 
, відстань від яких до правого фокуса дорівнює 9/2.
29. Визначити точки гіперболи 
, відстань від яких до лівого фокуса дорівнює 7.
30. Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо дано:
а) точки (6,-1) і (-8, ) гіперболи;
б) точку (-5,3) гіперболи і ексцентриситет 
;
в) точку (9/2,-1) гіперболи і рівняння асимптот 
;
г) точку (-3,5/2) гіперболи і рівняння директрис х = ±4/3;
д) рівняння асимптот 
та директрис х = ±16/5.
31. Визначити ексцентриситет рівносторонньої гіперболи.
32. Фокуси гіперболи збігаються з фокусами еліпса 
. Скласти рівняння гіперболи, якщо її ексцентриситет дорівнює 2.
|
|
|
33. Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої лежать у вершинах еліпса 
, а директриси проходять через фокуси цього еліпса.
34. Скласти рівняння гіперболи, якщо:
а) відстань між її вершинами дорівнює 24, а фокуси знаходяться у точках F1(-10,2) і F2(16,2);
б) фокуси знаходяться у точках F1(3,4) і F2(-3, -4), а відстань між директрисами дорівнює 18/5;
в) кут між асимптотами дорівнює 90°, а фокуси знаходяться у точках F1(4,-4) і F2(-2,2).
35. Скласти рівняння гіперболи, якщо відомі її ексцентриситет 5/4, фокус F(5, 0) і рівняння відповідної директриси 
.
36. Скласти рівняння гіперболи, якщо відомі її ексцентриситет 13/12, фокус F(0,13) і рівняння відповідної директриси 
.
37. Скласти рівняння гіперболи, якщо відомі її ексцентриситет 
, фокус F(2, -3) і рівняння відповідної директриси 
.
38. Точка А(-3,-5) лежить на гіперболі, фокус якої знаходиться в точці
F(-2, -3), а відповідна директриса задається рівнянням х + 1 = 0. Скласти рівняння цієї гіперболи.
39. Точка А(1,-2) лежить на гіперболі, фокус якої знаходиться в точці F(-2,2), а відповідна директриса задається рівнянням 
. Скласти рівняння цієї гіперболи.
40. Скласти рівняння параболи, вершина якої знаходиться у початку координат, якщо вонарозташована симетрично відносно осі:
а) Ох і проходить через точку (9, 6);
б) Ох і проходить через точку(-1,3);
в) Оу і проходить через точку(1,1);
г) Оу і проходить через точку (4, -8).
41. Скласти рівняння параболи, яка має фокус F(0, -3) і проходить через початок координат, якщо відомо, що її віссю є вісь Оу.
42. Знайти фокус і рівняння директриси параболи у2 = 24х.
43. Обчислити фокальний радіус точки параболи у2 = 20х, абсциса якої дорівнює 7.
44. Обчислити фокальний радіус точки параболи у2 = 12х, ордината якої дорівнює 6.
45. На параболі у2 =16х знайти точки, фокальний радіус яких дорівнює 13.
46. Скласти рівняння параболи, якщо дано фокус F(-7,0) та рівняння директриси х-7=0.
47. Довести, що кожне з наступних рівнянь визначає параболу та знайти координати її вершини і параметр:
а) 
б) 
в) 
48. Скласти рівняння параболи, якщо дано її фокус і директрису:
а) (7, 2), х - 5 = 0; в) (2, -1), х - у - 1 = 0.
б) (4,3), у + 1=0;
49. Дано вершину (6, -3) параболи та рівняння 
її директриси. Знайти фокус цієї параболи.
50. Дано вершину (-2, -1) параболи та рівняння 
її директриси. Скласти рівняння цієї параболи.
51. Скласти рівняння параболи, яка проходить через точки (0,0) та (0,1) і вісь якої — пряма х + у + 1 = 0.
52. Скласти рівняння параболи, яка проходить через точки (0,0) і (0,1) і вісь якої — пряма х + у = 0.
53. Знайти точки перетину еліпса 
і параболи у2 = 24х.
54. Знайти точки перетину кривих 
і у2 = 3х.
55. Знайти точки перетину парабол у = х2 — 2х + 1, х = у2 -6у + 7.
В задачах 56 – 85 визначити лінію, яка задана рівняннями в полярних координатах і записати її рівняння в декартових координатах, зробити малюнок.
56. 
57. 
58. 
59. 
60. 
61. 
62. 
63. 
64. 
65. 
66. 
67. 
68. 
69. 
70. 
71. 
72. 
73. 
74. 
75. 
76.
77. 
78. 
79. 
80. 
81. 
82. 
83. 
84. 
85.
В задачах 86 – 116 треба звести задане рівняння кривої до канонічного вигляду і зробити малюнок даної кривої.
86. 
87. 
88. 
89. 
90. 
91. 
92. 
93. 
94. 
95. 
96. 
97. 
98. 
99. 
100. 
101. 
102. 
103. 
104.
105. 
106. 
107. 
108. 
109. 
110. 
111. 
112. 
113. 
114. 
115. 
116. 
117. Через точку А(1;2) проведено діаметр кривої другого порядку, рівняння якої має вид: 
. Знайти рівняння цього діаметра і діаметра йому спряженого.
118. Написати рівняння асимптот даної кривої 
.
119. Скласти рівняння хорди еліпса 
, яка проходить через т. А(1;-2) і ділиться нею пополам.
120. Скласти рівняння діаметра еліпса 
, який проходить через середину хорди, яку утворює пряма 
.
121. Знайти спряжені діаметри кривої 
, один з яких проходить через точку А(-1;-2).
122. Знайти рівняння діаметра кривої 
, який проходить через т. А(2;1).
123. Скласти рівняння дотичних до гіперболи , які перпендикулярні до прямої 
.
124. Скласти рівняння дотичних до еліпса 
, які паралельні до прямої 
.
125. Знайти два спряжені діаметри кривої 
, один з яких проходить через початок координат.
126. Знайти спільний діаметр двох кривих другого порядку, які задані такими рівняннями:
і 
.
127. Написати рівняння асимптот кривої 
.
128. Знайти вісь параболи: 
.
129. Знайти вісь параболи і її вершину: 
.
130. Задано рівняння директриси d: 
і координати точки F(6;-2), у якій знаходиться фокус деякої гіперболи. Знайти рівняння цієї гіперболи, якщо точка А(2;1) належить цій гіперболі.
131. Знайти рівняння хорди гіперболи 
, яка проходить через дану точку А(1;-1) і ділиться навпіл.
