Теорема Куна-Таккера
Теорема Куна-Таккера была сформулирована в 1951 г. Рассмотрим задачу выпуклого программирования
, (з)
где – линейное пространство, – выпуклые функции на , – выпуклое подмножество .
Для задачи (з) введем понятие функции Лагранжа:
.
Здесь – множители Лагранжа. (Ограничение в функцию Лагранжа не включается).
Теорема Куна-Таккера. 1. Пусть . Тогда, существуют , «нерон», такие, что выполняются
а) принцип минимума
;
б) условие неотрицательности
;
в) условие дополняющей нежесткости
.
2. Если , то условий а)-в) достаточно для того, чтобы допустимая точка .
3. Для того, чтобы , достаточно выполнения условия Слейтера, т. е. существования точки , для которой .
Комментарии к теореме Куна-Таккера.
1.Соотношение а) отражает мысль Лагранжа в наиболее завершенной форме: если доставляет минимум в задаче с ограничениями (типа неравенств), то эта же точка доставляет минимум функции Лагранжа (в задаче без тех ограничений, которые включены в функцию Лагранжа).
|
|
2. Соотношения б) и в) характерны для задач с неравенствами.
Доказательство теоремы Куна-Такккера опирается на теорему отделимости для конечномерного случая (д-во в АТФ, п. 1.3.4.).
Конечномерная теорема отделимости. Пусть – выпуклое подмножество в , не содержащее точки . Тогда существует набор чисел таких, что для выполняется неравенство .
Другими словами гиперплоскость , проходящая через 0, делит на две части, в одной из которых целиком лежит .
Двумерная иллюстрация: можно провести через 0 гиперплоскость таким образом, что множество останется по одну сторону: ( ).
Если – невыпуклое множество, этого сделать было бы нельзя.
Перейдем к доказательству теоремы Куна-Таккера. Докажем пункт 1.
1. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть . Будем считать, что , – иначе возьмем новую функцию .
Введем множество
,
.
Дальнейшую часть доказательства разбиваем на несколько этапов.
I. Множество – непусто.
Возьмем и в качестве
– очевидно, так как у нас =0,
– очевидно, так как у нас (см. (з)).
II. Множество – выпукло.
Возьмем и . Тогда и такие элементы из (), что (см. множество ):
, ,
, .
Надо доказать, что такая, для которой выпуклая комбинация будет принадлежать множеству : .
Положим . Тогда, , поскольку – выпукло, а так как все функции выпуклы, то
т. е. точка – выпукло.
III. Точка не принадлежит .
Действительно, если , то такая, что , . Но из этих неравенств следует, что не является решением задачи (з). Значит, .
Итак, – выпукло, , . Следовательно, можно применить конечномерную теорему отделимости, согласно которой такие, что
|
|
. (*)
Из I, II, III (*).
IV. Докажем условие неотрицательности: .
Возьмем в качестве , где и 1 стоит на -м месте. (см. п. I).
подставим в (*) . Так как – произвольно, то .
V. Докажем условие дополняющей нежесткости: .
а). Если , то условие очевидно.
б). Если , то (см. формулировку (з)).
Возьмем , где и стоит на -м месте.
– достаточно взять точку в качестве точки в А: – очевидно, так как ; при и при – очевидно.
подставим в (*) ,
причем . В силу произвольности получаем , но (см. IV, т. е. условие б)) , если .
VI. Докажем принцип минимума.
Пусть , , . Покажем, что . – очевидно, – очевидно .
Подставим в (*) (в силу произвольности ) , так как =0 по предположению, – по условию дополняющей нежесткости. Отсюда следует принцип минимума: .
Итак, пункт 1 теоремы Куна-Таккера доказан.
Докажем пункт 2.
2. Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть . Но тогда
.
В логической цепочке присутствуют пункты а), б), в).
3. Докажем утверждение 3 от противного.
Пусть условие Слейтера выполняется ( : ), но все-таки . Приведем к противоречию.
,
так как, в силу условия «нерон», не все , . Тогда,
.
А это противоречит принципу минимума.
Теорема доказана.
Пример. . Решим поставленную задачу, используя теорему Куна-Таккера. Функция Лагранжа:
.
Выпишем условия, определяющие решение данной задачи выпуклого программирования:
, так как выполняется условие Слейтера: Можно положить .
Из соотношений (1), (2) следует, что и . Тогда, учитывая, что , из условия дополняющей нежесткости (4) получаем
.
Так как, в силу условия неотрицательности (3): , то . При значении функция Лагранжа стремится к при . Значит, по следствию из теоремы Вейерштрасса, минимум функции Лагранжа, в силу единственности найденного решения, достигается в точке . Достаточные условия теоремы Куна-Таккера выполнены, следовательно, и .