Примеры решения задач по теме

Обратная матрица

Пусть А – квадратная матрица порядка п. Матрица А ^-1 называется обратной к матрице А, если

АА ^-1 = А ^-1 А = Е.

Из того, что матрица А ^-1 может быть умножена на А как справа, так и слева, вытекает, что А ^-1 – тоже квадратная матрица порядка п.

Упражнение 1. Доказать, что (А ^-1)^-1 = А.

Решение.

Пусть В = А ^-1. Тогда, поскольку по определению обратной матрицы

АВ = ВА = Е, матрица А является обратной для матрицы В, то есть

(А ^-1)^-1 = А.

Из теоремы 3.1 следует, что | A || A ^-1| = | E | = 1. Таким образом, если у матрицы А существует обратная, то | A | ≠ 0 (такие матрицы называются невырожден-ными) и

| A ^-1| = | A |^-1.

Для квадратной матрицы А = || a_ij || порядка п присоединенной называется матрица

Пример 2. Найдем для матрицы

присоединенную. Имеем

Теорема об обратной матрице. Для любой невырожденной матрицы А обратная матрица единственна и имеет вид

Пример 3. Найдем обратную матрицу для

Для нахождения присоединенной матрицы найдем сначала все алгебраические дополнения:

Следовательно (напомним, что алгебраические дополнения для элементов строк в присоединенной матрице надо расположить в соответствующем столбце),

Поскольку | A | = 1· A ₁₁ + 0· A ₁₂ + 1· A ₁₃ = - 9, получаем:

Упражнение 2. Найти обратную матрицу для

Решение.

Проверим невырожденность матрицы А:

следовательно, обратная матрица существует. Вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы А:

Построим присоединенную матрицу:

Используя теорему 3.3, находим обратную матрицу:

Упражнение 3. Доказать, что (АВ)^-1 = В ^-1 А ^-1.

Решение.

Пусть С = В ^-1 А ^-1. Тогда, применяя свойство 1 произведения матриц, понятие единичной матрицы (лекция 1) и определение обратной матрицы, получим: