Дополнительные задачи

Задачи к семинару №2

 

1. Пусть являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с . Покажите, что выборочное среднее является МНК оценкой генерального среднего.

 

 

Задачи из учебника Стока и Уотсона:

 

4.6. Покажите, что первое предположение метода наименьших квадратов, т.е. , предполагает, что .

 

4.7. Покажите, что является несмещенной оценкой . (Подсказка: Используйте тот факт, что является несмещенной оценкой, как показано в приложении 4.3.)

 

4.8. Предположим, что все предположения МНК–регрессии из вставки «Основные понятия 4.3» выполнены, за исключением того, что первое предположение заменяется на предположение . Какая часть выводов из вставки «Основные понятия 4.4» останется верной? Каковы изменения? Почему? ( асимптотически нормально распределена со средним значением и дисперсией, заданными во вставке «Основные понятия 4.4»? Что можно сказать о ?

 

4.11. Рассмотрим модель парной линейной регрессии .

а. Предположим, вы знаете, что . Выведите формулу оценки наименьших квадратов для .

б. Предположим, вы знаете, что . Выведите формулу оценки наименьших квадратов для .

4.14. Покажите, что линия выборочной регрессии проходит через точку .

 

4.5. Профессор решает провести эксперимент, чтобы измерить как влияет эффект нехватки времени на финальную экзаменационную оценку. Он дает каждому из 400 студентов в его курсе одинаковый итоговый экзамен, но некоторые студенты получают 90 минут, чтобы закончить экзамен, в то время как другие получают 120 минут. Студенты распределяются по группам с разным временем на написание экзаменационной работы случайным образом, основываясь на бросании монеты. Пусть обозначает число результат экзамена i -го студента (), а обозначает количество времени, за которое студент закончил экзамен ( или 120). Рассмотрим модель парной линейной регрессии .

а. Объясните, что представляет компонента . Почему у разных студентов различные значения ?

б. Объясните, почему для этой модели регрессии.

в. Выполняются ли другие предположения из вставки «Основные понятия 4.3»?

г. Оцененная регрессия имеет вид .

i. Вычислите предсказанное на основе регрессии значение средней оценки студентов к группе, которая писала экзамен 90 минут. Повторите вычисления для случая 120 минут и 150 минут.

ii. Вычислите предсказанный по регрессии выигрыш в оценке для студента, который получает дополнительные 10 минут на экзамене.

 

Дополнительные задачи

2. Наблюдались следующие пары значений переменных и : ( Задача 1.1.2 из УМК-1 )

(a) ; (b) ; (c) ; (d) ;

(e) .

В каждом из вариантов самостоятельно (“вручную”) постройте диаграмму рассеяния и вычислите выборочный коэффициент корреляции между переменными и . Проинтерпретируйте полученные значения и сопоставьте их с формой облака точек на диаграммах рассеяния. В любом пункте (например, в пункте (с)) измените масштаб по одной из переменной и вычислите коэффициент корреляции в новой ситуации. [Предложение преподавателя: умножьте x или y сначала на 2, подсчитайте коэффициент корреляции, потом на -2 и тоже подсчитайте коэффициент корреляции]. Изменилось ли значение коэффициента корреляции?

 

3. Пусть . Пусть методом наименьших квадратов оцениваются модели:

, , , .

Покажите, что , .

 

4. Для модели , , вычислите оценки коэффициентов по наблюдениям . (Это было сделано ранее.)

(а) Используя результаты этих вычислений, найдите оценки коэффициентов “обратной” модели .

(б) Вручную постройте график, в котором по оси абсцисс откладываются значения , а по оси ординат – значения , и значения , вычисляемые для значений с использованием подобранной ”обратной” модели.