Основная теорема зацепления

Формулировка теоремы: общая нормаль к профилям зубчатых колес, находящимся в зацеплении, делит межосевое расстояние на части, обратно пропорциональные угловым скоростям, т.е.,

_,(10.4)

где О_1,О₂ – центры вращения соответственно шестерни и зубчатого колеса; Р – полюс зацепления.

Для доказательства основной теоремы рассмотрим зацепление двух зубьев в некоторый момент времени (рис.5) в точке М со скоростями этих точек и . Проведем через точку касания М общие касательную ТТ и нормаль . Очевидно, что условием непрерывности зацепления при вращении колес будет равенство проекций скоростей и на общую нормаль, т.е. . Обозначая углы векторов с нормалью через и имеем . Откуда:

что требовалось доказать. Последнее равенство вытекает из подобия O₂PL и O₁PK.

Рис.10.5

Следствие 1. Проекции скоростей на общую касательную ТТ не равны между собой. Поэтому зацепление зубьев происходит со скольжением профилей, от которого возникает износ и потери на трение, зависящие от скорости скольжения . Скольжения не будет только тогда, когда , т.е. в момент зацепления зубьев на линии центров.

Следствие 2. Для постоянства передаточного отношения необходимо, чтобы общая нормаль в любой момент зацепления проходила через одну и ту же точку на линии центров, называемую полюсом зацепления Р.

Окружности, проходящие через полюс зацепления, называют начальными (и ). Они являются центроидами относительного движения колес.

Основной теореме зацепления и ее следствиям удовлетворяет большое число кривых. Однако с учетом технологических и эксплуатационных требований основной кривой для профилей зубьев является эвольвента круга, предложенная Л. Эйлером в 1754г.

Эвольвента и ее свойства

Эвольвента – это кривая, которую описывает любая точка прямой линии, катящейся без скольжения по окружности, Прямая линия, которая образует эвольвенту, называется производящей, а окружность, по которой она перекатыватся, - основной, ией присваивается индекс b.

Рассмотрим построение эвольвенты. На рис. 6 изображена окружность с центром в точке О.

Рис.10.6

К этой окружности проведена касательная в точке А. Будем перекатывать прямую по окружности без скольжения. Для этого от точки А отложим по прямой ряд одинаковых по длине отрезков А – 1, 1 – 2, 2 – 3 и т.д. По окружности от точки А отложим дуги А – 1¹, 1¹ – 2¹, 2¹ – 3¹ и т.д., равные этим отрезкам. При перекатывании прямой по окружности без скольжения точка 1 совпадет с точкой 1¹, точка 2 – с точкой 2¹ и т.д. Проведем в точках 1¹, 2¹, 3¹,_... касательные к окружности (для точного проведения касательной следует сначала провести радиус и затем к нему провести перпендикуляр) и отложим на них от точек касания отрезки 1¹А₁, 2¹А₂, 3¹А₃, …, равные соответственно отрезкам прямой А1, А2, А3,....Соединяя точки А, А_1,А₂,... плавной кривой, получим эвольвенту.

Прямая линия, которая образует эвольвенту, называется производящей, а окружность, по которой она перекатыватся, - основной, и ей присваивается индекс b.

Эвольвента обладает следующими свойствами:

1) эвольвента начинается на основной окружности и всегда находится

вне ее;

2) образующая прямая нормальна к эвольвенте и является касательной

для основной окружности;

3) Форма эвольвенты зависит только от диаметра d_b основной

окружности.

Выведем уравнение эвольвенты.

Рис. 10. 7

Пусть координатами какой – либо точки К эвольвенты (рис. 10.7) будут: r – радиус – вектор и - угол отклонения радиус – вектора от радиуса, проведенного к началу эвольвенты В (на основной окружности). Проведем из точки К касательную к основной окружности радиуса r₀. Точку касания М соединим с центром основной окружности О. Угол между лучами ОМи ОК обозначим через α.