Обработка результатов совместных и совокупных измерений

При совместных и совокупных измерениях значения искомых величин или параметров находят посредством решения систем уравнений. Эти уравнения наряду с упомянутыми параметрами содержат также величины, значения которых можно определить при помощи прямых или косвенных измерений. Характер зависимости, связывающей все эти величины, предполагается известным. Пусть, например, указанная зависимость имеет вид

y = f(a₁, a₂ ,..., a_j ,..., a_m , x₁, x₂ ,..., x_k ,..., x_t). (3.65)

В этой формуле подлежат определению величины a₁, a₂ ,..., a_j ,..., a_m, которые недоступны непосредственному наблюдению, в то время как значения y и x₁, x₂ ,..., x_k ,..., x_t могут быть измерены прямым или косвенным методом. Предположим, что произведено m измерений величины y при m различных значениях каждой из величин x₁, x₂ ,..., x_k ,..., x_t . Это дает возможность составить систему уравнений

y_i = f(a₁, a₂ ,..., a_j ,..., a_m, x_1i, x_2i ,..., x_ki ,..., x_ti), i=1,2,...m, (3.66)

решением которой являются оценки искомых величин . Из-за того, что значения y_i и x_1i, x_2i ,..., x_ki ,..., x_ti получены в результате измерений, они содержат погрешности. Следовательно оценки тоже не свободны от погрешностей. Для увеличения точности приходится увеличивать число измерений, то есть производить вместо m n измерений, где n > m. Однако это приводит к несовместности системы уравнений (3.66). Вследствие случайных погрешностей при любых значениях a₁, a₂ ,..., a_j ,..., a_m уравнение (3.65) не выполняется, поэтому

f(a₁, a₂ ,..., a_j ,..., a_m, x_1i, x_2i ,..., x_ki ,..., x_ti) - y_i = D_i. (3.67)

Каждое значение D_i (i = 1,..., n) в общем случае не равно нулю. Чтобы найти значения коэффициентов a₁, a₂ ,..., a_j ,..., a_m следует обратиться к методу наименьших квадратов. Этот метод был разработан Лежандром и Гауссом в начале 19-го столетия. Согласно ему наилучшими считаются оценки параметров а_j (j = 1,2,...,m), при которых сумма квадратов D_i минимальна:

S = = min. (3.68)

Для простоты будем считать, что параметры а_i входят в f линейно, т.е. уравнение (2.59) сводится к виду:

y = a₁ x_{1 +} a₂ x₂ +... + a_m x_m . (3.69)

Тогда

S=² (3.70)

и условие минимума S дает систему m уравнений

x_ji=0, (3.71)

решение которых относительно параметров приводит к нахождению искомых оценок .

На практике стараются организовать измерения таким образом, чтобы число параметров было как можно меньше. В этих случаях результат решения системы (3.71) имеет обозримый и достаточно простой вид. В противном случае приходится прибегать к матричному исчислению и вычислять определители большой размерности. Впрочем, использование компьютеров существенно упрощает эту задачу.

Погрешности найденных значений параметров также могут быть определены в рамках метода наименьших квадратов.