2014-01-31
769
В практике измерений часто возникает необходимость в экспериментальном определении зависимости между двумя или большим числом измеряемых физических величин. Предположим, что между физическими величинами x и y имеет место аналитическая зависимость, которую представим выражением
, (2.48)
где 
- неизвестные коэффициенты, 
.
В результате измерений можно получить n экспериментальных точек с координатами 
на координатной плоскости XOY, причем 
. По расположению экспериментальных точек на координатной плоскости можно сделать предположение о виде аппроксимирующей функции. Ее можно представить какой-либо конкретной функцией, например, синус, тангенс, логарифм, экспонента, арктангенс и др. или полиномом высокой степени. В общем виде аппроксимирующую функцию представим в виде
, (2.48)
где 
искомые коэффициенты аппроксимирующей функции, .
Необходимо определить коэффициенты , используя результаты измерений, выполненные с некоторой погрешностью. Будем считать, что погрешность измерений носит случайный характер и подчиняется нормальному закону распределения плотности вероятности случайных погрешностей. Для решения подобных задач наибольшее распространение получил метод наименьших квадратов.
|
|
|
Погрешности измерения, а также неточный выбор аппроксимирующей функции являются причиной возникновения погрешности между вычисленным значением функции 
по измеренному значению аргумента 
и измеренным значением функции 
. (2.49)
В соответствии с методом наименьших квадратов аналитическая зависимость будет наилучшим образом описывать экспериментальную, если сумма квадратов погрешности 
будет минимальна.
. (2.50)
Для вычисления 
неизвестных коэффициентов необходимо записать систему уравнений
. (2.51)
Или после преобразований в развернутом виде
(2.52)
Приведенная система уравнений достаточно просто решается в системе MathCad. Средствами MathCad может быть организована и вся процедура вычисления коэффициентов аппроксимирующей функции по методу наименьших квадратов.
