Двоичная арифметика

Двоичная система счисления

Системы счисления, используемые при работе с ЭВМ

Основание Р = 2. Алфавит включает две двоичные цифры: 0, 1. Любое число C = C_n C_n-1 …C₁ C₀ C_-1 C_-m есть сумма степеней числа Р = 2,

C = C_n× 2ⁿ +C_n-1× 2^n-1 +…+C₁× 2¹ +C₀× 2⁰ +C_-1× 2^-1 +…+C_-m× 2^-m

Пример 3.6.

101011,11₂ =1×2⁵ + 0×2⁴ + 1×2³ + 0×2² +1×2¹ + 1×2⁰ +1×2^-1 + 1×2^-2 = 32+8+2+1+0,5+0,25=43,75₁₀.

Веса разрядов в двоичной системе счисления равны 1, 4, 8,16,... влево от запятой и 0,5; 0,25; 0,125; 0,625;... вправо от запятой.

При программировании иногда используется шестнадцатеричная система счисления. Для изображения цифр, больших 9, в шестнадцатеричной системе счисления применяются латинские буквы A, B, C, D, E, F. Изображения первых шестнадцати чисел в десятичной, двоичной и шестнадцатеричной системах счисления приведены в табл. 2.

Таблица кодов в различных системах счисления

Таблица 2

Десятичная система	Двоичная система	Шестнад-цатеричная система	Десятичная система	Двоичная система	Шестнад-цатеричная система
					А
					B
					C
					D
					E
					F

Двоично-десятичная система счисления получила большое распространение в современных ЭВМ ввиду легкости перевода в десятичную систему и обратно. Она используется там, где основное внимание уделяется не простоте технического построения машины, а удобству работы пользователя. В этой системе счисления все десятичные цифры отдельно кодируются четырьмя двоичными цифрами.

Пример 3.7.

Десятичное число 9703 в двоично-десятичной системе выглядит так: 1001 0111 0000 0011.

Преимущество двоичной системы счисления над десятичной с точки зрения ЦВМ состоит в следующем:

• требуются элементы с двумя устойчивыми состояниями;
• существенно упрощаются арифметические операции;
• оборудования требуется в 1,5 раза меньше;
• позволяет применить аппарат математической логики для анализа и синтеза схем.

Недостатки двоичной системы счисления состоят в следующем:

• большая длина записи чисел;
• при вводе и выводе информации требуется перевод в десятичную систему счисления.

Рассмотрим, как выполняются основные действия в двоичной арифметике.

Сложение	Вычитание	Вычитание	Деление
0+0=0	0-0=0	0х0=0	0:1=0
0+1=1	1-0=1	0х1=0	1:1=1
1+0=1	1-1=0	1х0=0
1+1=10	10-1=1	1х1=1

Правила арифметики во всех позиционных системах счисления одинаковы, т.е. сложение, умножение и вычитание начинают с младших разрядов, деление - со старших.

При сложении единица переноса складывается с цифрами соседнего старшего разряда. При вычитании единица заема старшего разряда дает две единицы в младшем соседнем разряде.

Пример 3.8

Умножение двоичных чисел аналогично умножению десятичных, но т.к. умножаем только на 0 и 1, то умножение сводится к операции сдвига и сложения.

Пример 3.9