Разработка математической модели оценивания показателей эксплуатационных свойств судовой САРП и её анализ

2.1 Разработка математической модели оценивания показателей эксплуатационных свойств судовой САРП.

Обозначим вероятности нахождения САРП в i-ом состоянии через Р_i. Составим систему уравнений Колмогорова-Чепмена, соответствующую заданному графу состояний на рис.1:

1. μР₆(t)+β_6,1Р₆(t)-τР₁(t)=Р₁’(t)

2. τР₁(t)+β_7,2Р₇(t)-λ_2,3Р₂(t)=Р₂’(t)

3. λ_2,3Р₂(t)+β_6,3Р₆(t) - α _3,6Р₃(t)-λ_3,4Р₃(t)=Р₃’(t)

4. λ_3,4Р₃(t)-γ_4,5Р₄(t)-α _4,6Р₄(t)-α _4,7Р₄(t)=Р₄’(t)

5. γ_4,5Р₄(t)- μР₅(t) - α _5,6Р₅(t)-α _5,7Р₅(t)=Р₅’(t)

6. α _5,6Р₅(t) +α _4,6Р₄(t) +α _3,6Р₃(t)–β_6,3Р₆(t)=Р₆’(t)

7. α _5,7Р₅(t) +α _4,7Р₄(t) -β_7,2Р₇(t) = Р₇’(t)

Решать данную систему необходимо с помощью нормирующего условия:

 

Р₁(t)+Р₂(t)+Р₃(t)+Р₄(t)+Р₅(t)+Р₆(t)+Р₇(t)=1

 

В теории вероятности доказано, что для достаточно большого промежутка времени t вероятности Р_i(t) стабилизируются и стремятся к некоторой константе.

 

P_i(t)=P_i=const

^t

        

    С учетом сказанного система дифференциальных уравнений превращается:

1. μР₆ +β_6,1Р₆ -τР₁= 0

2. τР₁+β_7,2Р₇-λ_2,3Р₂= 0

3. Р₁ +Р₂ +Р₃ +Р₄ +Р₅ +Р₆ +Р₇= 1

4. λ_3,4Р₃-γ_4,5Р₄-α _4,6Р₄-α _4,7Р₄= 0

5. γ_4,5Р₄- μР₅ - α _5,6Р₅ -α _5,7Р₅= 0

6. α _5,6Р₅+α _4,6Р₄ +α _3,6Р₃ –β_6,3Р₆= 0

7. α _5,7Р₅ +α _4,7Р₄ -β_7,2Р₇ = 0

 

По заданию необходимо оценить работу САРП относительно готовности судоводителя-оператора. Поэтому будем выражать вероятности относительно режима готовности (Р₄).

 

Из уравнения 4 выразим вероятность Р₃:

 

 

Из уравнения 5 найдем вероятность Р₅:

Из уравнения 6 находим вероятность Р₆:

Из уравнения 7 находим вероятность Р₇:

;

Из уравнения 1 находим вероятность Р₁:

Из уравнения 2 находим вероятность Р₂:

 

Перечислим найденные вероятности:

Р₁=Х₅Р₄;

Р₂=Х₆Р₄;

Р₃=Х₁Р₄;

Р₅=Х₂Р₄;

Р₆=Х₃Р₄;

Р₇=Х₄Р₄.

Теперь все найденные вероятности подставим в нормирующее условие:

Х₅Р₅+Х₄Р₅+Х₂Р₅+Х₁Р₅+Р₅+Х₃Р₅+Х₆Р₅=1

 

 

 

Р₄ = (1+0,46+0,46+5,0+0,09+0,9+0,027)^(-1)

P₄ = 7,937 ^(-1)=0,12

 

Теперь найдем вероятность нахождения системы в режиме готовности:

Р_г = 1- 0,12=0,88

2.2Анализ полученной математической модели и рекомендации по её использованию.

Данная математическая модель позволяет оценить вероятность нахождения судовой САРП в режиме готовности, влияние на ее работу, как нескольких отдельных факторов, так и их совокупности.

Также она позволяет определить время нахождения судовойСАРП в различных состояниях. Имеется возможность оценивания влияния отдельных параметров на различные показатели, и находить их изменения в зависимости от какого-либо параметра.

Также можно определить вероятности нахождения системы в различных режимах.

Определение времени нахождения судовой САРП в различных состояниях проводится в соответствии с выражением:

 

Т_i= 1/A_i где A_i = ∑ a_i,j

Определение вероятности нахождения системы в различных режимах проводится с помощью формул, полученных в результате решения системы уравнений методом подстановки.

2.3 Выводы по разделу

На основании полученных результатов можно сделать вывод, что данная математическая модель позволяет оценить показатели различных эксплуатационных свойств САРП, а также наблюдать за состоянием системы путём добавления или удаления режимов или изменения их интенсивности, что также можно использовать для улучшениясистемы.