Задание 2. Разности потенциалов на сторонах равностороннего треугольника при различных ориентациях диполя

Лабораторная работа №1.

ИЗУЧЕНИЕ ПОЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ДИПОЛЯ.

Цель работы: Изучение поля электрического диполя на модели с электропроводной бумагой. Ознакомление с физическими основами теории Эйнтховена.

Оборудование: Макеты с электропроводной бумагой, электроды, источник питания, вольтметр.

 

Электрический диполь характеризуется дипольным моментом p = q е, где р  - вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному.

Потенциал φ в некоторой точке А, удаленный от диполя на расстояние r равен:

 

φ = [1/ (4π ε ε₀ )]* (p cos α)/r²

где α – угол между диполем и направлением на точку А, r ≥ e.

Если диполь находится в точке 0 (рисю1.), то разность потенциалов в двух точках А и В, равностоящих от диполя:

 

φ_В – φ_А = [1/ (4π ε ε₀ )]* (p/r² ) (cos α_B - cos α_A),

 

т.к. ОС || AB, то α_A  = γ + β/2 + π/2

половины угла, под которым видны эти точки от диполя, и от проекции электрического момента диполя на прямую, соединяющую точки.

Если диполь находится в центре равностороннего треугольника, то β_АС = β_АВ = β_ВС. Поэтому U_АВ: U_ВС : U_АС  = Р_АВ : Р_ВС: Р_АС 

Р_АВ : Р_ВС: Р_АС – проекции вектора р на сторону треугольника U_АВ: U_ВС : U_АС   = p cos α_AB : p cos α_BC : p cos α_AC, где α – угол между диполем и соответствующей стороной треугольника, т.к. р – постоянная величина.

U_АВ: U_ВС : U_АС  = |cos α_AB|: |cos α_BC|: |cos α_AC|.

Зная напряжение U_АВ, U_ВС , U_АС , можно определить ориентацию диполя относительно α_В = γ - β/2 + π/2

cos α_B - cos α_A = 2 sin (β/2) cos γ

φ_В – φ_А = sin (β/2) / (2 π ε ε₀ r²) * (p cos γ)

 

Разность потенциалов в двух точках поля диполя зависит от синуса сторон треугольника.

 Из последнего соотношения следует:

U _АВ = К cos α_AB

U_ВС = К cos α_BC

U_АС= К cos α_AC

Используя эти соотношения и соотношения между углами

α_АС = π/3 – α_АВ,

α_ВС = 2 π/3- α_АВ,

получаем выражения для определения ориентации диполя

tg α_АВ  = 1/√3 * (U_AC + U_BC)/(U_AC – U_BC)

Электростатическое поле в диэлектрике подобно полю постоянного тока в проводящей среде при одинаковой конфигурации электродов, что находится в соответствии с законом Ома j = γ E. Такая двухполюсная система в проводящей среде называется дипольным электрическим генератором или токовым диполем. Подобно электрическому моменту диполя вводится дипольный момент токового диполя: P_т = I * l, где l – расстояние между электродами, I – сила тока. Потенциал поля токового диполя в безграничной среде выражается формулой, аналогичной полученной ранее для электрического диполя:

 φ = [1/(4 πγ)] * (P_т cosα)/r²

где γ – удельная теплопроводность. Таким образом остаются справедливыми и все полученные выше результаты для разностей потенциалов в электрическом поле диполя.

 

В электрическом отношении сердце можно рассматривать как токовый диполь. За время сердечного цикла изменяется положение диполя в пространстве и дипольный момент. В соответствии с теорией Эйнтховена, сердце-диполь расположено в центре равностороннего треугольника, вершины которого условно можно считать находящимися в правой руке, левой руке и левой ноге. В соответствии с изложенными выше результатами, измерение разности потенциалов между вершинами этого треугольника позволяет определить соотношение между проекциями дипольного момента сердца на стороны треугольника и тем самым определить его ориентацию. Указанные представления лежат в основе векторной электрокардиографии.

Описание установки.

В установке для моделирования поля используются планшеты с электропроводной бумагой. Электропроводная бумага изготавливается из бумажной массы, в которую добавляется сажа или графит. Она характеризуется сопротивлением на квадрат, т.е. сопротивлением квадратного листа бумаги не зависит от размеров квадрата.

Одна установка имеет открытый планшет. Электроды (моделирующие диполь) могут быть помещены на бумаге в различном положении. В точках А, В и С закреплены пистоны для снятия напряжения.

Другая установка представляет собой закрытый ящик, в котором находится планшет с закрепленным диполем (в центре равностороннего треугольника). Эта установка используется для определения ориентации диполя по напряжениям на сторонах равностороннего треугольника.

Задания к работе №1.

Задание 1. Построение эквипотенциальных линий поля токового диполя.

 

Поместите на планшете с электропроводной бумагой два электрода и подайте напряжение на электроды (U ~ 4…6 В). Один из электродов соедините с вольтметром. Измерьте напряжение питания. Затем найдите, перемещая второй щуп вольтметра по бумаге, точки с потенциалом, равным половине напряжения питания. Наметьте эти точки мелом. Постройте еще 2 эквипотенциальные линии по обе стороны от первой и наметьте их мелом. Перенесите качественную картину эквипотенциальных линий (для диполя) в тетрадь.

 

Задание 2. Разности потенциалов на сторонах равностороннего треугольника при различных ориентациях диполя.

 

Поместите в центре равностороннего треугольника (на открытом планшете с электропроводной бумагой) два электрода (расстояние между электродами 4…6 см) вдоль линии, параллельной одной из сторон, и измерьте разности потенциалов U_АВ, U_ВС , U_АС. Определите косинусы углов α_АВ, α_ВС, α_АС между диполем и соответствующими сторонами. Результаты занесите в таблицу 1. Проверьте, выполняется ли соотношение

 U_АВ: U_ВС : U_АС  = |cos α_AB|: |cos α_BC|: |cos α_AC|.

Расположите электроды в центре треугольника вдоль одной из высот и, проверив измерения напряжения, проверьте их соотношение.

 

Рис.1.

Задание к работе №1 А. Определение ориентации диполя.

 

1. Подайте напряжение на диполь в закрытом планшете.
2. измерьте разности потенциалов U_АВ и U_ВС.
3. Занесите данные в таблицу 2.
4. Определите угол между плечом диполя и стороной АВ в треугольнике.
5. Измерьте разности потенциалов U_АВ и U_ВС.
6. Определите угол между плечом диполя и стороной АС в треугольнике.
7. Проверьте соотношение между углами α_АВ и α_АС.

 

 

                                                                                   Таблица 1.

 

UB AB	UB BC	UB AC	cos αАВ	cos αВC	cos αАC

                                                                                                                Таблица 2.

 

UB AC	UB BC	tg αАВ	αАВ

Литература:

Ремизов А.Н. Медицинская и биологическая физика. М., Высшая школа, 1987. §§ 14.2 – 14.5

Контрольные вопросы:

1. В чем состоит аналогия между электрическим и токовым диполями?
2. Какова физическая основа теории Эйнтховена?
3. Выведите формулу для определения потенциалов двух точек электрического поля диполя.