Вопросы для самопроверки

Дубров А.М.

Д79 Моделирование рисковых ситуации в экономике и биз­несе: Учеб. пособие/А.М. Дубров, Б.А. Лагоша, Е.Ю. Хрусталев; Под ред. Б.А. Лагоши.— М.: Финансы и статисти­ка, 2000.— 176 с.: ил. ISBN 5-279-02068-0.

Рассматриваются подходы к учету факторов неопределенности и риска в экономической практике, а также математические модели, используемые для этих целей. Анализируются ситуации, возникающие в условиях неопределен­ности и недостатка информации при принятии управленческих решений. Со­держание иллюстрируется прикладными задачами с решениями.

Для студентов, обучающихся по специальностям «Статистика», «Мате­матические методы и исследование операций в экономике», «Информацион­ные системы в экономике» и другим экономическим специальностям. Для ас­пирантов, преподавателей, а также для предпринимателей, организующих свой бизнес.

Д 2404000000-031    136 – 98                                 УДК 330.105

010(01)-2000                                                                 ББК 65.290-2,73

ISBN 5-279-02068-0                                                           © А.М. Дубров, Б.А. Лагоша

  Е.Ю. Хрусталев. 1999

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

ПРЕДИСЛОВИЕ...................................................................................................................................................................................................... 3

Глава 1 РИСК И ЕГО ИЗМЕРЕНИЕ.................................................................................................................................................................. 4

1.1. РИСК И ПРИБЫЛЬ..................................................................................................................................................................................... 4

1.2. МЕРЫ РИСКА............................................................................................................................................................................................. 6

Глава 2 СТРАТЕГИЧЕСКИЕ ИГРЫ.................................................................................................................................................................. 8

2.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СТРАТЕГИЧЕСКИХ ИГР....................................................................................................... 8

2.2. СМЕШАННЫЕ СТРАТЕГИИ............................................................................................................................................................... 12

2.3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЯХ (ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ)....................................................................... 13

2.4. МАЖОРИРОВАНИЕ (ДОМИНИРОВАНИЕ) СТРАТЕГИЙ.......................................................................................................... 16

Задачи для самостоятельного решения............................................................................................................................................... 17

Глава 3 ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И РИСКА (ИГРЫ С ПРИРОДОЙ)........................... 18

3.1. ПОНЯТИЕ ИГРЫ С ПРИРОДОЙ.......................................................................................................................................................... 18

3.2. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ПОЛНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ.......................................................................... 20

3.3. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА............................................................................................................................. 22

3.4. ВЫБОР РЕШЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ДЕРЕВА РЕШЕНИЙ (ПОЗИЦИОННЫЕ ИГРЫ)........................................................... 23

3.4.1. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ ДЕРЕВА РЕШЕНИЙ................................................................................... 23

3.4.2. АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ДЕРЕВА РЕШЕНИЙ............................................................................... 24

3.4.3. ОЖИДАЕМАЯ ЦЕННОСТЬ ТОЧНОЙ ИНФОРМАЦИИ....................................................................................................... 27

3.5. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ..................................................................................................................................................................... 27

Глава 4 ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ НЕЙМАНА - МОРГЕНШТЕРНА................................................................................................ 33

4.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АКСИОМЫ.................................................................................................................................. 33

4.2. ИЗМЕРЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ К РИСКУ............................................................................................................................................ 36

4.3. СТРАХОВАНИЕ ОТ РИСКА................................................................................................................................................................. 38

Глава 5 ФИНАНСОВЫЕ РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ РИСКА................................................................................................................. 42

5.1. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЛАНИРОВАНИЯ ФИНАНСОВ................................................................................................ 42

5.2. ОЦЕНКА ТЕКУЩЕЙ СТОИМОСТИ ФИРМЫ................................................................................................................................. 45

5.2.1. ЧИСТАЯ ПРИВЕДЕННАЯ СТОИМОСТЬ (БЕЗРИСКОВАЯ СИТУАЦИЯ)..................................................................... 45

5.2.2. КОЭФФИЦИЕНТЫ ДИСКОНТИРОВАНИЯ ДЛЯ РИСКОВАННОГО ПРОЕКТА......................................................... 47

5.3. ОЦЕНКА ПЕРСПЕКТИВНОГО ПРОЕКТА....................................................................................................................................... 48

5.4. АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ ПРОЕКТА............................................................................................................. 51

Глава 6 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ.............................................................................................................................................................. 53

6.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ............................................................................................................................................................................... 53

6.2. СВОЙСТВА СТАТИСТИЧЕСКИХ ИГР............................................................................................................................................. 54

6.2.1. ВЫБОР ФУНКЦИЙ РЕШЕНИЯ................................................................................................................................................... 57

6.2.2. МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ.................................................................................................................................. 60

Глава 7 ИНВЕСТИЦИОННЫЕ РЕШЕНИЯ.................................................................................................................................................. 62

7.1. ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО ВАРИАНТА КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ ПРИ СТРОИТЕЛЬСТВЕ ЭЛЕКТРОСТАНЦИЙ. 62

7.2. ИНВЕСТИЦИИ В РАЗРАБОТКУ ПОЛЕЗНЫХ ИСКОПАЕМЫХ................................................................................................ 63

Глава 8 ЗАДАЧИ ИЗ РАЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ ХОЗЯЙСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ...................................................................... 65

8.1. ПРОЕКТИРОВАНИЕ МАРШРУТОВ ГОРОДСКОГО ТРАНСПОРТА....................................................................................... 65

8.2. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СЕЛЬСКОМ ХОЗЯЙСТВЕ.................................................................................................................. 68

8.3. СТАТИСТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ ПАРТИИ ГОТОВЫХ ИЗДЕЛИЙ И ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕБОЕВ ПРОИЗВОДСТВА 70

8.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ЗАПАСА ПРОДУКЦИИ ТОРГОВОЙ ФИРМЫ НА ОСНОВЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ.................................................................................................................................................................................................................. 75

ПРИЛОЖЕНИЕ..................................................................................................................................................................................................... 78

СВЯЗЬ МАТРИЧНЫХ ИГР С ЛИНЕЙНЫМ ПРОГРАММИРОВАНИЕМ (ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ИГР). ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ.................................................................................................................................................................................................. 78

КРАТКИЙ СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ................................................................................................................................................................. 82

ЛИТЕРАТУРА....................................................................................................................................................................................................... 83

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.......................................................................................................................................................................... 84

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

В предлагаемой читателю книге основное внимание уделяет­ся методам решения задач, возникающих в рисковых ситуациях. В Словаре русского языка С. И. Ожегова термин «риск» опреде­ляется как «возможная опасность» и «действие наудачу в надеж­де на счастливый исход». Следовательно, риск предполагает возможность наступления неблагоприятного события. Для лю­бого бизнеса важно не избежать риск вообще, а предвидеть его и принять наилучшее решение относительно определенного кри­терия, отражающего основной интерес предпринимателя.

Теоретической основой и практическим инструментарием анализа и прогнозирования решений в экономике и бизнесе яв­ляются экономико-математические модели и проводимые по ним расчеты.

В настоящем учебном пособии при рассмотрении моделей принятия решений в условиях неопределенности и риска даются практические рекомендации по применению этих моделей в типовых ситуациях. В данном случае основная трудность заклю­чается не в выполнении расчетов, а в построении самих моде­лей, адекватных реальной обстановке. В силу этого читателю предлагается достаточно большое число примеров построения таких моделей. Разнообразные реальные экономические ситуа­ции - потенциальные объекты моделирования - описаны в зада­чах. Некоторые из них даются с решениями, другие - предназ­начены для самостоятельной работы.

В качестве математических средств принятия решений в ус­ловиях неопределенности и риска используются: теория страте­гических игр, теория вероятностей, математическая статистика, теория статистических решений, математическое программиро­вание, теория полезности Неймана-Моргенштерна.

Книга состоит из восьми глав. Главы 1-5 отражают достаточ­но элементарный подход к исследуемой области, главы 6 - 8 -более углубленный.

Необходимый для первых пяти глав математический аппарат не выходит за пределы младших курсов экономических вузов. Здесь приводятся задачи с решениями, а в гл. 1-4 - задачи для самостоятельного выполнения. Соответственно данный матери­ал ориентирован на студентов младших курсов обучения и всех желающих получить первоначальное представление о расчете в бизнесе.

Последние три главы, как мы упоминали, дают более углуб­ленное представление об аппарате моделирования рисковых си­туаций. Прежде всего это относится к статистическим играм с природой. Изложение материала сопровождается многими при­мерами с решениями, доведенными до конкретных цифр и реко­мендаций. Эта часть книги ориентирована на студентов старших курсов, аспирантов и преподавателей, может использоваться и практиками.

Различная целевая ориентация учебного материала объясня­ет, почему в конце каждой из глав 1 - 4 даются вопросы для самопроверки и задачи для самостоятельного решения, а в дру­гих главах они отсутствуют, но приводится большое количество задач повышенной трудности с решениями.

Глава 1 «Риск и его измерение» включает общее описание прибыли и риска от реализации проектов, методы оценки эф­фективности и рисковости проектов, связь этих показателей со склонностью к риску лица, принимающего решение.

Глава 2 «Стратегические игры» содержит описание игр двух лиц с противоположными интересами. Участники игры осознан­но противодействуют друг другу, что соответствует, например, конкуренции фирм на одном рынке. Фирмы пытаются реализо­вать свои интересы и помешать в этом конкурентам. Рассматри­вается простейший графический метод решения матричных игр и указывается на их связь с линейным программированием в общем случае при произвольном виде платежной матрицы т х п. Это универсальный метод решения игр двух лиц с нулевой сум­мой, позволяющий применить известный математический аппа­рат линейного программирования и соответствующее програм­мное обеспечение. Доказательство связанной с этим основной теоремы теории игр и пример ее применения вынесены в прило­жение.

Отличие игр, описанных в главе 3 «Принятие решений в условиях неопределенности и риска (игры с природой)», от стра­тегических игр состоит в том, что в них один из участников противодействует сопернику неосознанно. В экономике многие решения зависят от конъюнктуры, складывающейся из многих факторов (курса валют, политики правительства, уровня инфля­ции и т.д.), которые, взаимодействуя друг с другом, влияют на всех участников «игры в экономику» не персонально, а единооб­разно. Принятие решений в условиях неопределенности и риска получает развитие в виде выбора решений с помощью дерева решений (позиционные игры). Этот метод учитывает, что дей­ствия игроков, испытывающих противостояние ряда независи­мых явлений, могут быть выстроены в некоторую последователь­ность. Например, геологическая разведка недр может закончить­ся неудачей (полезных ископаемых не найдено). Если этот этап пройден успешно, то дальнейший риск связан с правильной оценкой мощности открытого месторождения. Можно построить перерабатывающий завод, который будет простаивать, а можно продать месторождение по лицензии и оказаться в проигрыше, если запасы ископаемых превысили ожидаемые значения.

Теория полезности Неймана-Моргенштерна, представленная в гл. 4, учитывает отношение лица, принимающего решения, к риску.

Глава 5 «Финансовые решения в условиях риска» отражает некоторые аспекты банковской и финансовой деятельности, ко­торые в рамках рыночной экономики приобретают особо риско­вый характер и поэтому требуют более детального исследова­ния. Приведены две динамические модели планирования финан­сов в форме задачи линейного программирования с решениями. Рассмотрена методика оценки стоимости фирмы на примере неопределенно долго «живущей» акционерной фирмы. Вырабо­танный при этом критерий живучести сравнивается с альтерна­тивными популярными, но могущими оказаться неточными кри­териями.

Глава 6 «Статистические игры» дает углубленное изложе­ние теории игр с природой. Используется математический ап­парат теории множеств, байесовских функций, условных веро­ятностей и др. Теория иллюстрируется множеством примеров с решениями.

Глава 7 «Инвестиционные решения» опирается на теорию предыдущих глав. Однако все рассматриваемые прикладные за­дачи в том или ином плане связаны с моделированием принятия инвестиционных решений. Для практиков, по-видимому, эта гла­ва должна представлять наибольший интерес.

В главе 8 «Задачи из разных областей хозяйственной деятель­ности» разбираются следующие задачи: возникающие на транс­порте при планировании новых пассажирских маршрутов, зада­чи обоснования выбора участков земли под посадку картофеля в зависимости от погодных условий, статистического контроля партии готовых изделий и оценки вероятности перебоев на про­изводстве, определения оптимального запаса продукции торго­вой фирмы на основе статистических данных.

Краткий словарь терминов раскрывает основные понятия теории вероятностей, математической статистики и линейного программирования, встречающиеся в данном учебном пособии.

В подготовке глав 4 и 5 принимал участие А. Б. Аронович.

Авторы благодарят доктора технических наук, профессора В.А. Бывшева и доктора экономических наук, профессора А.В. Мищенко за полезные замечания, способствовавшие улуч­шению содержания учебного пособия.

Глава 1 РИСК И ЕГО ИЗМЕРЕНИЕ

1.1. РИСК И ПРИБЫЛЬ

Любая сфера человеческой деятельности, в особенности эко­номика или бизнес, связана с принятием решений в условиях неполноты информации. Источники неопределенности могут быть самые разнообразные: нестабильность экономической и/или по­литической ситуации, неопределенность действий партнеров по бизнесу, случайные факторы, т.е. большое число обстоятельств, учесть которые не представляется возможным (например, погод­ные условия, неопределенность спроса на товары, неабсолютная надежность процессов производства, неточность информации и др.). Экономические решения с учетом перечисленных и множе­ства других неопределенных факторов принимаются в рамках так называемой теории принятия решений — аналитического подхода к выбору наилучшего действия (альтернативы) или последователь­ности действий. В зависимости от степени определенности воз­можных исходов или последствий различных действий, с которы­ми сталкивается лицо, принимающее решение (ЛПР), в теории принятия решений рассматриваются три типа моделей:

• выбор решений в условиях определенности, если относи­тельно каждого действия известно, что оно неизменно приводит к некоторому конкретному исходу;

• выбор решения при риске, если каждое действие приводит к одному из множества возможных частных исходов, причем каж­дый исход имеет вычисляемую или экспортно оцениваемую веро­ятность появления. Предполагается, что ЛПР эти вероятности известны или их можно определить путем экспертных оценок;

• выбор решений при неопределенности, когда то или иное действие или несколько действий имеют своим следствием мно­жество частных исходов, но их вероятности совершенно не из­вестны или не имеют смысла.

Проблема риска и прибыли - одна из ключевых в экономи­ческой деятельности, в частности в управлении производством и финансами. Под риском принято понимать вероятность (угрозу) потери лицом или организацией части своих ресурсов, недопо­лучения доходов или появления дополнительных расходов в результате осуществления определенной производственной и финансовой политики.

Различают следующие виды рисков:

• производственный, связанный с возможностью невыполне­ния фирмой своих обязательств перед заказчиком;

• кредитный, обусловленный возможностью невыполнения фирмой своих финансовых обязательств перед инвестором;

• процентный, возникающий вследствие непредвиденного изменения процентных ставок;

• риск ликвидности, обусловленный неожиданным изменени­ем кредитных и депозитных потоков;

• инвестиционный, вызванный возможным обесцениванием инвестиционно-финансового портфеля, состоящего из собствен­ных и приобретенных ценных бумаг;

• рыночный, связанный с вероятным колебанием рыночных процентных ставок как собственной национальной денежной единицы, так и зарубежных курсов валют.

Риск подразделяется на динамический и статический. Дина­мический риск связан с возникновением непредвиденных изме­нений стоимости основного капитала вследствие принятия уп­равленческих решений, а также рыночных или политических обстоятельств. Такие изменения могут привести как к потерям, так и к дополнительным доходам. Статический риск обуслов­лен возможностью потерь реальных активов вследствие нанесе­ния ущерба собственности и потерь дохода из-за недееспособно­сти организации.

Все участники проекта заинтересованы в том, чтобы не до­пустить полного провала проекта или хотя бы избежать убыт­ка. В условиях нестабильной, быстро меняющейся ситуации необходимо учитывать все возможные последствия от действий конкурентов, а также изменения конъюнктуры рынка. Поэто­му основное назначение анализа риска состоит в том, чтобы обеспечить партнеров информацией, необходимой для приня­тия решений о целесообразности участия в некотором проек­те, и предусмотреть меры по защите от возможных финансо­вых потерь.

При анализе риска могут использоваться следующие условия или предположения:

• потери от риска не зависят друг от друга;

• потери по одному из некоторого перечня рисков не обяза­тельно увеличивают вероятность потерь по другим;

• максимально возможный ущерб не должен превышать фи­нансовых возможностей участников проекта.

Все факторы, влияющие на рост степени риска в проекте, можно условно разделить на объективные и субъективные. Объек­тивные факторы непосредственно не зависят от самой фирмы: это инфляция, конкуренция, анархия, политические и экономичес­кие кризисы, экология, налоги и т.д. Субъективные факторы непосредственно характеризуют данную фирму: это производствен­ный потенциал, техническое оснащение, уровень производитель­ности труда, проводимая финансовая, техническая и производствен­ная политика, в частности выбор типа контракта между инвесто­ром и заказчиком. Последний фактор играет особо важную роль для фирмы, поскольку от типа контракта зависят степень риска и величина вознаграждения по окончании проекта.

Исследование риска целесообразно проводить в следующей последовательности:

• выявление объективных и субъективных факторов, влияю­щих на конкретный вид риска;

• анализ выявленных факторов;

• оценка конкретного вида риска с финансовых позиций, определяющая либо финансовую состоятельность проекта, либо его экономическую целесообразность;

• установка допустимого уровня риска;

• анализ отдельных операций по выбранному уровню риска;

• разработка мероприятий по снижению риска.

Финансирование проекта, являясь одним из наиболее важных условий эффективности его выполнения, должно быть нацелено на обеспечение потока инвестиций для планомерного выполнения проекта, на снижение капитальных затрат и риска проекта за счет оптимальной структуры инвестиции и получения налого­вых преимуществ. В плане финансирования проекта должны учитываться следующие виды рисков:

• риск нежизнеспособности проекта;

• налоговый риск;

• риск неуплаты задолженностей;

• риск незавершения строительства.

Высокая степень риска проекта приводит к необходимости поиска путей искусственного снижения его (риска) возможных последствий на состояние фирмы.

В существующей практике применяются главным образом четыре основных способа управления риском: распределение риска между всеми участниками проекта (передача части риска соисполнителям), страхование, резервирование средств на покры­тие непредвиденных расходов и диверсификация.

Анализ рисков подразделяется на два взаимно дополняющих друг друга вида: качественный, главная задача которого состоит в определении факторов риска и обстоятельств, приводящих к рисковым ситуациям, и количественный, позволяющий вычис­лить размеры отдельных рисков и риска проекта в целом.

1.2. МЕРЫ РИСКА

Наиболее распространена точка зрения, согласно которой мерой риска некоторого коммерческого (финансового) решения или операции следует считать среднее квадратичное отклонение (положительный квадратный корень из дисперсии) значения показателя эффективности этого решения или операции. Действи­тельно, поскольку риск обусловлен недетерминированностью исхода решения (операции), то, чем меньше разброс (дисперсия) результата решения, тем более он предсказуем, т.е. меньше риск. Если вариация (дисперсия) результата равна нулю, риск полно­стью отсутствует. Например, в условиях стабильной экономики операции с государственными ценными бумагами считаются безрисковыми.

Чаще всего показателем эффективности финансового реше­ния (операции) служит прибыль.

Рассмотрим в качестве иллюстрации выбор некоторым ли­цом одного из двух вариантов инвестиций в условиях риска. Пусть имеются два проекта А и В, в которые указанное лицо может вложить средства. Проект А в определенный момент в будущем обеспечивает случайную величину прибыли. Предположим, что ее среднее ожидаемое значение, математическое ожидание, рав­но т_А с дисперсией . Для проекта В эти числовые характери­стики прибыли как случайной величины предполагаются равны­ми соответственно m_B и . Средние квадратичные отклонения равны соответственно S_A и S_B.

Подробнее описание числовых характеристик дано, напри­мер, в [2, гл.4] и [7, гл. 14].

Возможны следующие случаи:

a) т_A = m_B, S_A < S_B, следует выбрать проект А;

b) т_A > m_B, S_A < S_B, следуетвыбрать проект А;

c) т_A > m_B, S_A = S_B, следует выбрать проект А;

d ) т_A > m_B, S_A > S_B;

e) т_A < m_B, S_A < S_B.

В последних двух случаях решение о выборе проекта А или В зависит от отношения к риску ЛПР. В частности, в случае d проект А обеспечивает более высокую среднюю прибыль, одна­ко он и более рискован. Выбор при этом определяется тем, какой дополнительной величиной средней прибыли компенсируется для ЛПР заданное увеличение риска. В случае е для проекта А риск меньший, но и ожидаемая прибыль меньшая. Субъективное от­ношение к риску учитывается в теории Неймана-Моргенштерна и рассматривается в гл. 4.

Пример. Пусть имеются два инвестиционных проекта. Пер­вый с вероятностью 0,6 обеспечивает прибыль 15 млн руб., одна­ко с вероятностью 0,4 можно потерять 5,5 млн руб. Для второго проекта с вероятностью 0,8 можно получить прибыль 10 млн руб. и с вероятностью 0,2 потерять 6 млн руб. Какой проект выбрать?

Решение. Оба проекта имеют одинаковую среднюю при­быльность, равную 6,8 млн руб. (0,6*15 + +0,4(-5,5)=0,8*10 + 0,2(-6) = 6,8). Однако среднее квадратичное отклонение прибыли для первого проекта равно 10,04 млн руб. ([0,6(15 - 6,8)² + 0,4(-5,5 – 6,8)²]^1/2 = 10,04), а для второго - 6,4 млн руб. ([0,8 (10 - 6,8)² + 0,2(-6 – 6,8)²]^1/2 = 6,4), поэтому более предпочтите­лен второй проект.

Хотя среднее квадратичное отклонение эффективности реше­ния и используется часто в качестве меры риска, оно не совсем точно отражает реальность. Возможны ситуации, при которых варианты обеспечивают приблизительно одинаковую среднюю прибыль и имеют одинаковые средние квадратичные отклоне­ния прибыли, однако не являются в равной мере рискованными. Действительно, если под риском понимать риск разорения, то величина риска должна зависеть от величины исходного капита­ла ЛПР или фирмы, которую он представляет. Теория Неймана-Моргенштерна это обстоятельство учитывает. Из публикаций, посвященных методам измерения и управления рисками, укажем на [8,9,10,16,18,20].

На рис. 1.1 рассмотрен случай выбора из более чем двух вариантов инвестиций. Характеристики вариантов показаны точ­ками на плоскости (т, S), где т - средняя прибыль, получаемая в результате инвестиции, а S- среднее квадратичное отклонение прибыли.

Рис. 1.1. Варианты выбора инвестиций

Из рис. 1.1 видно, что среди вариантов А, В и С наиболее предпочтителен А. Из вариантов В, D и Н следовало бы выбрать Н. Вариант Н лучше вариантов С и F. Однако сравнительная предпочтительность, например, вариантов А, D, F и G зависит от склонности ЛПР к риску.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Что такое риск?

2. Какие бывают виды рисков?

3. Какой параметр наиболее часто используется в качестве меры риска?

4. Акционерному обществу предлагаются два рисковых проекта:

Проект I    Проект 2

Вероятность события................................. 0,2 0,6 0,2   0,4 0,2  0,4

Наличные поступления, млн руб............  40  50  60 0     50 100

Учитывая, что фирма имеет фиксированные платежи по долгам 80 млн руб., какой проект должны выбрать акционеры и почему?

Глава 2 СТРАТЕГИЧЕСКИЕ ИГРЫ

2.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СТРАТЕГИЧЕСКИХ ИГР

На практике часто появляется необходимость согласования дей­ствии фирм, объединении, министерств и других участников проек­тов в случаях, когда их интересы не совпадают. В таких ситуациях теория игр позволяет найти лучшее решение для поведения участ­ников, обязанных согласовывать действия при столкновении инте­ресов. Теория игр все шире проникает в практику экономических решений и исследований. Ее можно рассматривать как инструмент, помогающий повысить эффективность плановых и управленческих решений. Это имеет большое значение при решении задач в про­мышленности, сельском хозяйстве, на транспорте, в торговле, осо­бенно при заключении договоров с иностранными государствами на любых иерархических уровнях. Так, можно определить научно обоснованные уровни снижения розничных цен и оптимальный уровень товарных запасов, решать задачи экскурсионного обслужи­вания и выбора новых линий городского транспорта, задачу плани­рования порядка организации эксплуатации месторождений полез­ных ископаемых в стране и др. Классической стала задача выбора участков земли под сельскохозяйственные культуры. Метод теории игр можно применять при выборочных обследованиях конечных со-вокупностей, при проверке статистических гипотез.

Обычно теорию игр определяют как раздел математики для изучения конфликтных ситуаций. Это значит, что можно вырабо­тать оптимальные правила поведения каждой стороны, участву­ющей в решении конфликтной ситуации.

В экономике, например, оказался недостаточным аппарат ма­тематического анализа, занимающийся определением экстрему­мов функций. Появилась необходимость изучения так называе­мых оптимальных минимаксных и максиминных решений. Сле­довательно, теорию игр можно рассматривать как новый раздел оптимизационного подхода, позволяющего решать новые задачи при принятии решений.

Игра - упрощенная формализованная модель реальной кон­фликтной ситуации. Математически формализация означает, что выработаны определенные правила действия сторон в процессе игры: варианты действия сторон; исход игры при данном вари­анте действия; объем информации каждой стороны о поведении всех других сторон.

Одну играющую сторону при исследовании операций может представлять коллектив, преследующий некоторую общую цель. Однако разные члены коллектива могут быть по-разному инфор­мированы об обстановке проведения игры.

Выигрыш или проигрыш сторон оценивается численно, дру­гие случаи в теории игр не рассматриваются, хотя не всякий выигрыш в действительности можно оценивать количественно.

Игрок - одна из сторон в игровой ситуации. Стратегия иг­рока - его правила действия в каждой из возможных ситуаций игры. Существуют игровые системы управления, если процесс управления в них рассматривается как игра.

Платежная матрица (матрица эффективности, матрица игры) включает все значения выигрышей (в конечной игре). Пусть игрок 1 имеет т стратегий А_i, а игрок 2 - п стратегий В_j, (; ). Игра может быть названа игрой т х п. Представим мат­рицу эффективности игры двух лиц с нулевой суммой, сопрово­див ее необходимыми обозначениями (табл. 2.1).

Таблица 2.1

В данной матрице элементы  – значения выигрышей игро­ка 1 – могут означать и математическое ожидание выигрыша (среднее значение), если выигрыш является случайной величи­ной. Величины ,– соответственно мини­мальные значения элементов , по строкам и максимальные - по столбцам. Их содержательный смысл будет отражен ниже.

В теории игр не существует установившейся классификации видов игр. Однако по определенным критериям некоторые виды можно выделить.

Количество игроков. Если в игре участвуют две сто­роны, то ее называют игрой двух лиц. Если число сторон больше двух, ее относят к игре п игроков. Наибольший интерес вызыва­ют игры двух лиц. Они и математически более глубоко прорабо­таны и в практических приложениях имеют наиболее обширную библиографию [3, 7, 12, 13].

Количество стратегий игры. По этому критерию игры делятся на конечные и бесконечные. В конечной игре каж­дый из игроков имеет конечное число возможных стратегий. Если хотя бы один из игроков имеет бесконечное число возможных стратегий, игра является бесконечной.

Взаимоотношения сторон. Согласно данному кри­терию игры делятся на кооперативные, коалиционные и бескоа­лиционные. Если игроки не имеют право вступать в соглашения, образовывать коалиции, то такая игра относится к бескоалицион­ным; если игроки могут вступать в соглашения, создавать коали­ции - коалиционной. Кооперативная игра - это игра, в которой заранее определены коалиции.

Характер выигрышей. Этот критерий позволяет клас­сифицировать игры с нулевой и с ненулевой суммой. Игра с ну­левой суммой предусматривает условие: «сумма выигрышей всех игроков в каждой партии равна нулю». Игры двух игроков с нулевой суммой относят к классу антагонистических. Естествен­но, выигрыш одного игрока при этом равен проигрышу другого. Примерами игр с нулевой суммой служат многие экономические задачи. В них общий капитал всех игроков перераспределяется между игроками, но не меняется. К играм с ненулевой суммой также можно отнести большое количество экономических задач. Например, в результате торговых взаимоотношений стран, уча­ствующих в игре, все участники могут оказаться в выигрыше. Игра, в которой нужно вносить взнос за право участия в ней, является игрой с ненулевой суммой.

Вид функции выигрышей. По этому критерию игры подразделяются на матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные и т. д. Поясним суть некоторых из них.

Матричная игра - конечная игра двух игроков с нулевой суммой. В общем случае ее платежная матрица является прямо­угольной (см. табл. 2.1). Номер строки матрицы соответствует номеру стратегии, применяемой игроком 1. Номер столбца соот­ветствует номеру стратегии игрока 2. Выигрыш игрока 1 являет­ся элементом матрицы. Выигрыш игрока 2 равен проигрышу игрока 1. Как показано в приложении, матричные игры всегда имеют решения в смешанных стратегиях. Они могут быть реше­ны методами линейного программирования.

Биматричная игра - конечная игра двух игроков с ненулевой суммой. Выигрыши каждого игрока задаются своей матрицей, в которой строка соответствует стратегии игрока 1, а столбец — стратегии игрока 2. Однако элемент первой матрицы показывает выигрыш игрока 1, а элемент второй матрицы - выигрыш игро­ка 2. Для биматричных игр так же, как и для матричных, разра­ботана теория оптимального поведения игроков.

Если функция выигрышей каждого игрока в зависимости от стратегий является непрерывной, игра считается непрерывной. Если функция выигрышей выпуклая, то и игра - выпуклая.

Если функция выигрышей может быть разделена на сумму произведений функций одного аргумента; то игра относится к сепарабельной.

Количество ходов. Согласно этому критерию игры можно разделить на одношаговые и многошаговые. Одношаго­вые игры заканчиваются после одного хода каждого игрока. Так, в матричной игре после одного хода каждого из игроков проис­ходит распределение выигрышей. Многошаговые игры бывают позиционными, стохастическими, дифференциальными и др. Подробнее см. [3,7,12,13].

Информированность cmoрон. По данному крите­рию различают игры с полной и неполной информацией. Если каждый игрок на каждом ходу игры знает все ранее приме­ненные другими игроками на предыдущих ходах стратегии, такая игра определяется как игра с полной информацией. Если игроку не все стратегии предыдущих ходов других игроков известны, то игра классифицируется как игра с неполной ин­формацией. Мы далее убедимся, что игра с полной информа­цией имеет решение. Решением будет седловая точка при чистых стратегиях.

Степень неполноты и н формации. По этому кри­терию игры подразделяются на статистические (в условиях час­тичной неопределенности) и стратегические (в условиях полной неопределенности, см. разд. 3.2). Игры с природой (см. гл. 3, 6) часто относят к статистическим играм. В статистической игре имеется возможность получения информации на основе статис­тического эксперимента, при котором вычисляется или оценива­ется распределение вероятностей состояний (стратегий) приро­ды. С теорией статистических игр тесно связана теория приня­тия экономических решений.

Получив некоторое представление о существующих под­ходах к классификации игр, можно остановиться на оценках игры.

Рассмотрим матричную игру, представленную матрицей вы­игрышей т х п, где число строк , а число столбцов  (см. табл. 2.1). Применим принцип получения максимального га­рантированного результата при наихудших условиях. Игрок 1 стремится принять такую стратегию, которая должна обеспечить максимальный проигрыш игрока 2. Соответственно игрок 2 стре­мится принять стратегию, обеспечивающую минимальный вы­игрыш игрока 1. Рассмотрим оба этих подхода.

Подход игрока 1.Он должен получить максимальный гарантированный результат при наихудших условиях. Значит, при выборе отвечающей этим условиям своей чистой страте­гии он должен выбрать гарантированный результат в наихудших условиях, т.е. наименьшее значение своего выигрыша а,., которое обозначим

Чтобы этот гарантированный эффект в наихудших условиях был максимальным, нужно из всех а, выбрать наибольшее зна­чение. Обозначим его а и назовем чистой нижней ценой игры («максимин»):

                                                                                    

Таким образом, максиминной стратегии отвечает строка мат­рицы, которой соответствует элемент a_i. Какие бы стратегии ни применял игрок 2, игрок 1 максиминной чистой стратегией га­рантировал себе выигрыш, не меньший, чем a. Таково оптималь­ное поведение игрока 1.

Подход игрока 2. Своими оптимальными стратегиями он стремится уменьшить выигрыш игрока 1, поэтому при каж­дой j -й чистой стратегии он отыскивает величину своего макси­мального проигрыша

                                                                                                    

в каждом j- м столбце, т.е. определяет максимальный выигрыш игрока 1, если игрок 2 применит j -ю чистую стратегию. Из всех своих n j- х чистых стратегий он отыскивает такую, при которой игрок 1 получит минимальный выигрыш, т.е. определяет чистую верхнюю цену игры («минимакс»):

                                                                                    

Чистая верхняя цена игры показывает, какой максимальный выигрыш может гарантировать игрок 1, применяя свои чистые стратегии, - выигрыш, не меньший, чем a. Игрок 2 за счет ука­занного выше выбора своих чистых стратегий не допустит, что­бы игрок 1 мог получить выигрыш, больший, чем b. Таким об­разом, минимаксная стратегия отображается столбцом платеж­ной матрицы, в котором находится элемент b (см. табл. 2.1). Она является оптимальной чистой гарантирующей стратегией игро­ка 2, если он ничего не знает о действиях игрока 1.

Чистая цена игры v - цена данной игры, если нижняя и вер­хняя ее цены совпадают:

                                                                    

В этом случае игра называется игрой с седловой точкой.

Пример 2.1. Определить верхнюю и нижнюю цены при за­данной матрице игры и указать максиминную и минимаксную стратегии. Представим матрицу игры с обозначениями страте­гий b_j, a. _j, (табл. 2.2).

Т а б л и ц а 2.2

Решение. Определим нижнюю цену игры:

; ; (см. столбец ).

Определим верхнюю цену игры:

; ; ;  (см. строку b_j).

Таким образом, , т.е.

Значит,  – чистая цена игры при стратегиях А ₂и B ₁. Следовательно, имеем игру с седловой точкой.

Пример 2.2. Определим максиминную и минимаксную стра­тегии при заданной матрице эффективности (табл. 2.3).

Решение. Определим максиминную стратегию:

; ;

Максиминная стратегия - строка А ₂.

Таблица 2.3

Определим минимаксную стратегию:

Минимаксная стратегия - столбец В ₂. Здесь , следова­тельно, седловой точки нет.

Если матрица игры содержит элемент, минимальный в сво­ей строке и максимальный в своем столбце, то он, как уже сказано выше, является седловой точкой. В этом случае мы имеем игру с седловой точкой.

Пусть в игре с седловой точкой один игрок придерживается седловой точки, тогда другой получит лучший результат, если также будет придерживаться этой точки. Лучшее поведение иг­рока не должно повлечь уменьшение его выигрыша. Зато худшее поведение может привести к этому. В данном случае решением игры являются:

• чистая стратегия игрока 1;

• чистая стратегия игрока 2;

• седловой элемент.

Оптимальные чистые стратегии — это чистые стратегии, об­разующие седловую точку.

В игре без седловой точки, если игрок 1 информирован о стратегии, принятой игроком 2, он сможет принять оптималь­ную стратегию, которая не совпадает с максиминной.

Пример 2.3. Дана матрица игры

Допустим, игроку 1 стало известно, что игрок 2 принял минимаксную стратегию. Игрок 1 должен выбрать оптимальную стратегию при условии, что B ₂  – стратегия игрока 2 (  = 5).

Решение. Определим максиминную стратегию игрока 1:

Стратегия игрока 1 – А ₂ - максиминная.

Выберем оптимальную стратегию для игрока 1. Ею будет не максиминная А ₂, дающая игроку 1 выигрыш  = 4, а та страте­гия, которая соответствует . В этом случае его максималь­ный гарантированный выигрыш будет равен верхней цене игры , поэтому он выберет свою оптимальную стратегию А ₁, зная, что игрок 2 выбрал свою стратегию В ₂. Таким образом, рас­смотренный пример дает результат, отличный от результата при игре с седловой точкой.

Стратегия является оптимальной, если ее применение обес­печит игроку наибольший гарантированный выигрыш при лю­бых возможных стратегиях другого игрока.

На примере 2.3 показано, что бывают ситуации, когда игрок 1 может получить выигрыш, превосходящий максиминный, если ему известны намерения игрока 2.

При многократном повторении игры в сходных условиях можно добиться гарантированного среднего выигрыша, превос­ходящего для игрока 1 максиминный.

2.2. СМЕШАННЫЕ СТРАТЕГИИ

Если в матричной игре отсутствует седловая точка в чистых стратегиях, то находят верхнюю и нижнюю цены игры. Они показывают, что игрок 1 не получит выигрыша, превосходящего верхнюю цену игры, и что игроку 1 гарантирован выигрыш, не меньший нижней цены игры. В примере 2.3 игрок 1 получил по своей оптимальной стратегии А ₁, отличной от максиминной, выигрыш, равный верхней цене игры. Такова плата за информи­рованность о стратегии игрока 2. Это крайний случай. Не улуч­шится ли результат игрока 1, если информация о действиях противной стороны будет отсутствовать, но игрок будет много­кратно применять чистые стратегии случайным образом с опре­деленной вероятностью?

В такой ситуации, оказывается, можно получать выигрыши, в среднем большие нижней цены игры, но меньшие верхней.

Смешанная стратегия игрока - это полный набор примене­ния его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями. Подведем итоги сказанного и перечислим условия применения смешанных стратегий:

• игра без седловой точки;

• игроки используют случайную смесь чистых стратегий с заданными вероятностями;

• игра многократно повторяется в сходных условиях;

• при каждом из ходов ни один игрок не информирован о выборе стратегии другим игроком;

• допускается осреднение результатов игр.

Применяются следующие обозначения смешанных стратегий.

Для игрока 1 смешанная стратегия, заключающаяся в применении чистых стратегий А₁, А₂,..., А_m с соответствующими вероятностями р₁, р₂,..., р_m,

                                             

где ,

Для игрока 2

                                             

где ,

q_j – вероятность применения чистой стратегии В_j.

В случае, когда p_i = 1, для игрока 1 имеем чистую стратегию:

                                             

Чистые стратегии игрока являются единственно возможны­ми несовместными событиями. В матричной игре, зная матрицу А (она относится и к игроку 1, и к игроку 2), можно определить при заданных векторах  и  средний выигрыш (математическое ожидание эффекта) игрока 1:

                                         ,

где  и   - векторы;

р_i и q_j - компоненты векторов.

Путем применения своих смешанных стратегий игрок 1 стре­мится максимально увеличить свой средний выигрыш, а игрок 2 - довести этот эффект до минимально возможного значения. Игрок 1 стремится достигнуть

                                              .

Игрок 2 добивается того, чтобы выполнялось условие

                                              .

Обозначим  и  векторы, соответствующие оптимальным смешанным стратегиям игроков 1 и 2, т.е. такие векторы  и , при которых будет выполнено равенство

                                                    

Цена игры g – средний выигрыш игрока 1 при использовании обоими игроками смешанных стратегий. Следовательно, реше­нием матричной игры являются:

1) - оптимальная смешанная стратегия игрока 1;

2)  - оптимальная смешанная стратегия игрока 2;

3) g - цена игры.

Смешанные стратегии будут оптимальными (  и ), если они образуют седловую точку для функции , т.е.

                                                                    

Существует основная теорема математических игр (доказа­тельство см. в приложении).

Теорема 2.1. Для матричной игры с любой матрицей A вели­чины

И

существуют и равны между собой: .

Следует отметить, что при выборе оптимальных стратегий игроку 1 всегда будет гарантирован средний выигрыш, не мень­ший, чем цена игры, при любой фиксированной стратегии игро­ка 2 (и, наоборот, для игрока 2). Активными стратегиями игро­ков 1 и 2 называют стратегии, входящие в состав оптимальных смешанных стратегий соответствующих игроков с вероятностя­ми, отличными от нуля. Значит, в состав оптимальных смешан­ных стратегий игроков могут входить не все априори заданные их стратегии.

2.3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЯХ (ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ)

Решить игру - означает найти цену игры и оптимальные стратегии. Рассмотрение методов нахождения оптимальных сме­шанных стратегий для матричных игр начнем с простейшей игры, описываемой матрицей 2х2. Игры с седловой точкой специально рассматриваться не будут. Если получена седловая точка, то это означает, что имеются невыгодные стратегии, от которых следу­ет отказываться. При отсутствии седловой точки можно полу­чить две оптимальные смешанные стратегии. Как уже отмеча­лось, эти смешанные стратегии записываются так:

                                                    

Значит, имеется платежная матрица

                                                    

При этом

                                                                    

откуда получаем оптимальные значения  и :

                                                    

Зная  и  находим g:

                                    

Вычислив g, находим  и :

                                    

Задача решена, так как найдены векторы

и цена игры g. Имея матрицу платежей А, можно решить задачу графически. При этом методе алгоритм решения весьма прост (рис. 2.1):

1. По оси абсцисс откладывается отрезок единичной длины.

2. По оси ординат откладываются выигрыши при стратегии А ₁.

3. На линии, параллельной оси ординат, в точке 1 отклады­ваются выигрыши при стратегии А ₂.

4. Концы отрезков обозначаются для a₁₁ – b₁₁, a₁₂ – b₂₁, a₂₂ – b₂₂, a₂₁ – b₁₂ и проводятся две прямые линии b₁₁ b₁₂ и b₂₁ b₂₂.

5. Определяется ордината точки пересечения с. Она равна g. Абсцисса точки с равна р₂ (р₁ = 1 – р₂).

Рис. 2.1. Оптимальная смешанная стратегия

Данный метод имеет достаточно широкую область приложе­ния. Это основано на общем свойстве игр т´п, состоящем в том, что в любой игре т´п каждый игрок имеет оптимальную сме­шанную стратегию, в которой число чистых стратегий не боль­ше, чем min(m,n). Из этого свойства можно получить известное следствие: в любой игре 2´п и т´2 каждая оптимальная страте­гия  и  содержит не более двух активных стратегий. Значит, любая игра 2 ´n и т´2 может быть сведена к игре 2 ´ 2. Следовательно, игры 2 ´т и т´2 можно решить графическим методом.

Если матрица конечной игры имеет размерность т´п, где т>2 и п>2, то для определения оптимальных смешанных стратегий, как будет показано в приложении, используется линейное програм­мирование.

Рассмотрим некоторые практические задачи, в которых ис­пользуются критерии игр для оценки наиболее эффективного поведения оперирующей стороны.

Задача 2.1. Выбрать оптимальный режим работы новой систе­мы ЭВМ, состоящей из двух ЭВМ типов А₁ и А₂. Известны выигрыши от внедрения каждого типа ЭВМ в зависимости от внешних условий, если сравнить со старой системой.

При использовании ЭВМ.типов А₁ и А₂ в зависимости от характера решаемых задач В₁ и В₂ (долговременные и краткос­рочные) будет разный эффект. Предполагается, что максималь­ный выигрыш соответствует наибольшему значению критерия эффекта от замены вычислительной техники старого поколения на ЭВМ А₁ и А₂.

Итак, дана матрица игры (табл. 2.4), где А₁, А₂ - стратегии руководителя; В₁, В₂ - стратегии, отражающие характер решае­мых на ЭВМ задач.

Таблица 2.4

Требуется найти оптимальную смешанную стратегию руково­дителя и гарантированный средний результат g, т.е. определить, какую долю времени должны использоваться ЭВМ типов А₁ и А₂.

Решение. Запишем условия в принятых индексах:

а₁₁ = 0,3; а₁₂ = 0,8; а₂₁ = 0,7; а₂₂ = 0,4.

Определим нижнюю и верхнюю цены игры:

a₁ = 0,3; a₂ = 0,4; a = 0,4;

b₁ = 0,7; b₂ = 0,8; b = 0,7.

Получаем игру без седловой точки, так как

Максиминная стратегия руководителя вычислительного цен­тра – А₂.

Для этой стратегии гарантированный выигрыш равен a = 0,4 (40 %) по сравнению со старой системой.

Решение для определения g, р₁ и р₂ проведем графически (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Графическая интерпретация алгоритма решения

Алгоритм решения:

1. По оси абсцисс отложим отрезок единичной длины.

2. По оси ординат отложим выигрыши при стратегии А₁.

3. На вертикали в точке 1 отложим выигрыши при стратегии А₂.

4. Проводим прямую b₁₁ b₁₂, соединяющую точки а₁₁,a₂₁.

5. Проводим прямую b₂₁b₂₂, соединяющую точки а₁₂, а₂₂.

6. Определяем ординату точки пересечения с линий b₁₁b₁₂ и b ₂₁ b ₂₂. Она равна g.

7. Определим абсциссу точки пересечения с. Она равна р₂, а р₁=1–р₂

Выпишем решение и представим оптимальную стратегию игры:

                                    

Вывод. При установке новой системы ЭВМ, если неизвес­тны условия решения задач заказчика, на работу ЭВМ А₁ долж­но приходиться 37,5 % времени, а на работу ЭВМ А₂ - 62,5 %. При этом выигрыш составит 55 % по сравнению с предыдущей системой ЭВМ.

2.4. МАЖОРИРОВАНИЕ (ДОМИНИРОВАНИЕ) СТРАТЕГИЙ

Мажорирование представляет отношение между стратегия­ми, наличие которого во многих практических случаях дает воз­можность сократить размеры исходной платежной матрицы игры. Рассмотрим это понятие на примере матрицы

                                                                    

Рассуждая с позиции игрока 2, можно обнаружить преиму­щество его третьей стратегии перед второй, поскольку при пер­вой стратегии игрока 1 выигрыш игрока 2 равен —3 (вторая стратегия) и 1 (третья стратегия), а при второй стратегии игрока 1 выигрыш игрока 2 равен —2 (вторая стратегия) и - 0,5 (третья стратегия). Таким образом, при любой стратегии игрока 1 игроку 2 выгоднее применять свою третью стратегию по сравнению со второй; при наличии третьей стратегии игрок 2, если он стремится играть оптимально, никогда не будет использовать свою вторую стратегию, поэтому ее мож­но исключить из игры, т.е. в исходной платежной матрице можно вычеркнуть 2-й столбец:

                                                                    

С позиции игрока 1 его первая стратегия оказывается хуже второй, так как по первой стратегии он только проигрывает. Поэтому первую стратегию можно исключить, а матрицу игры преобразовать к виду:

(0 0,5).

Учитывая интересы игрока 2, следует оставить только его первую стратегию, поскольку, выбирая вторую стратегию, иг­рок 2 оказывается в проигрыше (0,5 - выигрыш игрока 1), и матрица игры принимает простейший вид: (0), т.е. имеется седловая точка.

Мажорирование можно распространить и на смешанные стра­тегии. Если элементы одной строки не все меньше (или равны) соответствующих элементов других строк, но все меньше (или равны) некоторых выпуклых линейных комбинаций соответству­ющих элементов других строк, то эту стратегию можно исклю­чить, заменив ее смешанной стратегией с соответствующими частотами использования чистых стратегий.<

---

---