2018-02-13
220
Найти наибольшее и наименьшее значение функции F(x,y)=4у-х в области заданной системой неравенств. 
1. Сначала построим область, заданную системой неравенств
- 
- описывает правую полуплоскость относительно оси Оу.
- 
.
Построим сначала прямую, потом выберем искомую полуплоскость.
у-1=0 есть прямая, параллельная оси Ох и проходящая через точку (0;1).
Прямая разбивает координатную плоскость на две полуплоскости. Выдерем точку лежащую в одной из них и проверим выполнимость неравенства.
Пусть, точка (2;2): 
. Значит, искомая полуплоскость – верхняя относительно прямой у-1=0
- 
.
Построим сначала прямую, потом выберем искомую полуплоскость.
у-5=0 есть прямая, параллельная оси Ох и проходящая через точку (0;5).
Прямая разбивает координатную плоскость на две полуплоскости. Выдерем точку лежащую в одной из них и проверим выполнимость неравенства.
Пусть, точка (2;2): 
. Значит, искомая полуплоскость – нижняя относительно прямой у-5=0
- 
.
Построим сначала прямую, потом выберем искомую полуплоскость.
х+у-7=0 есть прямая, проходящая через точки (1;6) и (3;4).
Прямая разбивает координатную плоскость на две полуплоскости. Выдерем точку лежащую в одной из них и проверим выполнимость неравенства.
Пусть, точка (5;4): 
. Значит, искомая полуплоскость – нижняя относительно прямой х+у-7=0
Искомая область является пересечением всех четырех полуплоскостей.
у
| ||||||||
| 6 | ||||||||
    5
|  
|  
| ||||||
 4
| 
| |||||||
| 
| 
| ||||||
 2
| 
| |||||||
 1
| ||||||||
| 0 | 1 | 2 | 4 | 6 | х |
2. Найдем узловые точки области (угловые точки)
А(0;1), В(0;5), С(6;1), D(2;5).
3. Найдем значение функции в каждой точке.
F(A)=4y-x=4-0=4
F(B)=20-0=20
F(C)=4-6=-2
F(D)=20-2=18
Сравнивая значения, находим, что
своего наибольшего значения (20) функция достигает в точке В(0;5);
своего наименьшего значения (-2) функция достигает в точке С(6;1).
