Моделирование детерминированных систем

КАФЕДРА

«Технология производства приборов

И систем управления летательных

Аппаратов»

Лохов. Ю.Н., Могильная Т.Ю., Ширяева Н.А.

МЕТОДИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО

По дисциплинам

«Моделирование систем» специальности 22.02

«Моделирование объектов и систем» специальности 19.03.

Часть первая

Моделирование детерминированных систем

МОСКВА 2004 г.
О Г Л А В Л Е Н И Е

                                                                                                                                

Введение. 3

1. Общие сведения о процессах математического моделирования технологических процессов 4

1.1.1 Законы сохранения и основные уравнения неравновесной термодинамики. 9

1.1.2 Линейные законы для обобщенных переменных. 15

1.2 Постановка задачи моделирования. 18

1.2.1 Основные уравнения математической физики. 18

1.3. Моделирование граничных условий для основных уравнений математической физики. 25

1.3.1 Физическая постановка задачи формирования граничных условий. 25

1.3.2 Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка 27

2 Основные типы приближений. 32

2.1 Стационарное состояние. Равновесное приближение. 32

2.1.1 Механическое равновесие. 32

2.1.2 Моделирование равновесных и квазиравновесных процессов. 37

2.2 Диффузионное приближение. 40

2.3 Приближение высоких энергий. 46

3. Моделирование задач оптики. 52

3.1 Принципы расчета передаточной функции простейших оптических элементов. 56

3.2 Применение приближения плоской волны и интеграла Кирхгофа в моделировании задач оптики 60

3.3 Применение приближения плоской волны при моделировании плоских фокусирующих элементов. 60

3.4 Расчет передаточной функции дифракционной решетки в приближении Кирхгофа. 61

3.5 Определение функции передачи оптического диска в приближении плоской волны (прямая задача расчета дифракционных решеток) 65

3.6 Применение результатов расчета электромагнитного поля для определения точностных параметров разрабатываемых элементов. 73

4 Интерпретация полученных следствий и проверка адекватности модели. 74

5 Заключение. 74

Литература. 75

Введение

Что такое математическое моделирование?

Математическое моделирование в технологии приборостроения используется уже несколько десятков лет при проектировании новых приборов и аппаратов. Однако вследствие развития ЭВМ в последние годы оно стало необходимым этапом при создании любого нового изделия или разработке технологического процесса. В каждой области можно выделить свои способы построения моделей, однако, в любом случае существует  несколько обязательных этапов, без которых ни одна модель не имеет право на существование.

 Прежде всего необходимо дать определение понятию «математическая модель»

   Определение Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов на языке математики. Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений.

Математическое моделирование, а в последние годы, часто сопровождающий его   компьютерный эксперимент незаменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, многие современные технологии проводятся в условиях, в которых человек не способен непосредственно контролировать каждый этап. К таким технологическим процессам относятся процессы создания современных кристаллов для оптоэлектроники. Невозможно, также, полностью контролировать  параметры  современного самолета или ракеты в полете. Во многих случаях невозможно создать даже макетный образец прибора, предварительно не просчитав, как отдельные его узлы будут влиять на работу в целом. Поэтому, не смотря на то, что, задача моделирования современного объекта или технологического процесса полностью, остается   практически невыполнимой., оптимизация отдельных этапов его создания приобретает все более важное значение для современного производства. Стоит заметить, что в последнее время приобрели значимость математические модели, позволяющие оптимизировать все предварительные этапы разработки, начиная от самых первых шагов по изучению принципа действия, заложенного в прибор и кончая этапами проектирования и производства. 

Основные этапы математического моделирования

 Первым обязательным этапом, независящим от области применения является – Описание физических процессов происходящих в интересующем нас объекте. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними..

Второй этап включает в себя выбор физических приближений модели. На этом этапе определяется, какие законы и связи мы считаем первостепенными для достижения нашей цели, а какими мы можем пренебречь. Этот этап является очень важным, так как ошибки именно на этой стадии приводят к тому, что модель не верна, как бы ни было точно математическое решение,  

Третим, обязательным этапом является  построение  математических  уравнений, к которые описывают выбранные нами, физические закономерности и которые по сути дела и представляют математическую   модель.  На этом этапе выбирается  математический аппарат, в рамках которого строится модель. Например это могут быть уравнения математической физики, или методы и уравнения теории операций и т. д. Так же на этом этапе выбирается математическое приближение, т.е.степень точности с которой выбранные уравнения описывают выбранные закономерности. 

Важное значение при построении математического аппарата модели  имеет  определение характера закономерностей, описывающих моделируемый объект. Любой процесс, с определенной достоверностью можно описать, как функцию зависящую от детерминированной составляющей, т.е составляющей изменение, которой можно описать  определенным законом в любой момент времени., и случайной составляющей. Изменение случайной составляющей в любой момент времени неизвестно, но можно определить некоторые усредненные характеристики в интервале. Если случайная составляющая мала, то процесс описывается определенными детерминированными уравнениями, которые выводятся из физических законов. Основные подходы к такому моделированию представлены в первой части учебника. Во второй части, будет рассмотрен случай, когда случайной составляющей

На четвертом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

. пятым этапом, который осуществляется вне зависимости от вида объекта и типа моделирования является проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

Как следствие, результатом этого этапа является модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

Последним, обязательным этапом является интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области