Моменти інерції плоских фігур

ДОВІДНИК з Механіки Матеріалів і Конструкцій

Семестр

Опір матеріалів – наука про методи розрахунку на міцність, жорсткість і стійкість брусів (стержнів), як основного елемента конструкцій машин і споруд.

Міцність – спроможність конструкції та її елементів витримувати вплив зовнішнього навантаження, не руйнуючись.

Жорсткість – здатність конструкції та її елементів протидіяти зміні початкових розмірів і форми при дії зовнішнього навантаження.

Стійкість – здатність конструкції та її елементів зберігати початкову форму пружної рівноваги.

Брусом, або стержнем, називають тіло, один із розмірів якого (довжина) значно більше двох інших розмірів. Бруси бувають прямолінійні та криволінійні.

Оболонка – це тіло, один із розмірів якого (товщина) значно менше двох інших. Оболонки бувають циліндричні (рисунок 1.2, а), конічні (рисунок 1.2, б), сферичні (рисунок 1.2, в) і інші. Плоскі оболонки називаються пластинками (рисунок 1.2, г, д).

Масивні тіла мають усі три розміри одного порядку.

Сили, що діють на елемент конструкції з боку інших тіл, стосовно елемента є зовнішніми. Зовнішні сили називаються навантаженнями. Вони прикладені до деяких ділянок поверхні елемента або розподілені по об'єму.

До об'ємних сил відносять вагу елемента, сили інерції, електромагнітні сили. До поверхневих відносять, наприклад, силу атмосферного тиску, сили тиску сипучих вантажів, силу тиску колеса на рейку і т.д.

Зосереджене навантаження діє на малій в порівнянні з розмірами деталі площі й умовно приймається прикладеним у точці. Зосереджене навантаження будемо позначати буквою F, його розмірність Н і кН.

Розподілене навантаження - це навантаження, прикладене до ділянки тіла великої площі або об’єму. Звичайно розподілене навантаження приводять до навантаження, що припадає на одиницю довжини тіла. Позначається розподілене навантаження буквою q, його розмірність Н/м, або кН/м.

Статичні навантаження не змінюють свою величину, положення на тілі протягом значного часу і не викликають значних його прискорень. Силами інерції при статичному навантаженні можна знехтувати.

Динамічні навантаження змінюють величину і положення на тілі з часом, а тому викликають значні прискорення тіла. Виникаючими при цьому силами інерції знехтувати не можна. Динамічні навантаження поділябться на миттєво прикладені, ударні і повторно-перемінні.

При дії зовнішніх сил у тілі виникають внутрішні сили, що характеризують його спроможність чинити опір зовнішнім навантаженням. Ці внутрішні сили є предметом вивчання опору матеріалів. Їх називають внутрішніми зусиллями.

Внутрішні зусилля визначаються методом перерізів. Дію відкинутої частини тіла на частину, що залишилася, замінимо відповідними внутрішніми зусиллями

Відповідно до закону Ньютона в цьому ж перерізі відкинутої частини тіла діють такі ж внутрішні зусилля, але спрямовані протилежно.

Складові головного вектора сил і головного моменту називаються внутрішніми силовими факторами і мають свої назви, пов'язані з деформаціями:

Qх, Qу – поперечні (перерізуючі) зусилля; N – поздовжнє зусилля; Мх, Му – згинаючі моменти; Мк – крутячий момент.

Силові фактори в перерізі стержня можна визначити з умов рівноваги відсіченої частини стержня (з рівнянь статики)

Якщо в поперечному перерізі виникає лише один внутрішній силовий фактор, то такий вид деформації називають простим. До простих видів деформацій відносять: розтяг (стиск), зсув (зріз), кручення, чистий згин.

Розтяг (стиск) має місце тоді, коли на стержень діють зовнішні сили вздовж його осі. Тоді у його будь-яких поперечних перерізах виникає тільки поздовжнє зусилля N.

Зсув (зріз) виникає в тих випадках, коли в поперечному перерізі діє поперечне зусилля.

Під час кручення в будь-якому поперечному перерізі стержня виникає тільки крутячий момент M к.

Чистий згин спостерігається, коли в поперечних перерізах стержня діє тільки згинальний момент М зг.

В тих випадках зовнішнього навантаження, коли в поперечному перерізі стержня одночасно діють декілька внутрішніх силових факторів, говорять про складний вид опору стержня.

Величина називається повним напруженням в даній точці аналізованого перерізу. Аналогічно вводяться поняття нормального σ і дотичного τ напружень:

, де А – площа поперечного перерізу.

Нормальне напруження в точці перерізу характеризує інтенсивність сил відриву або стиску часток тіла, розташованих по обидві сторони від перерізу, а дотичне напруження – інтенсивність сил, що зрушують ці частки в площині перерізу.

Повне, нормальне і дотичне напруження пов'язані залежністю:

Напруження чисельно дорівнює внутрішній силі, що діє на одиницю площі в даній точці. Розмірність напруження

Напруження σ_гран і τ_гран, при яких відбувається руйнування матеріалу або виникають значні пластичні (залишкові) деформації називаються граничними. Їхні значення визначаються шляхом досліджень при іспиті матеріалу.

Щоб не припустити руйнування елементів конструкцій, що виникають в елементах напруження σ і τ не повинні перевищувати допустимих напружень [σ] або [τ].

Допустимі напруження [σ] або [τ] – це максимальні нормальні або дотичні напруження, при яких забезпечується нормальна робота матеріалу. Вони задаються як деяка частина граничних напружень

де [ n ] - допустимий коефіцієнт запасу міцності. Коефіцієнт запасу міцності залежить від властивостей матеріалу, діючих навантажень, точності методу розрахунку, умов роботи.

Умови міцності по нормальним і дотичним напруженнях мають вид

σ ≤ [σ]; τ ≤ [τ],

де σ, τ – діючі (фактичні) напруження; [σ], [τ] – допустимі напруження

Під дією зовнішніх навантажень точки тіла переміщуються, а самі тіла деформуються (змінюють свої розміри і форму).

Величина Δ l є абсолютною лінійною деформацією відрізка АВ. Вона вимірюється в одиницях довжини (м, мм, мкм і ін.)

Межа відношення абсолютної деформації відрізка до його початкової довжини називають відносною лінійною деформацією по напрямку АВ

Ця зміна прямого куту, виражена в радіанах, називається відносною кутовою деформацією в точці А в площини утвореній відрізками OС і OD.

Гіпотези опору матеріалів:

1. Гіпотеза суцільності матеріалу (матеріал суцільно заповнює форму тіла).

2. Гіпотеза про однорідність та ізотропність матеріалу (у будь-якому обсязі і напрямку властивості матеріалу однакові).

3. Гіпотеза про малість деформацій (деформації малі в порівнянні з розмірами тіла і ними можна знехтувати).

4. Гіпотеза про ідеальну пружність матеріалу. Матеріал має абсолютну пружність і для нього справедливий закон Гука, що виражає лінійну залежність між навантаженнями і деформаціями:

5. Принцип суперпозиції (незалежності дії сил - дозволяє визначити результат впливу на конструкцію декількох навантажень як суму результатів кожного навантаження окремо).

6. Принцип Сен-Венана (якщо в межах деякої області пружного тіла прикладена система сил, то на відстані, що істотно перевищує характерні розміри цієї області, напруження і деформації практично однакові для всіх статично еквівалентних систем сил).

7. Гіпотеза плоских перерізів (поперечні перерізи стержня плоскі і нормальні до його поздовжньої осі без дії до нього навантажень, залишаються плоскими і нормальними до поздовжньої осі і при дії навантаження).

Моменти інерції плоских фігур