Вынужденные колебания

    Для того чтобы в реальной колебательной системе происходили незатухающие колебания, необходимо компенсировать потери энергии. Подвод энергии можно осуществлять с помощью некоторого периодически действующего фактора x (t) (например, силы при механических колебаниях), изменяющегося по гармоническому закону

x = x ₀cosw t.

    Колебания, совершающиеся под действием внешнего периодического воздействия, называются вынужденными колебаниями. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид

.                            (17.9)

Частное решение этого уравнения

S = A cos(w t - y),

где y - сдвиг по фазе колеблющейся величины относительно внешнего воздействия.

    Амплитуда вынужденных колебаний A зависит от w. График функции A = f (w) имеет максимум при некоторой частоте w = w_рез. Величина w_рез называется резонансной частотой. Можно показать, что для резонансной частоты справедливо соотношение

.

    Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения при вынужденных электрических колебаниях в контуре) к частоте w_рез называется резонансом. При  значение w_рез практически совпадает с собственной частотой w₀ колебательной системы.

    Рассмотрим колебательный контур (рис.17.3), к которому подключён источник переменного напряжения, изменяющегося по гармоническому закону

U = U_m cosw t,

где U_m – амплитудное значение напряжения источника.

    В таком контуре возникает переменный ток, который вызывает на всех элементах цепи падения напряжения: U = IR на резисторе,  на катушке и  на конденсаторе. В любой момент времени сумма напряжений на элементах контура равна приложенному извне напряжению

U_R + U_C + U_L = U_m cosw t,

или

.

    С учётом соотношений  и , получим дифференциальное уравнение электрических колебаний в контуре

,

полностью совпадающее с уравнением (17.9), из чего следует, что заряд конденсатора совершает колебания по закону

q = q_m cos(wt - y),                                      (17.10)

а ток по закону

,

где  - сдвиг фаз между током и приложенным к контуру напряжением,  - амплитудное значение тока.

    Векторная диаграмма амплитуд падений напряжений на элементах контура приведена на рис.17.4. Амплитуда U_m приложенного извне напряжения равна векторной сумме амплитуд этих падений напряжений. Из векторной диаграммы следует, что

.

Для прямоугольного треугольника векторов можно также записать

,

откуда получим выражение для амплитуды силы тока (закон Ома для цепи переменного тока)

.

    Разделив выражение (17.10) на C, получим закон изменения напряжения на конденсаторе

.

Амплитудное значение напряжения на конденсаторе

.                 (17.11)

    Резонансная частота для напряжения на конденсаторе U_C равна

.

    Резонансные кривые для U_С изображены на рис.17.5. При w ® 0 резонансные кривые сходятся в одной точке с координатой U_Cm = U_m, соответствующей напряжению, возникающему на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения U_m. Максимум при резонансе получается тем выше и резонансная кривая тем острее, чем меньше , т. е. чем меньше активное сопротивление и больше индуктивность контура.

    При малом затухании () резонансную частоту для напряжения можно положить равной w₀. Соответственно можно считать, что

.                                     (17.12)

    Используя формулы (17.11) и (17.12) найдём отношение амплитуды напряжения на конденсаторе при резонансе U_{Cm рез} к амплитуде внешнего напряжения U_m

.

Таким образом, добротность контура показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе превышает приложенное извне напряжение.

    Резонансные кривые для силы тока изображены на рис.17.6. Амплитуда силы тока I_m имеет максимальное значение при . Следовательно, резонансная частота для силы тока не зависит от R и совпадает с собственной частотой контура w₀. Графики зависимости I = f (w) при различных R называются резонансными кривыми колебательного контура.

    Добротность контура определяет также «остроту» резонансных кривых. На рис.III.7 изображена одна из резонансных кривых для силы тока в контуре. Частоты w₁ и w₂ соответствуют току  (отношение амплитуд токов, равному  соответствует отношение мощностей, равное ). Относительная ширина контура  равна величине, обратной добротности контура .

    Явление резонанса используют для выделения из сложного напряжения, равного сумме нескольких синусоидальных напряжений, нужной составляющей. Пусть напряжение, приложенное к контуру, равно

U = U_{m 1}cos(w₁t + j₁) + U_{m 2}cos(w₂t + j₂) +…+ U_mi cos(w_it + j_i) +…+ U_mn cos(w _n t + j _n).

Настроив контур (посредством изменения R и C) на требуемую частоту w_i, можно получить на конденсаторе напряжение в Q раз превышающее значение данной составляющей, в то время как напряжение, создаваемое на конденсаторе другими составляющими, будет слабым. Таким образом осуществляется, например, настройка радиоприёмника на нужную длину волны.