Произведение матрицы на число

Произведением матрицы А на число l называется матрица С, каждый элемент которой с_ij= l a_{ij .}

Свойства.

1) ассоциативность (lm) А=l (mА)

2) дистрибутивность

- относительно сложения чисел (l+m) А= l А+ m А;

- относительно сложения матриц l(А+В) = l А+ l В.

Пример.

 

Операция транспонирования матриц

Матрица В называется транспонированной по отношению к матрице А, если строками матрицы В являются столбцы матрицы А, а столбцами – строки.

Обозначение: В=А^Т

Свойство операции транспонирования – рефлексивность: (A^T) ^T=A

Пример.    

dim A =2´3, dim A^T =3´2

Замечание. В случае, если А^Т=А, матрица называется симметрической, например:

Произведение матриц

Произведением матрицы А dim А=m´p и матрицы B dim B=p´n называется матрица C dim C=m´n, каждый элемент которой с_ij равен «произведению i -той строки матрицы А на j -тый столбец матрицы В».

Из определения следует, что умножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Свойства операции умножения.

- ассоциативность (АВ) С=А (ВС);

- дистрибутивность А (В+С)= АВ+АС;

- существование нейтрального элемента (единичной матрицы): АЕ=ЕА=А;

- связь между операцией транспонирования и произведением матриц: (АВ) ^Т = В^ТА^Т.

Замечания .

1) Умножение матриц не коммутативно, то есть АВ ВА;

2) Обратной операции - деления не существует.

3) Если АВ=ВА, то в этом случае матрицы А и В называются коммутативными.