2018-02-14
333
Точечная оценка и ее свойства
Планирование эксперимента для проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий в двух выборках при известных и неизвестных дисперсиях. Математическая модель эксперимента. Принципы формирования выборок, выбора уровня значимости и принятия решений по результатам эксперимента.
Пусть ξ и η — независимые нормально распределенные случайные величины, представленные выборочными значениями соответственно
x1, x2, …, xn и y1, y 2, …, y m.
Задача состоит в проверке гипотезы о том, что равны неизвестные математические ожидания Mξ = aξ и Mη = aη. Значения дисперсий Dξ = σξ2 и Dη = ση2 известны.
Рассмотренная задача чрезвычайно важна в приложениях.
Например, на двух предприятиях производятся одинаковые товары и среднее значение некоторого параметра в контрольной партии с одного предприятия отличается от значения того же параметра, полученного при обследовании второго предприятия.
Возникает вопрос: эти различия статистически значимы или нет?
Различия обусловлены только случайными факторами, или различием в организации производства на предприятиях?
Итак, проверяем гипотезу 
против альтернативы 
.
Если гипотеза верна, то величина
подчинена стандартному нормальному распределению 
.
Здесь 
, 
и 
.
Известны статистические свойства этих случайных величин:
имеет нормальное распределение с параметрами 
и 
;
имеет нормальное распределение с параметрами 
и 
;
имеет нормальное распределение с параметрами 
и 
.
Зададимся некоторым уровнем значимости 
. Границы критической области определяются из условий 
и 
, 
— решение уравнения 
, где 
— функция распределения стандартного нормального распределения.
Когда критическая область найдена, можно вычислить по выборке значение критерия 
и проверить попадает ли оно в критическую область.
Если 
или 
, то гипотеза о равенстве математических ожиданий отвергается, принимается альтернатива .
Если же 
, то принимается гипотеза .
