Линейный парный регрессионный анализ

ЗАОЧНОЕ ОБУЧЕНИЕ

 

ЭКОНОМЕТРИКА

 

 

Методические указания к выполнению контрольной работы

для студентов заочной формы обучения

 

 

 

Содержание

 

Общие указания                                                               4

Введение                                                                            6

Линейный парный регрессионный анализ                     8

Задание №1                                                                      15

Множественный регрессионный анализ                       17

Задание №2                                                                      24

Системы эконометрических уравнений                       25

Задание №3                                                                      32

Временные ряды в эконометрических исследованиях 35

Задание № 4                                                                     42

Список литературы                                                         44

Приложение 1                                                                 45

Приложение 2                                                                 48

 

 

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ

 

Контрольная работа по дисциплине эконометрика выполняется для приобретения студентами опыта построения эконометрических моделей, принятия решений спецификации и идентификации моделей, выбора методов оценки параметров модели, интерпретации результатов, получения прогнозных оценок.

При самостоятельном изучении дисциплины следует руководствоваться рабочей программой дисциплины эконометрика для студентов специальностей 080103, 080105, 080109 и 080801.

При выполнении контрольной работы следует обратить внимание на следующие требования:

1. Задания к контрольной работе составлены в 100 вариантах. Каждый студент выполняет один вариант. Номер его варианта соответствует последним двум цифрам номера его зачетной книжки. Замена задач не допускается. Номер варианта указывается в самом начале работы.

2. Работы можно выполнять с помощью вычислительной техники и специального программного обеспечения (например, электронных таблиц MS Excel).

3. Нельзя ограничиваться приведением только готовых ответов. Расчеты должны быть представлены в развернутом виде, применяя где это необходимо табличные оформления исходной информации и расчетов, со всеми формулами, пояснениями и выводами, соблюдая достаточную точность вычислений. В пояснениях и выводах показать, что именно и как характеризует исчисленный показатель.

4. Работа должна быть написана разборчиво, без помарок. Титульный лист оформляется в соответствии с примером, приведенном в Приложении 2. Работа должна содержать список использованной литературы, быть подписана студентом, указана дата выполнения работы.

5. Контрольная работа должна быть представлена не позже, чем за 2 недели до экзамена (зачета).

6. Если работа не принимается к зачету, то она вместе с рецензией возвращается студенту. Студент обязан учесть все замечания и внести их в текст работы или выполнить ее заново; при этом рецензия преподавателя должна быть приложена к работе. Несамостоятельно выполненные работы рассматриваются как неудовлетворительные.

 

ВВЕДЕНИЕ

Эконометрика – наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов.

Эконометрика связывает между собой экономическую теорию и экономическую статистику и с помощью математико-статистических методов придает конкретное количественное выражение общим закономерностям, устанавливаемым экономической теорией.

Предметом эконометрики являются массовые экономические явления.

Главным инструментом эконометрики служит эконометрическая модель, которая представляет собой либо одно уравнение; либо систему уравнений.

Эконометрика изучает массовые явления в экономике через статистические совокупности, а последние через признаки, которыми характеризуются единицы этой совокупности.

Признаки могут находиться в связи между собой. Взаимосвязанные признаки могут выступать в одной из ролей:

- роли признака-результата (аналог зависимой переменной (y) в математике);

- роли признака-фактора, значения которого определяют значение признака-результата (аналог независимой переменной (x) в математике).

Связи классифицируют по степени тесноты, направлению, форме, числу факторов.

· По степени тесноты связи делят на статистические (стохастические) и функциональные.

Статистическая (стохастическая) связь – это такая связь между признаками, при которой для каждого значения признака-фактора х признак-результат (y) может в определенных пределах принимать любые значения с некоторыми вероятностями; при этом его статистические (массовые) характеристики (например, среднее значение) изменяются по определенному закону.

 

 

Статистическая связь обусловлена:

1) тем, что на результативный признак оказывают влияние не только фактор (факторы), учтенные в модели, но и неучтенные или неконтролируемые факторы;

2) неизбежностью ошибок измерения значений признаков.

Модель статистической связи может быть представлена в общем виде уравнениями:

  y_i=f(x 1 _i,u_i) (i =1,2,…, n) - для модели с одним фактором, 

y_i=f(x 1 _i,...,xm_i,u_i), (i =1,2,…, n) – для модели с множеством факторов,

где y_i - фактическое значение результативного признака для i -ой единицы статистической совокупности;

f(x 1 _i,...,xm_i) - часть результативного признака, сформировавшаяся под воздействием учтенных известных факторных признаков (xj_i, j=1;m);

u_i - часть результативного признака, сформировавшаяся под воздействием неконтролируемых или неучтенных факторов, а также ошибок измерения признаков.

Противоположной статистической связи является функциональная.

Функциональной называется такая связь, когда каждому возможному значению признака-фактора (х) соответствует одно или несколько строго определенных значений результативного признака (y). Определение функциональной связи может быть легко обобщено для случая многих признаков х 1, х 2,…, хm. модель функциональной связи в общем виде можно представить уравнением:

y_i=f(x 1 _i,...,xm_i).

· По направлению изменений результативного и факторного признаков связи делят на прямые и обратные.

· По форме связи (виду функции f) связи делят на прямолинейные (линейные) и криволинейные (нелинейные).

· По количеству факторов в модели связи подразделяют на однофакторные (парные) и многофакторные.

ЛИНЕЙНЫЙ ПАРНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Одним из методов изучения стохастических связей между признаками является регрессионный анализ.

Регрессионный анализ представляет собой вывод уравнения регрессии, с помощью которого находится средняя величина случайной переменной (признака-результата), если величина другой (или других) переменных (признаков-факторов) известна. Он включает следующие этапы:

1) выбор формы связи (вида аналитического уравнения регрессии);

2) оценку параметров уравнения;

3) оценку качества аналитического уравнения регрессии.

Наиболее часто для описания статистической связи признаков используется линейная форма. Внимание к линейной связи объясняется четкой экономической интерпретацией ее параметров, ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связи для выполнения расчетов преобразуют (путем логарифмирования или замены переменных) в линейную форму.

В случае линейной парной связи уравнение регрессии примет вид: . Параметры данного уравнения а и b оцениваются по данным статистического наблюдения x и y. Результатом такой оценки является уравнение: , где ,  - оценки параметров a и b, - значение результативного признака (переменной), полученное по уравнению регрессии (расчетное значение).

Наиболее часто для оценки параметров используют метод наименьших квадратов (МНК).

Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии. Но только в том случае, если выполняются определенные предпосылки относительно случайного члена (u) и независимой переменной (x).

Задача оценивания параметров линейного парного уравнения методом наименьших квадратов состоит в следующем:

получить такие оценки параметров , , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака - y_i от расчетных значений –  минимальна.

Формально критерий МНК можно записать так:

.

Проиллюстрируем суть данного метода графически. Для этого построим точечный график по данным наблюдений (x_i,y_i, i=1;n) в прямоугольной системе координат (такой точечный график называют корреляционным полем). Попытаемся подобрать прямую линию, которая ближе всего расположена к точкам корреляционного поля. Согласно методу наименьших квадратов линия выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками корреляционного поля и этой линией была бы минимальной.

y                       

y’_i

y_i

                                                               x

                  х _i

Математическая запись данной задачи:

.

Значения y_i и x_i  i=1;n нам известны, это данные наблюдений. В функции S они представляют собой константы. Переменными в данной функции являются искомые оценки параметров - , . Чтобы найти минимум функции 2-ух переменных необходимо вычислить частные производные данной функции по каждому из параметров и приравнять их нулю, т.е. .

В результате получим систему из 2-ух нормальных линейных уравнений:

Решая данную систему, найдем искомые оценки параметров:

Правильность расчета параметров уравнения регрессии может быть проверена сравнением сумм  (возможно некоторое расхождение из-за округления расчетов).

Для расчета оценок параметров , можно построить таблицу 1.

Знак коэффициента регрессии b указывает направление связи (если b >0, связь прямая, если b <0, то связь обратная). Величина b показывает на сколько единиц изменится в среднем признак-результат -y при изменении признака-фактора - х на 1 единицу своего измерения.

Формально значение параметра а – среднее значение y при х равном нулю. Если признак-фактор не имеет и не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка параметра а не имеет смысла.

Оценка тесноты связи между признаками осуществляется с помощью коэффициента линейной парной корреляции - r_x,y. Он может быть рассчитан по формуле: . Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b: .

Область допустимых значений линейного коэффициента парной корреляции от –1 до +1. Знак коэффициента корреляции указывает направление связи. Если r_x,y>0, то связь прямая; если r_x,y<0, то связь обратная.

Если данный коэффициент по модулю близок к единице, то связь между признаками может быть интерпретирована как довольно тесная линейная. Если его модуль равен единице êr_x,y ê=1, то связь между признаками функциональная линейная. Если признаки х и y линейно независимы, то r_x,y близок к 0.

Для расчета r_x,y можно использовать также таблицу 1.

Таблица 1

N наблюдения	xi	yi	xi ∙yi
1	x 1	y 1	x 1·y1
2	x 2	y 2	x 2·y2
...
n	xn	yn	xn·yn
Сумма по столбцу	åx	åy	å x·y
Среднее значение

Для оценки качества полученного уравнения регрессии рассчитывают теоретический коэффициент детерминации – R²_yx:

,

где d² – объясненная уравнением регрессии дисперсия y;

e²- остаточная (необъясненная уравнением регрессии) дисперсия y;

s² _y  - общая (полная) дисперсия y.

 Коэффициент детерминации характеризует долю вариации (дисперсии) результативного признака y, объясняемую регрессией (а, следовательно, и фактором х), в общей вариации (дисперсии) y. Коэффициент детерминации R²_yx принимает значения от 0 до 1. Соответственно величина 1- R²_yx характеризует долю дисперсии y, вызванную влиянием прочих неучтенных в модели факторов и ошибками спецификации.

При парной линейной регрессии R²_yx=r²_yx.