Идентификация модели

Цель моделирования.

Целью моделирования является решение приоритетной проблемы, связанной с повышением валовой продукции предприятия по сравнению с лучшими аналогичными предприятиями.

Методика выявления приоритетной проблемы изложена в «методе наименьших квадратов».

Выбор переменных.

Величина валовой продукции зависит от шести основных факторов:

1. сырье и материалы (качество сырья и материалов);

2. машины (техническое оборудование предприятия);

3. методы (технология производства);

4. люди (количество рабочих, уровень квалификации, и т.д.);

5. физическая и абстрактная среда (температура, влажность);

6. время (в данной задаче не оказывает влияние на Y).

Выделение входных и выходных переменных.

В соответствии с возникшей проблемой, связанной с низким уровнем валовой продукции по сравнению с конкурентами, возникла потребность изучить зависимость и прогноз прироста валовой продукции от количества реализованных рационализаторских предложений.

Следовательно, входными переменными будет количество поданных рационализаторских предложений (Х), выходными показателями прирост валовой продукции (Y).

График зависимости Y от Х представлен на рисунке 1.

Рисунок 1. График зависимости Y от Х

Анализ графика зависимости Y от Х показывает, что с ростом числа поданных рационализаторских предложений происходит прирост валовой продукции предприятия. В тоже время эта зависимость является стохастической.

Выдвижение гипотез.

Предположим, что прирост валовой продукции линейно зависит от количества поданных рационализаторских предложений.

Формулировка допущений.

Прирост валовой продукции в большей степени зависит от количества поданных рационализаторских предложений, чем от других мер совершенствования процессов.

Спецификация модели.

Предположим, что фактическая зависимость Y от Х для всех предприятий генеральной совокупности можно представить в виде классической нормальной линейной модели парной регрессии, спецификация которой представлена соотношениями:

Y_i = f(Х_i)+e = a + b Х_i +e, при i=1,2,…,n.

Идентифицируемость модели.

Классическая нормальная линейная модель парной регрессии соответствует объекту исследования и может быть применена к изучению зависимости Y от Х.

Идентификация модели.

Для оценки параметров и характеристик истинной зависимости Y от Х используется регрессионное уравнение, коэффициенты и характеристики которого определяются по выборочной совокупности объемом n.

1.2.Расчет коэффициентов a, b.

Таблица 2

Расчет коэффициентов a, b

i	Xi	Yi	Xi-X ̅	Yi-Y ̅	(Xi-X ̅)*(Yi-Y ̅)	(Xi-X ̅)2
1	2300	760	-3642,5	-391	1424218	13267806
2	3400	750	-2542,5	-401	1019543	6464306
3	3600	800	-2342,5	-351	822217,5	5487306
4	4000	860	-1942,5	-291	565267,5	3773306
5	4250	880	-1692,5	-271	458667,5	2864556
6	4500	1020	-1442,5	-131	188967,5	2080806
7	5000	1040	-942,5	-111	104617,5	888306,3
8	5600	1050	-342,5	-101	34592,5	117306,3
9	5800	1170	-142,5	19	-2707,5	20306,25
10	6000	1210	57,5	59	3392,5	3306,25
11	6100	1250	157,5	99	15592,5	24806,25
12	6500	1240	557,5	89	49617,5	310806,3
13	6800	1300	857,5	149	127767,5	735306,3
14	7000	1290	1057,5	139	146992,5	1118306
15	7200	1280	1257,5	129	162217,5	1581306
16	7500	1350	1557,5	199	309942,5	2425806
17	7800	1400	1857,5	249	462517,5	3450306
18	8000	1450	2057,5	299	615192,5	4233306
19	8500	1450	2557,5	299	764692,5	6540806
20	9000	1470	3057,5	319	975342,5	9348306
Сумма	118850	23020			8248650	64736375
Среднее	5942,5	1151

1. Расчет коэффициент модели b:

0,12741909

2. Расчет коэффициент модели a:

393,812057

8248650- ковариация переменных Y и X

64736375-вариация переменной Х

5942,5-среднее значение Х

1151-среднее значение Y

1.3. Вычисление ошибки модели E

Таблица 3

Расчет ошибки модели

i	Xi	Yi	(Yi) ̂	Yi-(Yi) ̂	(Yi-(Yi) ̂)^2
1	2300	760	686,8759642	73,12403575	5347,124605
2	3400	750	827,0369634	-77,0369634	5934,693726
3	3600	800	852,5207814	-52,5207814	2758,432479
4	4000	860	903,4884174	-43,4884174	1891,242452
5	4250	880	935,34319	-55,34319	3062,868677
6	4500	1020	967,1979625	52,80203749	2788,055164
7	5000	1040	1030,907508	9,092492436	82,67341869
8	5600	1050	1107,358962	-57,3589616	3290,05048
9	5800	1170	1132,84278	37,15722034	1380,659024
10	6000	1210	1158,326598	51,67340232	2670,140507
11	6100	1250	1171,068507	78,93149331	6230,180636
12	6500	1240	1222,036143	17,96385726	322,7001676
13	6800	1300	1260,26187	39,73813022	1579,118994
14	7000	1290	1285,745688	4,254312201	18,0991723
15	7200	1280	1311,229506	-31,2295058	975,2820339
16	7500	1350	1349,455233	0,544767142	0,296771239
17	7800	1400	1387,68096	12,31904011	151,7587492
18	8000	1450	1413,164778	36,83522208	1356,833586
19	8500	1450	1476,874323	-26,874323	722,2292354
20	9000	1470	1540,583868	-70,583868	4982,082427
Сумма	118850	23020	23020		45544,5223
Среднее	5942,5	1151	1151

Расчетное значение Ŷi рассчитывается по формуле: Ŷi = a + b Xi.

Теперь рассчитаем ошибку модели Е по формуле:

Е = , при n = 20; k = 2.

50,3016

Е(%) = 50,301/1151*100% = 0,043 0,04*100% 4 %, поэтому Е (%) имеет тесную обратную связь с критерием Фишера.

Следовательно, ошибка модели не превышает 15 %, поэтому можно считать, что модель хорошая.

Для того, чтобы вычислить коэффициент Стьюдента

= (

необходимо воспользоваться функцией FРАСПОБР( =0,95; =20- 2)= =0,286301.

1.4. Расчет ошибок коэффициентов а и b

Таблица 4

Расчет ошибок коэффициентов а и b

i	Xi	X_i^2	(Xi-X ̅)2
1	2300	5290000	13267806,25
2	3400	11560000	6464306,25
3	3600	12960000	5487306,25
4	4000	16000000	3773306,25
5	4250	18062500	2864556,25
6	4500	20250000	2080806,25
7	5000	25000000	888306,25
8	5600	31360000	117306,25
9	5800	33640000	20306,25
10	6000	36000000	3306,25
11	6100	37210000	24806,25
12	6500	42250000	310806,25
13	6800	46240000	735306,25
14	7000	49000000	1118306,25
15	7200	51840000	1581306,25
16	7500	56250000	2425806,25
17	7800	60840000	3450306,25
18	8000	64000000	4233306,25
19	8500	72250000	6540806,25
20	9000	81000000	9348306,25
Сумма	118850	771002500	64736375
Среднее	5942,5

Рассчитаем ошибку b (стандартное отклонение) по формуле:

0,006251837

где Е =50,3016 – вариация переменной Х.

Рассчитаем ошибку а по формуле:

38,81687151

где n= 20.

1.5. Вычисление критерия Стьюдента для коэффициентов а и b

Теперь мы вычислим коэффициент Стьюдента а:

T_b = =0,12741909 / 0,006251837 = 20,3810

При b=0,12741909 и S_b =. 0,006251837

= =393,812057/ 38,81687151= 10,145.

При а =393,812057 и =38,81687151

1.6.Определение критического значения критерия Стьюдента на уровне значимости α= 0,05.

С помощью статистической функции Excel СТЬЮДРАСПОБР

(α= 0,05; m=20-2)= 2,100922 - критическое значение критерия Стьюдента, где n= 20 –количество выборки; k =2 – количество коэффициентов модели; α=0,05 – уровень значимости критерия и вероятность совершить ошибку при нулевой гипотезе.

1.6. Проверка достоверности коэффициента b.

Проверим – нулевую гипотезу: : b= 0, так как коэффициент Стьюдента b по своей величине равен 20,8104.

׀ = 20,8104 является больше = 2,100922, то : b= 0 – отвергается с вероятностью 1 – α = 0,95.

1.7. Вычисление доли объясненной вариации переменной Y.

Таблица 5

Расчет коэффициента детерминации и критерия Фишера

i	Xi	Yi	(Yi) ̂	(Yi-Y ̅)^2	(Y ̂-Y ̅)^2	(Yi-(Yi) ̂)^2
1	2300	760	686,8759642	152881	215411,1206	5347,124605
2	3400	750	827,0369634	160801	104952,0491	5934,693726
3	3600	800	852,5207814	123201	89089,84394	2758,432479
4	4000	860	903,4884174	84681	61261,9835	1891,242452
5	4250	880	935,34319	73441	46507,85971	3062,868677
6	4500	1020	967,1979625	17161	33783,18899	2788,055164
7	5000	1040	1030,907508	12321	14422,20674	82,67341869
8	5600	1050	1107,358962	10201	1904,54023	3290,05048
9	5800	1170	1132,84278	361	329,6846505	1380,659024
10	6000	1210	1158,326598	3481	53,67903359	2670,140507
11	6100	1250	1171,068507	9801	402,7449609	6230,180636
12	6500	1240	1222,036143	7921	5046,133575	322,7001676
13	6800	1300	1260,26187	22201	11938,15619	1579,118994
14	7000	1290	1285,745688	19321	18156,40038	18,0991723
15	7200	1280	1311,229506	16641	25673,49454	975,2820339
16	7500	1350	1349,455233	39601	39384,47945	0,296771239
17	7800	1400	1387,68096	62001	56017,87678	151,7587492
18	8000	1450	1413,164778	89401	68730,37078	1356,833586
19	8500	1450	1476,874323	89401	106194,0744	722,2292354
20	9000	1470	1540,583868	101761	151775,5902	4982,082427
Сумма	118850	23020	23020	1096580	1051035,478	45544,5223
Среднее	5942,5	1151	1151

Определение доли объема вариации. Коэффициент детерминации.

= = 151775,5902/101761 = 1,4914

При котором (Ŷi - ӯ)²= 151775,5902 – вариация регрессии;

(Yi - ӯ)² = 101761 – вариация переменной Y.

Проверка достоверности модели.

Для проверки достоверности модели выдвигаем «модель недостоверна» или Ŷi = ӯ или =

Если коэффициент Фишера F ( = n-k), то - отвергается с вероятностью совершенной отвергаемой ошибки с или 1 - , и утверждается, что модель является достоверной с вероятностью 1- .

Если критерий Фишера ( = n-k), то - принимается и утверждается, что модель является недостоверной.

Критерий Фишера означает во сколько раз дисперсия регрессии больше дисперсии остатка,чем больше критерий Фишера, тем точнее модель и тем меньше процент стандартной ошибки моделей.

1.9.Критерий Фишера

Где - дисперсия обусловленная регрессией;

- дисперсия остатка.

; .

Критическое значение Фишера ( = n-k), значение определено на уровне значимости и определяется по функции Excell FРАСПОБР.

Вычисление критерия Фишера.

F= = = (20-2)*1051035/(2-1)*45544 = 18918630/45544= 415,392

1.10.Расчет критерия Фишера критического.

При значениях 4,413873

1.11. Проверка достоверности модели.

Проверим - она не достоверна. Так как коэффициент Фишера расчетное равен F =6400,43 равного 4,413873, то - модель не достоверна и поэтому отвергается с вероятностью 1- .

Экономическая интерпретация доверительных интервалов для математического ожидания Y.

С вероятностью 0,95 можно утверждать, что математическое значение Y или среднее значение Y рассчитанные для всей генеральной совокупности для каждого фиксированного Х_i , или уравнения регрессии, рассчитанные для всех данных генеральной совокупности, будет находиться в интервале от до .

Вычислим точечный и интервальный прогноз Y при ожидаемом значении Х: = 31. Прогнозное значение Y для выборочной совокупности при ожидаемо значении.

= а + b = 397,762046

При а =393,812057; b= 0,12741909 ; = 31.

1.12.Расчет 95 %доверительного интервала, нахождение прогнозного и математического ожидания (среднее значение).

Y прогнозное по всем предприятиям отрасли (для всей генеральной совокупности) при ожидаемом значении вычисленном по формуле:

*Е = 436,3934

а + b = 397,762046 - прогнозное значение Y для выборочной совокупности;

= 31 – ожидаемое значение Х;

(α= 0,05; m=20-2)= 2,100922 - критическое значение критерия Стьюдента;

n= 20 –количество выборки;

k =2 – количество коэффициентов модели;

Е=50,3016 - ошибка модели;

= 64736375 - вариация переменной Х;

= 5942,5 – среднее значение Х.

Ошибка прогноза:

= E =38,63142014

1.12. Вывод по определению интервального прогноза.

С вероятностью 95 % можно утверждать, что среднее значение объема производства для генеральной совокупности при ожидаемом значении Х = 31, будет находиться в интервале от 359,130 до 436,3934.

1.13. Расчет 95 % доверительного интервала, нахождение математического ожидания (среднего значения) по всем предприятиям отрасли (для всей генеральной совокупности при каждом значении Х)

= * E

При - математическое ожидание Y для i-го измерения;

= а +bX_i - расчетное значение Y для i-го измерения;

X_i- значение Х при i-ом измерении;

(α= 0,05; m=20-2)= 2,100922 - критическое значение критерия Стьюдента;

n= 20 –количество выборки;

k =2 – количество коэффициентов модели;

Е =50,3016 - ошибка модели;

= 64736375 - вариация переменной Х;

= 5942,5 – среднее значение Х.

Получение доверительных интервалов уравнения регрессии.

95 % доверительные интервалы математического ожидания Y_i для значения вычисляется по формуле:

= - E - нижний 95 % доверительный интервал для математического ожидания Y.

= + E - верхний 95 % доверительный интервал для математического ожидания Y.

Таблица 6

Расчет 95 % доверительного интервала математического ожидания Y

i	Xi	Y_(p_t)	Y_(M(max⁡))	Y_(M(min⁡))
1	2300	686,8759642	725,5073844	648,2445441
2	3400	827,0369634	865,6683835	788,4055432
3	3600	852,5207814	891,1522015	813,8893613
4	4000	903,4884174	942,1198376	864,8569973
5	4250	935,34319	973,9746101	896,7117698
6	4500	967,1979625	1005,829383	928,5665424
7	5000	1030,907508	1069,538928	992,2760874
8	5600	1107,358962	1145,990382	1068,727541
9	5800	1132,84278	1171,4742	1094,21136
10	6000	1171,068507	1209,699927	1132,437087
11	6100	1171,068507	1209,699927	1132,437087
12	6500	1222,036143	1260,667563	1183,404723
13	6800	1260,26187	1298,89329	1221,63045
14	7000	1285,745688	1324,377108	1247,114268
15	7200	1311,229506	1349,860926	1272,598086
16	7500	1349,455233	1388,086653	1310,823813
17	7800	1387,68096	1426,31238	1349,04954
18	8000	1413,164778	1451,796198	1374,533358
19	8500	1476,874323	1515,505743	1438,242903
20	9000	1540,583868	1579,215288	1501,952448
Сумма	118850	23032,74191	23805,37031	22260,11351
Среднее	5942,5	1151,637095	1190,268516	1113,005675

1.14. Эконометрический анализ линейной модели.

Линейная модель исследованного экономического процесса имеет вид:

= 393,812057+0,12741909 * +

При S_b= 0,00625; S_a=38,81687151 ; T_b=20,3810 ; =10,145; = 2,100922;

1,491490; F =415,429; = 4,413873.

При проверки модель недостоверна и тогда можно сделать вывод: так как F- критерий Фишера F =415,429 = 4,413873, то данная гипотеза отвергается с вероятностью 1 - =0,95.

Таким образом, модель зависимости У(Х) представленная в виде регрессивного уравнения:

=393,812057+0,12741909 * + , построенного по выборочной совокупности равного 20 и является достоверной с вероятностью 0,95.

Проверка достоверности коэффициентов.

Проверяем, что b= 0 при этом абсолютная величина критерия Стьюдента коэффициента b:

׀ =20,3810 = 2,100922 значения критерия значения Стьюдента. Следовательно,: b= 0 и тогда отвергается с вероятностью

1 - = 0,95.

Коэффициент b=39,789474 достоверно отличается от нуля.

1.15. Общий вывод.

Линейная модель динамики объема производства может быть представлена в виде регрессивного уравнения:

= 393,812057+0,12741909 * + и является достоверной с вероятностью 0,95.

Коэффициент b= 0,12741909 достоверно отличается от нуля.

В прогнозном периоде в январе следующего года при Х ожид. = 31 точечный прогноз или наиболее вероятное прогнозное значение прироста объема производства будет равно 397,762046.

С вероятностью 0,95 можно утверждать, что математическое ожидание (среднее значение) прироста объема производства или интервальный прогноз будет находиться в пределе 359,130 до 436,3934.

1.16. Проверка расчетов при помощи функции Excell «ЛИНЕЙН».

Проверка всех расчетов в данном модуле производится с использованием статистической функции:

1) В рабочую ячейку функция с указанием диапазона ячеек для зависимой переменной Y и для объяснимой переменной Х;

2) Выделяется два столбца и пять строк, в которую необходимо вывести результаты расчетов данной функции.

Результаты функции «ЛИНЕЙН».

0,12741909	393,812057
0,006251837	38,81687151
0,958466758	50,30160275
415,3877929	18
1051035,478	45544,5223

Данные результатов расчетов коэффициентов и всех характеристик линейной модели позволяют произвести эконометрический анализ регрессивных моделей, то есть:

Е=50,30160275; b=0,12741909; а=393,812057 и т.д.

При сравнении расчетов полученных самостоятельно с помощью электронных таблиц и функции «ЛИНЕЙН» можно сделать заключение, что они почти идентичны.

1.17. Проверка достоверности модели по контрольной совокупности.

Проведем проверку достоверности модели с помощью внешних критерий. Для этого необходимо всю совокупность поделить на 2 части:

1) Обучающая (таблица 1) – совокупность состоит 2/ 3объема выборки;

2) Контрольная (таблица 2) – совокупность состоит 1/ 3объема выборки.

Таблица 1

Обучающая выборка

i	Xi	Yi
1	11	760
2	12	750
3	13	800
4	14	860
5	15	880
6	16	1020
7	17	1040
8	18	1050
9	19	1170
10	20	1210
11	21	1250
12	22	1240
13	23	1300

Таблица 2

Контрольная выборка

14	7000	1290
15	7200	1280
16	7500	1350
17	7800	1400
18	8000	1450
19	8500	1450
20	9000	1470

Долее вычисляем коэффициент ошибки линейной модели для обучающей выборки с помощью функции «ЛИНЕЙН».

0,124436302	393,9360203
0,019041889	83,75605436
0,859167825	59,77926528
42,70455079	7
152607,2983	25014,9239

И тогда = 50,27473 + 0,769186 и Е - ошибка модели.

Затем при помощи той же функции вычислим ошибку модели на контрольную выборки с помощью функции «ЛИНЕЙН».

0,073170732	781,9512195
0,016452119	111,0261209
0,798226164	22,52370025
19,78021978	5
10034,84321	2536,585366

Стандартная статистическая проверка достоверности модели на контрольной совокупности имеет малую мощность. Поэтому необходимы новые методики проверки достоверности модели по контрольной совокупности в условиях малых выборок.

Задание 2.

Была произведена группировка однородных предприятий за 2009 год по двум показателям: годовой объем производства Y (тыс.руб.)и себестоимость 1 продукции Х (тыс.руб.)

Таблица 1

База данных

i	Xi	Yi
1	2300	1130
2	3400	923
3	3600	1030
4	4000	930
5	4250	750
6	4500	930
7	5000	810
8	5600	830
9	5800	650
10	6000	730
11	6100	680
12	6500	610
13	6800	600
14	7000	580
15	7200	570
16	7500	560
17	7800	540
18	8000	530
19	8500	530
20	9000	530

Необходимо:

1. Получить прогноз себестоимости 1 продукции при ожидаемом значении годового объема производства;

2. Определить оптимальный годовой объем производства, при котором себестоимость 1 продукции станет минимальной;

3. Провести сравнительный анализ следующих моделей:

- линейной.

Теперь перейдем к расчету следующих показателей:

Таблица 2

База данных нескольких предприятий

i	Xi	Yi	Yi /Xi
1	2300	1130	0,491304
2	3400	923	0,271471
3	3600	1030	0,286111
4	4000	930	0,2325
5	4250	750	0,176471
6	4500	930	0,206667
7	5000	810	0,162
8	5600	830	0,148214
9	5800	650	0,112069
10	6000	730	0,121667
11	6100	680	0,111475
12	6500	610	0,093846
13	6800	600	0,088235
14	7000	580	0,082857
15	7200	570	0,079167
16	7500	560	0,074667
17	7800	540	0,069231
18	8000	530	0,06625
19	8500	530	0,062353
20	9000	530	0,058889

Предположим, что в данном предприятии существенной является себестоимость продукции.

График 1 исходных данных.

Визуальный характер графика 1 показывает, что с увеличением количества себестоимости продукции сначала возрастает, а затем стремится к постоянной величине.

График 2 зависимости себестоимости продукции от численности предприятий.

Визуальный анализ графика 2 показывает, что с увеличением количества предприятий до 3400 себестоимость продукции падает, а затем возрастает до 3600 себестоимости продукции, а затем постепенно, то падает, то возрастает.

В зависимости себестоимости продукции от численности предприятия (график 1) не является линейным и очевидно будет логистической с пределом равным максимальной себестоимости продукции.

Допущения.

Себестоимость продукции будет нелинейно зависеть от количества работников при условии, что на предприятии начиная с определенного количества работников, пропадает очередь.

Спецификация модели.

Воспроизведение нелинейной зависимости Y(X) будет производить с использованием следующей функции – линейной.

Спецификация модели зависимости Y(X) с помощью линейной функции = a +b +e, при условии, что математическое ожидание М (Е)=0.