Задачи для самостоятельной работы

Вращающаяся прямая

1. Определить число корней уравнения в зависимости от значений . Решение. Построим график функции (рис. 1). Правая часть представляет собой прямую, проходящую через точку (0; 0) с угловым коэффициентом , принимающим всевозможные значения. Как обычно, мы представляем себе не семейство прямых, а «движущуюся» прямую, которая «вращается» вокруг точки (0; 0) (только вертикальное положение она принимать не может). Мысленно вращая эту прямую, мы определяем число точек пересечения при различных значениях . Мы видим, что при имеется одна точка пересечения, при таких точек нет, при одна (), при две точки пересечения, и при — одна. Ответ: при одно решение, при нет решений, при одно (), при два, и при — одно.

2. Решить уравнение . Решение. Исследование, проведенное в предыдущей задаче, поможет нам определить, какие корни мы должны брать при данном значении параметра. По чертежу (рис. 1) видим, что при прямая пересекается только с лучом , значит, находим решение уравнения . При решений нет, при , при прямая пересекается и с лучом , и с лучом , значит, находим решение уравнения : ; и решение уравнения : . И, наконец, при берем только точку пересечения с лучом , . Ответ: при . При решений нет, при , при и , при .

3. Определить число корней уравнения в зависимости от значений . Решение. Построим график функции (рис. 2). Правая часть представляет собой прямую, проходящую через точку (0;1) с угловым коэффициентом . Мысленно вращая эту прямую, мы определяем число точек пересечения при различных значениях . Выделим «крайние» положения этой прямой: прямая проходит через точку (–2; 0) при , а через точку (2; 0) при . При прямая параллельна лучу , а при — лучу . Мы видим, что при имеется одна точка пересечения, при две, при три, при четыре точки пересечения. При положительных значениях картина симметричная: при три, при две, при одна точка пересечения. Ответ: при одно решение, при два, при три, при четыре решения.

4. При каких значениях уравнение имеет три корня? Решение. Построим график функции (рис. 3) и рассмотрим «вращающуюся» прямую . Мы видим, что три точки пересечения получаются, если прямая касается параболы в точке, принадлежащей промежутку (2; 4). Значение параметра , соответствующее этому положению можно найти, составив условия касания: . Отсюда , но мы выбираем значение , при этом . Ответ: .

5. Определить число корней уравнения в зависимости от значений . Решение. Кроме данных, полученных в предыдущей задаче, определим еще касательное положение прямой к параболе в точке с отрицательной абсциссой. Для этого составим условия касания: , отсюда . По чертежу (рис. 3) определяем, что при имеются две точки пересечения. По чертежу может создаться ошибочное представление, что эта точка только одна, но на самом деле прямая, не являющаяся касательной к параболе и не вертикальная, не может иметь с параболой одну точку пересечения. При общая точка одна, при таких точек нет, при их две, при четыре, при три, и при две. Ответ: при два решения, при одно, при нет решений, при два, при четыре, при три, и при два решения.

6. Решить уравнение в зависимости от значений . Решение. Решим уравнения (1) и (2) . Корни уравнения (1) , корни уравнение (2) . По чертежу определяем, что при прямая пересекается с обеими параболами, значит, все четыре корня являются решениями. При нет решений. При прямая пересекается только с параболой , следовательно, корни (совпадающие при ). При прямая пересекается только с параболой , следовательно, корни (совпадающие при ). При . Ответ: При нет решений. При . При . При . При , .

7. При каких минимум функции больше 1? Решение. Переформулируем задачу таким образом: при каких неравенство выполняется для всех ? Изобразим график функции и семейство прямых (рис. 4). Нам нужные прямые, проходящие ниже графика функции. Находим значение , соответствующее касательному положению прямой: Ответ:

8. Определить число корней уравнения в зависимости от значений . Решение. Изображаем график функции (рис. 5). «Уголок» имеет вершину в точке , а наклон его лучей определяется значением . По чертежу определяем, что при одно решение , при два решения , , при три решения, при решений бесконечно много (весь луч , и при снова одно решение . Ответ: при одно решение, при два решения, при три решения, при решений бесконечно много, при одно решение.

9. Решить уравнение . Решение. Изобразим график и семейство (рис. 6). Чертеж подсказывает, какие именно лучи «уголков» пересекаются при данном значении параметра. При решений нет, при . При с линией пересекается луч . Решая уравнение , получаем , и . При пересекаются лучи , получаем . При луч пересекается с «уголком» . Решая уравнения получаем , . Ответ: при нет решений, при , при и , при .

10. При каких значениях уравнение имеет решения в промежутке Решение. Изобразим график функции на промежутке (рис. 7). Определим значения на концах промежутка: . Рассмотрим «вращающуюся» прямую и определим ее положения, когда она имеет точки пересечения с графиком. Если прямая проходит через точку , то , , если же прямая проходит через точку (–1; 4), то , . Точки пересечения с графиком будут в промежуточных положениях: . Ответ:

11.

При каких значениях

уравнение

имеет решение? Решение. Придется построить график функции

. Найдем область определения:

. Найдем производную:

. Находим, что в точке

функция имеет максимум,

. Вычислим значения на концах области определения:

. Для схематического построения графика этого достаточно (рис. 8). Определим значения

в «крайних» положениях прямой

, когда она пересекается с графиком:

Ответ:

12. При каких значениях уравнение имеет единственное решение? Решение. Изобразим график правой части , это полуокружность , и семейство прямых , проходящих через точку (0; –1) с угловыми коэффициентами (рис. 9). Нетрудно по чертежу определить, при каких угловых коэффициентах прямые имеют одну точку пересечения с полуокружностью. Во-первых, это «пучок» прямых между прямыми, проходящими через концы полуокружности, и (причем прямая имеет с полуокружностью одну точку пересечения, а прямая — две). Эти прямые имеют угловые коэффициенты . Во- вторых, это касательная к окружности. Ее угловой коэффициент можно найти из геометрических соображений, а можно выражение подставить в уравнение окружности и потребовать, чтобы решение было только одно, т. е. чтобы дискриминант уравнения был равен нулю. Составим , при . Значение дает касательную к нижней полуокружности, — к верхней. Ответ: , .

Задачи для самостоятельной работы

13. При каких уравнение имеет три корня? Ответ: .

14. Определить число корней уравнения Ответ: при , одно решение, при три решения, при одно решение.

15. Определить число корней уравнения в зависимости от значений . Ответ: при два решения, при одно, при нет решений, при два, при четыре, при три, и при два решения.