К люч к карточному фокусу

А. Блок, “Роза и Крест”.

 

Наука умеет много гитик.

 

К люч к карточному фокусу

 

.

 

 

Глава1. Ватсон против Холмса

 

 

 

"Человекотличается от свиньи, в частности, тем,что ему иногда хочется поднять головуи посмотреть на звёзды”. Это изречениепринадлежит Виктору Амбарцумяну (в 1961- 1964 гг. президенту Международногоастрономического союза). А почти задвести лет до того на ту же тему высказалсяИммануил Кант. Кант поставил звёздноенебо, по силе производимого впечатления,на один уровень с пребывающим внутричеловека, и прежде всего внутри самогоКанта, нравственным законом. Этивысказывания объявляют усеянное звёздаминебо частью общечеловеческой духовнойкультуры и, более того, такой её частью,которая для всякого человека должнабыть обязательной. Трудно представитьчеловека, не впечатлявшегося видаминеба. (Впрочем, воспоминания переносятменя в осень 1947 года, на лекцию поастрономии для студентов первого курсамеханико-математического факультетаМГУ. Лекцию читает профессор Куликов.Он делает нам назидание. “В прошломвеке профессор Киевского университетаМитрофан Хандриков, - говорит профессорКуликов, - на экзамене спросил студента,каков видимый размер Луны во времяполнолуния, и получил ответ, что тот неможет этого знать, поскольку никогдане видал Луны”.)

 

Хотяприведённые выше высказывания о ролизвёздного неба в духовной культуречеловека и не содержат прямого заявленияо включении в эту культуру сведений обустройстве небесного свода, косвеннотакое включение происходит. Неотъемлемойчастью цивилизации является то или иноепредставление об указанном устройстве- хотя бы признаваемое в наши днисовершенно фантастическим, как, например,такое: “А Земля - это только лишь плесеньв перевёрнутой неба корзине; звёзды -это свет другого мира, к нам просвечивающийсквозь дно корзины, сквозь бесчисленныемаленькие дыры, не затёртые небеснойглиной”. Человек, вовсе не имеющийпредставлений об устройстве мироздания,признаётся окружающими выпадающим изкультуры. Вспомним изумление доктораВатсона, обнаружившего вскоре послевселения в знаменитый дом 221b поБейкер-стрит, что Холмс не знал, чтоЗемля вертится вокруг Солнца. И дажесчитал знать это совершенно излишним.“Ну хорошо, пусть, как вы говорите, мывращаемся вокруг Солнца, - возражалХолмс. - А если бы я узнал, что мы вращаемсявокруг Луны, много бы это помогло мнеили моей работе?” Вот здесь очень важныймомент. Холмс признаёт нужным знатьтолько то, что может быть использованов практических целях. Ватсон считает -и, очевидно, исходит из того, что читателиего записок разделяют эту его точкузрения, - что некоторые знания являютсяобязательными независимо от ихпрактического применения. При всёмуважении к великому сыщику, согласимсяс доктором.

 

Итак,есть определённый объём непрактическихзнаний, обязательный для всякогокультурного человека (несмотря наизвестное дурновкусие выражения“культурный человек”, в целях ясностиизложения приходится его употреблять).Мы полагаем, что в этот объём входят инекоторые из тех математическихпредставлений, которые не связаны сутилитарным использованием математики.Указанные представления состоят нетолько из фактов, но и из понятий иметодов оперирования с этими понятиями.

 

Рольматематики в современной материальнойкультуре, а также роль её элементарныхразделов в повседневном быту достаточноизвестны, и об этом можно позволить себене говорить. В этом очерке мы собираемсяговорить о математике как о частикультуры духовной.

 

Математическиеидеи могут вызывать эмоции, сравнимыес эмоциями, возникающими при чтениилитературных произведений, слушаниимузыки, созерцании архитектуры. Ксожалению, закостеневшие способыпреподавания математики редко позволяютощутить её эстетическую сторону,доступную, хотя бы частично, отнюдь нетолько математикам. Математиками жеэта сторона ощущается с полной ясностью.Вот что писал выдающийся математик,учитель великого Колмогорова, НиколайНиколаевич Лузин (1883 - 1950): “Математикиизумляются гармонии чисел и геометрическихформ. Они приходят в трепет, когда новоеоткрытие открывает им неожиданныеперспективы. И та радость, которую онипереживают, разве это не есть радостьэстетического порядка, хотя обычныечувства зрения и слуха здесь не участвуют.‹…› Математик изучает свою науку вовсене потому, что она полезна. Он изучаетеё потому, что она прекрасна. ‹…› Яговорю о красоте более глубокой, [чемта, которая поражает наши чувства,]проистекающей из гармонии и согласованностивоедино всех частей, которую один лишьчистый интеллект и сможет оценить.Именно эта гармония и даёт основу темкрасочным видимостям, в которых купаютсянаши чувства. ‹…› Нужно ли ещё прибавлять,что в развитии этого чувства интеллектуальнойкрасоты лежит залог всякого прогресса?”

 

Являясь(через Колмогорова) научным внукомЛузина, автор настоящего очерка ссочувствием относится к формуле“математика для математики”, образованнойпо аналогии с известным слоганом“искусство для искусства”. Однако всёне так просто. Следует огорчить любителейчистого разума и утешить сторонниковпрактической пользы. Опыт развитияматематики убеждает, что самые, казалосьбы, оторванные от практики её разделырано или поздно находят важные применения.Всю первую половину XX века математическаялогика рассматривалась как наука,занятая исключительно проблемамилогического обоснования математики,как своего рода философский анклав вматематике; в СССР она находилась подподозрением со стороны борцов совсевозможными “измами”, и перваякафедра математической логики былаоткрыта лишь в 1959 году. Сегодняматематическая логика переплетена стеоретической информатикой (TheoreticalComputer Science) и служит для последнейфундаментом. Теория чисел, одна издревнейших математических теорий,долгое время считалась чем-то вродеигры в бисер. Оказалось, что без этойтеории немыслима современная криптография,как и другие важные направления,объединённые названием “защитаинформации”. Специалисты по теоретическойфизике интересуются новейшими разработкамиалгебраической геометрии и даже такойабстрактной области, как теория категорий.

 

Применениематематики в физике не ограничиваетсячисловыми формулами и уравнениями. Её,математики, абстрактные конструкциипозволяют лучше понять природу техфизических явлений, изучение которыхнаходится на передовом крае науки.Поясним сказанное с помощью историческойаналогии. Когда-то считали, что Земляплоская. Ничего другого в то время простоне могло прийти в голову. Затем пришлик мысли о её шарообразности. Вряд лисама эта мысль была бы возможна, необладай человеческое сознание ужеготовым представлением о шаре. Точнотак же долгое время считалось очевидным,что окружающее нас физическое пространствоесть самое обычное трёхмерное евклидовопространство из школьного курсагеометрии. В этом были уверены все,включая тех, кто не знал учёной терминологиии потому не пользовался термином“евклидово пространство” (вспомниммольеровского Журдена, не знавшего, чтоговорит прозой). И действительно, а какже может быть иначе? Первые сомнениявозникли в XIX веке независимо в Германииу Гаусса и в России у Лобачевского. Онипервыми осознали не только существованиенеевклидовой геометрии как математическогообъекта, но и возможность неевклидовогостроения нашего мира (мы коснёмся этойтемы в главе 8). Лобачевского тогда никтоне понял, кроме Гаусса, сам же Гаусс,предчувствуя непонимание, ни с кем неделился своим прозрением. Теорияотносительности подтвердила указаннуюнеевклидовость, предсказав прогибаниепространства под воздействием массивныхтел, что, в свою очередь, было подтвержденонаблюдаемым искривлением луча светавблизи таких тел. Некоторые свойствапространства и времени оказалисьпарадоксальными, другие остаютсянеизвестными. Вместе с тем познаниеэтих свойств может оказаться жизненноважным для человечества. Математикапредлагает уже готовые модели, позволяющиелучше понять эти свойства, в особенностиже свойства парадоксальные, противоречащиеповседневному опыту. Более точно, вматематике построены такие структуры,которые обладают требуемыми свойствами.

 

Здесьмы прикоснулись к важной философской,а именно гносеологической, теме. Толькочто упомянутое представление о шаре,столь необходимое для осознания фигурыЗемли, находило поддержку в повседневномопыте - а именно в наблюдении шарообразныхпредметов, как природных (яблок, тыкв,ягод, катимых скарабеями навозныхшариков и т. п.), так и искусственных(например, пушечных ядер). И когдапотребовалось узнать фигуру Земли,оставалось лишь воспользоватьсяназванным представлением. Иначе обстоитдело с попытками познания строенияВселенной. Повседневный опыт не даёттребуемых геометрических форм. Оказалось,однако, что хотя такими формами и необладают предметы, доступныенепосредственному созерцанию, эти формыпредставлены в уже обнаруженныхструктурах математики. Поскольку этиматематические структуры точно описаны,нетрудно, при желании, понять, как в нихреализуются свойства мироздания - дажете, которые кажутся парадоксальными. Атогда остаётся допустить, что геометрияреального мира хотя бы отчасти выглядиттак, как геометрия этих структур. Такимобразом, математика, не давая ответ навопрос, как оно есть в реальном мире,помогает понять, как оно может быть -что не менее важно: ведь как оно есть мывряд ли когда-нибудь узнаем до конца.(В главе 9 мы вернёмся к этой теме.) И этупомощь, которую оказывает математикав познании мира, также следует вписатьв перечень её приложений.

 

Какговорил один из самых крупных математиковXX века Джон фон Нёйман (1903 - 1957): “Вконечном счёте, современная математиканаходит применение. А ведь заранее неясно, что так должно быть”.

 

Нередкоутверждают, что математику следуетрассматривать как часть физики, посколькуона описывает внешний физический мир.Но с тем же успехом её можно считатьчастью психологии, поскольку изучаемыев ней абстракции суть явления нашегомышления и тем самым должны проходитьпо ведомству психологии. Взять, например,такое основное (и, может быть, самоеглавное) понятие математики, как понятие натурального числа, то есть числа,являющегося одновременно и целым, иположительным (иногда к натуральнымчислам причисляют ещё и число ноль, кчему есть серьёзные основания!). Ведьпоказать, скажем, число пять невозможно,можно только предъявить пять пальцевили пять иных предметов. Уже здесь нетакая уж малая степень абстракции. Ещёболее высокая степень абстракции вчисле пять септиллионов: ясно, чтопредъявить столько предметов невозможно.И уж совсем высокая (и одновременноглубокая) абстракция заключена в понятиинатурального числа вообще и натуральногоряда   как совокупности всех натуральныхчисел. Здесь поле, только начатоераспахиваться психологией. Упоминавшийсяуже Лузин, который был не толькоматематиком, но и философом (и даже егоизбрание в 1929 году в Академию наук СССРпроизошло “по кафедре философии”), таквысказывался на эту тему: “По-видимому,натуральный ряд чисел не представляетиз себя абсолютно объективногообразования. По-видимому, он представляетсобой функцию головы того математика,который в данном случае говорит онатуральном ряде”.

 

Тем неменее два математика на разных континентахприходят к одним и тем же выводам освойствах натурального ряда чисел, хотяникто из них не может наблюдать числавнешним зрением, а лишь зрением внутренним- внутри собственной мысли. В этомтруднообъяснимом единстве взглядов наидеальные сущности некоторые усматриваютдоказательство существования Бога.

 

Итак,мы отстаиваем два тезиса. Первый, чтоматематика - вне зависимости от еёпрактического использования - принадлежитдуховной культуре. Второй, что отдельныефрагменты математики входят вобщеобязательную часть этой культуры.

 

Что жекасается вопроса, чтбо именно изматематики, причем из математикинеприкладной, должно входить вобщеобязательный культурный минимум,то однозначный ответ на этот вопросвряд ли уместен. Каждый должен определятьэтот минимум для себя. Задача общества- предоставить своему члену ту информациюо математических понятиях, идеях иметодах, откуда этот субъективныйминимум можно было бы выбирать. Вообще,знание есть дело добровольное, и насилиетут неуместно. На ум приходит замечательноевысказывание, принадлежащее Сухарто(второму президенту Индонезии - не путатьс первым её президентом, Сукарно): “Внаше время чрезвычайно трудно заставитького-либо сделать что-либо добровольно”.Иногда, тем не менее, в дальнейшемизложении будут встречаться рекомендациио включении в математический минимумтех или иных знаний; эти рекомендациине предлагаются как нечто категорическоеи даются лишь в качестве возможныхпримеров и материала для дальнейшегообсуждения. Школьная программа поматематике - слишком болезненная тема,чтобы её здесь затрагивать (хотя этатема не может не волновать, посколькукасается миллионов наших детей).Ограничусь мнением, что хорошо бы в этойпрограмме устранить перекос ввычислительную сторону математики иуделить больше внимания сторонекачественной, не связанной непосредственнос вычислениями.

 

Замечув заключение, что математика входит вмировую культуру и своим этическимаспектом. Наличие такового у математикиможет показаться странным. Он, однако,есть. Математика не допускает лжи. Онатребует, чтобы утверждения не простопровозглашались, но и доказывались. Онаучит задавать вопросы и не боятьсянепонимания ответов. Она по природедемократична: её демократизм обусловленхарактером математических истин. Ихнепреложность не зависит от того, ктоих провозглашает, академик или школьник.Приведу такой пример. Некий третьекурсникмеханико-математического факультетаМГУ осмелился опровергнуть одно изутверждений лектора, лектором же былне кто иной, как сам Колмогоров. Послечего третьекурсник был немедленноприглашён Колмогоровым посетить егодачу, где и был произведён в ученики.

 

Данныйтекст писался не для математиков, аскорее для гуманитариев. Поэтому приего составлении в ряде случаев приходилосьвыбирать между понятностью и точностью.Предпочтение отдавалось понятности.(Достигнуть абсолютной точности всёравно невозможно. Невозможно, впрочем,достигнуть и абсолютной понятности -как и вообще чего-либо абсолютного.) Занеточность прошу прощения у математиков,а всякому, любезно указавшему нанепонятное место, приношу искреннююблагодарность.

 

 

Глава2. Теорема Пифагора и теорема Ферма

 

 

 

Вкажущемся противоречии с настойчивымподчёркиванием, что в данном очерке насинтересует именно непрактический,неприкладной аспект математики, мыпредполагаем весьма и весьма поучительнымвключение в «джентльменский набор»математических представлений знаниетого, почему треугольник со сторонами3, 4, 5 назывется египетским. А всёдело в том, что древнеегипетские строителипирамид нуждались в способе построенияпрямого угла. Вот требуемый способ.Верёвка разбивается на 12 равных частей,границы между соседними частямипомечаются, а концы веревки соединяются.Затем верёвка натягивается тремя людьмитак, чтобы она образовала треугольник,а расстояния между соседними натягивателямисоставляли бы, соответственно, 3 части,4 части и 5 частей. В таком случаетреугольник окажется прямоугольным, вкоем стороны 3 и 4 будут катетами, асторона 5 - гипотенузой, так что уголмежду сторонами 3 и 4 будет прямым. Боюсь,что большинство читателей в ответ навопрос «Почему треугольник окажетсяпрямоугольным?» сошлётся на теоремуПифагора: ведь три в квадрате плюс четырев квадрате равно пяти в квадрате. Однакотеорема Пифагора утверждает, что еслитреугольник прямоугольный, то в этомслучае сумма квадратов двух его сторонравна квадрату третьей. Здесь жеиспользуется теорема, обратная ктеореме Пифагора: если сумма квадратовдвух сторон треугольника равна квадратутретьей, то в этом случае треугольникпрямоугольный. (Не уверен, что этаобратная теорема занимает должное местов школьной программе.)

 

Кажущеесяпротиворечие, упомянутое в началеабзаца, заключается в том, что, обещавговорить о неутилитарном аспектематематики, мы сразу же перешли к еёпрактическому применению. Оно потомуназвано кажущимся, что описанноеприменение обратной теоремы Пифагорапринадлежит далёкому прошлому. Сейчаседва ли кто-либо строит прямой уголуказанным способом: этот способпереместился из мира практики в миридей - как и вообще многие воспоминанияо материальной культуре прошлого вошлив духовную культуру настоящего.

 

Изложеннаятолько что тема содержит в себе триподтемы: прямой угол, треугольник иравенство 32 + 42 = 52. В каждой из этих подтемможно усмотреть некие элементы,относящиеся к тому, чтбо автор этихстрок понимает под общечеловеческойкультурой. Приведём примеры такихэлементов.

 

Спервао понятии прямого угла. Это понятиеможет быть использовано для интеллектуальногообогащения. Поставим такую задачу:объяснить, какой угол называется прямым,но объяснить не на визуальных примерах,а вербально - например, по телефону. Вотрешение. Надо попросить собеседникамысленно взять две жерди, соединить ихкрест-накрест и заметить, что в точкесоединения сходятся четыре угла; есливсе эти углы окажутся равными другдругу, то каждый из них и называют прямым.Какая же тут духовная культура, еслиречь идёт о жердях! - возмутится критическинастроенный читатель. Но суть здесь,конечно же, не в жердях, а в опытевербального определения одних понятийчерез другие. Такой опыт поучителен иполезен, а возможно, что и необходим.Математика вообще представляет собоюудобный полигон для оттачивания искусстваобъяснения. Адресата объяснений следуетпри этом представлять себе тем внимающимафинскому софисту любопытным скифом,о котором писал Пушкин в послании «Квельможе». Объяснение признаётсяуспешным, если есть ощущение, чтолюбопытный скиф его поймёт.

 

Теперь- пример из жизни треугольников. Речьпойдёт о триангуляции. Триангуляция -это сеть примыкающих друг к другу,наподобие паркетин, треугольниковразличной формы; при этом существенно,что примыкание происходит целымисторонами, так что вершина одноготреугольника не может лежать внутристороны другого. Триангуляции сыграливажнейшую роль в определении расстоянийна земной поверхности, а тем самым и вопределении фигуры Земли.

 

Потребностьв измерении больших, в сотни километров,расстояний - как по суше, так и по морю- появилась ещё в древние времена.Капитаны судов, как известно из детскихкниг, меряют расстояния числом выкуренныхтрубок. Близок к этому метод, применявшийсяво II веке до н. э. знаменитым древнегреческимфилософом, математиком и астрономомПосидонием, учителем Цицерона: морскиерасстояния Посидоний измерял длительностьюплавания (с учётом, разумеется, скоростисудна). Но ещё раньше, в III веке до н. э.,другой знаменитый древний грек, заведующийАлександрийской библиотекой математики астроном Эратосфен, измерял сухопутныерасстояния по скорости и времени движенияторговых караванов. Можно предполагать,что именно так Эратосфен измерилрасстояние между Александрией и Сиеной,которая сейчас называется Асуаном (еслисмотреть по современной карте, получаетсяпримерно 850 км). Это расстояние было длянего чрезвычайно важным. Дело в том, чтоЭратосфен считал эти два египетскихгорода лежащими на одном и том жемеридиане; хотя это в действительностине совсем так, но близко к истине.Найденное расстояние он принял за длинудуги меридиана. Соединив эту длину снаблюдением полуденных высот Солнцанад горизонтом в Александрии и Сиене,он, далее, путём изящных геометрическихрассуждений, вычислил длину всегомеридиана, а тем самым и величину радиусаземного шара.

 

Ещё вXVI веке расстояние (примерно стокилометровое)между Парижем и Амьеном определялосьпри помощи счёта оборотов колеса экипажа.Очевидна приблизительность результатовподобных измерений. Но уже в следующемстолетии голландский математик, оптики астроном Снеллиус изобрёл излагаемыйниже метод триангуляции и с его помощьюв течение 1615 - 1617 годов измерил дугумеридиана, имеющую угловой размер водин градус и одиннадцать с половинойминут.

 

Посмотрим,как триангуляция позволяет определятьрасстояния. Сперва триангулируетсяполоса земной поверхности, включающаяв себя оба пункта, расстояние междукоторыми хотят найти. Затем выбираетсяодин из треугольников триангуляции;будем называть его начальным. Далеевыбирается одна из сторон начальноготреугольника. Она объявляется базой, и ее длина тщательно измеряется. Ввершинах начального треугольникастроятся вышки - с таким расчётом, чтобыкаждая была видна из других вышек.Поднявшись на вышку, расположенную водной из вершин базы, измеряют угол, подкоторым видны две другие вышки. Послеэтого поднимаются на вышку, расположеннуюв другой вершине базы, и делают то жесамое. Так, в результате непосредственногоизмерения, возникают сведения о длинеодной из сторон начального треугольника(а именно о длине базы) и о величинеприлегающих к ней углов. По формуламтригонометрии вычисляются длины двухдругих сторон этого треугольника. Каждуюиз них можно принять за новую базу,причём измерять её длину уже не требуется.Применяя ту же процедуру, можно теперьузнать величины сторон и углов любогоиз треугольников, примыкающих кначальному. И так далее. Важно осознать,что непосредственное измерениекакого-либо расстояния проводитсятолько один раз, а дальше уже измеряютсятолько углы между направлениями навышки, что несравненно легче и можетбыть сделано с высокой точностью. Позавершении процесса оказываютсяустановленными величины всех участвующихв триангуляции отрезков и углов. А это,в свою очередь, позволяет находить любыерасстояния в пределах участка поверхности,покрытого триангуляцией. Именно так вXIX веке была найдена длина дуги меридианаот Северного Ледовитого океана до Дуная.Триангуляция содержала 258 треугольников,длина дуги оказалась равной 2800 км. Чтобыподавить неточности, при измеренияхнеизбежные, а при вычислениях возможные,десять баз были подвергнуты непосредственномуизмерению на местности.

 

Формулытригонометрии, упомянутые выше, входятв школьную программу. Подавляющемубольшинству после школы они никогда непонадобятся, разве что на вступительныхэкзаменах, и их можно спокойно забыть.Знать - и не только знать, но и осознавать,понимать надо следующее (и именно этовходит в обязательный, на наш взгляд,интеллектуальный багаж): треугольникоднозначно определяется заданием любойего стороны и прилегающими к ней углами,и этот очевидный факт может бытьиспользован и реально используется дляизмерения расстояний методом триангуляции.Если всё же кому-нибудь когда-нибудь ипонадобятся формулы тригонометрии, ихлегко можно будет найти в справочниках.Учат ли в наших школах пользоватьсясправочниками? А ведь это умениенесравненно полезнее, чем помнитьформулы наизусть.

 

Наконец,о равенстве 32 + 42 = 52. Если положительныечисла a, b, c обладают тем свойством,что a 2+ b 2= c 2, то, пообратной теореме Пифагора, они представляютсобою длины сторон некоторогопрямоугольного треугольника; если оник тому же суть числа целые, их называют пифагоровыми. Вот ещё примерпифагоровой тройки: 5, 12, 13. Возникаетестественный вопрос, а что будет, еслив соотношении, определяющем пифагоровычисла, заменить возведение в квадратна возведение в куб, в четвёртую, пятуюи так далее степень? Можно ли привестипример таких целых положительных чисел a, b, c, чтобы выполнялось равенство a 3+ b 3= c 3, или равенство a 4+ b 4= c 4, или a 5+ b 5= c 5 и т. п.? Любую тройку целыхположительных чисел, для которыхвыполняется одно из указанных равенств,условимся называть тройкой Ферма.

 

Толькочто сформулированным вопросомзаинтересовался великий французскийматематик середины XVII века Пьер Ферма(вообще-то он занимался математикой, азаодно и оптикой, как хобби: служебныеего обязанности состояли в заведованииотделом петиций тулузского парламента).Поиски требуемых примеров ни к чему непривели, и Ферма пришёл к убеждению, чтоих не существует. Утверждение онесуществовании троек Ферма принятоназывать Великой теоремой Ферма. Строго говоря, его следовало бы называть Великой гипотезой Ферма, посколькуавтор утверждения не оставил нам егодоказательства. Всё, что Ферма оставилпотомкам на эту тему, - это две латинскиефразы, написанные им около 1637 года наполях изданной в 1621 году в Париже надвух языках, греческом и латинском,«Арифметики» древнегреческого математикаДиофанта. Указанное издание обладалоширокими полями, и когда у Ферма появлялисьте или иные мысли по ходу чтения, онзаписывал их на этих полях. И вот какиедве фразы он, в частности, написал -приводим эти фразы в переводе: «Невозможнодля куба быть записанным в виде суммыдвух кубов, или для четвёртой степенибыть записанной в виде суммы двухчетвёртых степеней, или вообще длялюбого числа, которое есть степеньбольше двух, быть записанным в видесуммы двух таких же степеней. Я нашёлпоистине удивительное доказательствоэтого предложения, но оно не уместитсяна полях [hanc marginis exiguitas non caperet; буквально: скудость поля его не вмещает]».

 

Своихматематических открытий Ферма никогдане публиковал, часть их (да и то бездоказательств) сообщалась им в частнойпереписке, а часть стала известнойтолько после его смерти в 1665 году. Кчислу последних принадлежит и Великаятеорема: в 1670 году старший сын Пьерапереиздал в Тулузе Диофантову «Арифметику»,включив в издание и 48 примечаний,сделанных его отцом на полях. Лишь в1994 г. Эндрю Уайлз при участии своегоученика Ричарда Тэйлора доказал наконецВеликую теорему - и притом доказал сиспользованием всей мощи современнойматематики, так что если сам Ферма ивладел доказательством (что более чемсомнительно), то заведомо не таким. А дотого Великая теорема оставалась Великойгипотезой.

 

Задачадоказать гипотезу Ферма составиласодержание Проблемы Ферма. Простотаформулировки проблемы, доступнойшкольнику младших классов, делала еёпривлекательной для широких круговлюбителей. Привлекательность усиливаласьдавностью постановки и ореолом некоейтаинственности, сопутствующей постановке.А тут ещё в 1908 году была объявлена премияв сто тысяч германских марок за решениеПроблемы Ферма. Вскоре мировая войнаобесценила премию, но было уже поздно:слух о премии привлёк к Проблеме Фермаещё больше «старателей». Возникла особаяразновидность людей, называемых ферматистами. Ферматисты - это люди,не имеющие специального математическогообразования, фанатично убеждённые втом, что они решили Проблему Ферма, инастойчиво ищущие признания. Признанияони, естественно, не получили, но, заваливсвоими рукописями математическиекафедры ряда крупных западныхуниверситетов, заставили эти кафедрызанять оборонительную позицию:университеты стали возвращать авторамлюбые доказательства Великой теоремыФерма, прилагая при этом стандартноеписьмо с указанием, что доказательствобудет рассмотрено только после полученияденежного залога. А известный гётттингенскийпрофессор Эдмунд Ландау (избранный в1932 году иностранным почётным членомАкадемии наук СССР) даже изобрёлспециальный бланк, который он поручалзаполнять своим аспирантам: «Дорогойсэр (мадам)! Мы получили Ваше доказательствоВеликой теоремы Ферма. Первая ошибканаходится на странице…, строка…»

 

Одногоиз ферматистов мне довелось увидеть вмои студенческие годы. Сейчас я об этомрасскажу. (Недоброжелательно настроенныйчитатель возразит, что рассказ оферматисте не имеет отношения к заявленнойтеме - о месте математики в общечеловеческойдуховной культуре; на наш взгляд - имеет.)Дело происходит в 1950 году или около тогов Москве. Я нахожусь в одной из редакций,расположенных на Большой Калужскойулице (сейчас это начало Ленинскогопроспекта). В редакцию входит другойпосетитель и просит разрешения позвонитьпо телефону; в те годы вход в офисы ещёне охранялся ни охранниками, ни кодовымизамками. Посетитель живописен: худ,длинноволос и держит в руках сетчатуюавоську, в которой лежит скрипка. Какмне потом расскажут знающие люди, онзарабатывал на жизнь, играя на этойскрипке на палубе речных теплоходов.На моих глазах, а также ушах, он делаетдва звонка. Первый звонок: «Это Московскийуниверситет? Попросите, пожалуйста, ктелефону ректора. Ах, ректор занят и неможет подойти? Дело в том, что я посылална его имя ценное письмо с решениемпроблемы Ферма и хотел бы узнатьрезультат. Ну хорошо, я позвоню позже».Второй звонок: «Это Академия наук?Попросите, пожалуйста, к телефонупрезидента. Ах, президент занят и неможет подойти? Дело в том, что я посылална его имя ценное письмо с решениемпроблемы Ферма и хотел бы узнатьрезультат. Ну хорошо, я позвоню позже».Позвонив, он вежливо благодарит иудаляется.

 

Ноотнюдь не все советские ферматисты былистоль травоядны. Часто, не найдя поддержки,они писали жалобу в так называемый«директивный орган», то есть в ЦК КПСС.В жалобе указывалось, что имеетсявозможность показать Западу кузькинумать и в очередной раз продемонстрироватьвсему миру приоритет советской науки,предъявив решение знаменитой проблемы,а нехорошие люди чинят этому препятствия.К жалобе прилагалась рукопись. А инойраз рукопись и не сопровождалась жалобой,а сразу посылалась в ЦК. В обоих вариантахЦК переправлял рукопись тому же ректоруМосковского университета или тому жепрезиденту Академии наук. А далее она,украшенная грозными резолюциями,спускалась вниз, на кафедру или в отдел.Теперь уже отмахнуться было невозможнои приходилось разбираться в заведомоложном доказательстве, отыскивая в нёмошибку. Когда-то я прикинул, скольковремени профессиональные математикивынуждены тратить на переписку сферматистами (переписку бесплодную,поскольку истинного ферматистапереубедить невозможно), - прикинул иужаснулся.

 

Всравнительно редких случаях ферматистуудавалось опубликовать свой труд. (Этосейчас за счёт автора можно опубликоватьчто угодно, а в советское время дажексероксы находились под строжайшимконтролем, что уж говорить об издательствахи типографиях.) В частности, это удалосьВиктолию Будкину. В 1975 году расположенноев Ярославле Верхне-Волжское книжноеиздательство выпустило пятитысячнымтиражом его брошюру «Методика познания„истины”. Доказательство великойтеоремы Ферма». То, что написано на еёстранице 45, весьма типично для самоосознанияферматиста: «Итак, сменилось 13 поколенийлюдей, а Великая теорема Ферма осталасьещё не доказанной. Только в настоящейработе впервые приводится полноедоказательство теоремы в общем виде».

 

Казалосьбы, после того как доказательство теоремыФерма было не только найдено (в сентябре1994 г.), но и опубликовано (в 1995 г.) и признаномировой математической общественностью,с ферматизмом как с явлением будетпокончено. Не тут-то было - ряды ферматистовхотя и поредели, но не иссякли. Сведенияо том, что Великая теорема доказана,дошли не до всех: ведь, повторяю, ферматистыне являются математиками (хотя имеющиетехническое образование часто считаютсебя таковыми). А многие из тех, до когои дошло, продолжали искать какое-нибудьпростое доказательство. В Россииферматизм дал неожиданную вспышку вавгусте 2005 года. К «Новой газете» я питалуважение и - до того августа - доверие ине думал, что когда-либо выступлю еёоппонентом; но приходится. Номер 61 газетыот 22 августа 2005 года открывался крупными чуть ли не цветным заголовком«ЧЕЛОВЕЧЕСТВО МОЖЕТ РАССЛАБИТЬСЯ?»;сообщалось, что «омский академикАлександр Ильин предложил простоедоказательство знаменитой теоремыФерма». Заместителю главного редакторагазеты О. Н. Хлебникову я пытался объяснитьнакануне, то есть 21 августа, что еслидоктор технических наук АлександрИванович Ильин и является академиком,то академиком одной из десятков техакадемий, кои, как грибы, возникли у насв постсоветское время (одних толькоакадемий энергоинформационных наукдве: Международная и Сибирская) - ноникак не членом Российской академиинаук (РАН); попытки мои успеха не имели;Олег Никитович отвечал, что он знаетточно: А. И. Ильин - член РАН. Более того,через неделю, в № 63 от 29 августа 2005 года,та же газета сообщала, что «академикиНовиков и Никитин решение теоремы Фермауже видели и ошибок в нем не нашли». Надоли объяснять читателю, что г-да Новикови Никитин (как, впрочем, и А. И. Ильин) неявлялись не только членами РАН, но иматематиками? Некоторое время сенсациясверкала на экранах телевизоров и вразличных газетах, не говоря уже обИнтернете. Потом как-то тихо всё сошлона нет. Ферматизм тоже часть человеческойкультуры - но ведь не материальной же,а значит, духовной.

 

Вкачестве завершения темы снова вернусьв 1950-е годы. Посетителя офиса на БольшойКалужской мне довелось увидеть ещё одинраз. Это произошло на третьем этаже дома9 по Моховой улице, в канцеляриимеханико-математического факультетаМосковского университета, где я тогдаучился. Всё с той же скрипкой в авоськеон вошёл в канцелярию, попросил листбумаги и, примостившись у стола, сталписать. Не в силах сдержать любопытства,я заглянул ему через плечо. Каллиграфическимпочерком выводились буквы: «…бывшегостудента ‹…› Императорского университетапрошение…» (какого именно университета- не помню). Затем он попросил указатьему специалиста по теории чисел. Вкачестве такового ему был названзаведующий кафедрой теории чиселчлен-корреспондент Гельфонд. В это времяпо коридору шёл член-корреспондентГельфанд, к теории чисел отношения неимеющий. Услышав его фамилию, бывшийстудент Императорского университетабросился к нему навстречу. Всем былоизвестно, что Гельфанд - математиквеликий, но непредсказуемый и легкоможет нахамить. Я не стал дожидатьсястолкновения двух тел и в страхе убежал.

 

 

Глава3. Проблемы нерешённые и проблемынерешимые

 

 

 

Проблема- это всегда требование что-то найти,указать. Это «что-то» может иметь самуюразличную природу: это может быть ответна заданный вопрос, законопроект,доказательство теоремы, число (прирешении уравнений), последовательностьгеометрических построений (при решениигеометрических задач на построение).Опыт математики позволяет провеститочную грань между проблемами нерешёнными и проблемами нерешимыми. Первыеждут своего решения, вторые же решенияне имеют и иметь не могут, у них решенияпросто-напросто не существует.

 

К числупервых долгое время относилась проблемаФерма. В математике таких проблем много,но абсолютное большинство из них требуетдля понимания их формулировок специальногообразования. Нерешённых проблем спростыми формулировками гораздо меньше.Из них наиболее известны, пожалуй,следующие четыре проблемы теории чисел.Теория чисел (в ортодоксальном пониманииэтого термина) занимается толькоположительными целыми числами. Поэтомутолько такие числа разумеются здесьпод словом «число».

 

Двепроблемы о совершенных числах. Число6 делится на 1, на 2, на 3 и на 6 - эти числа1, 2, 3, 6 суть делители числа 6. Еслииз списка делителей числа 6 мы удалимсамо это число, а остальные сложим,получим 6. Действительно, 1 + 2 + 3 = 6. Темже свойством обладает число 28. Eгоделителями служат числа 1, 2, 4, 7, 14, 28. Еслиих все, кроме 28, сложить, получим как раз28: действительно, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. В VI векедо н. э. это редкое свойство чисел вызываломистический восторг у Пифагора и егоучеников: по их мнению, оно свидетельствовалооб особом совершенстве числа, обладающеготаким свойством. А потому каждое число,совпадающее с суммой своих делителей,отличных от самого этого числа, получилотитул совершенного. Первые четыресовершенных числа (6, 28, 496 и 8128) былиизвестны уже во II веке н. э. А в сентябре2006 года было обнаружено сорок четвёртоесовершенное число; оно колоссально, вего десятичной записи около двадцатимиллионов знаков. Все найденныесовершенные числа оказались чётными.И вот две простые по формулировке, ноне решённые до сих пор проблемы. Существуютли нечётные совершенные числа? Конечнаили бесконечна совокупность всехсовершенных чисел? Эквивалентнаяформулировка второй проблемы: существуетли наибольшее совершенное число?

 

Двепроблемы о простых числах. Напомним(мы говорим «напомним», потому чтотеоретически это должно быть известноиз средней школы), что простым  называется такое число, которое,во-первых, больше единицы, а во-вторых,не имеет других делителей, кроме единицыи самого себя. Ещё в III веке до н. э. в«Началах» Евклида было установлено,что среди простых чисел нет наибольшего,их ряд 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т. д. никогда некончается; иными словами, совокупностьпростых чисел бесконечна. Предложение20 девятой книги «Начал» гласит, чтопростых чисел больше, чем в любомпредъявленном списке таковых;доказательство же этого предложениясостоит в описании способа, позволяющегодля любого списка простых чисел указатьпростое число, в этом списке несодержащееся. Отметим, что Евклид нигдене говорит о совокупности простых чиселв целом - само представление о бесконечныхсовокупностях как об особых сущностяхпоявилось значительно позже. Когда-тоизучение простых чисел рассматривалоськак чистая игра ума; оказалось, что онииграют решающую роль во многих практическихзадачах криптографии.

 

Срединерешённых проблем, связанных с простымичислами, приведём две: проблемуГольдбаха - Эйлера и проблемублизнецов.

 

Перваябыла поставлена в 1742 году великимЛеонардом Эйлером в его переписке сХристианом Гольдбахом. Основнаядеятельность обоих протекала в России;в 1764 году Гольдбах был похоронен вМоскве, а Эйлер в 1783 году - в Петербурге.

 

Ктоесть Эйлер, один из самых великихматематиков за всю историю человечества,и в чём заключается его величие - всёэто легко узнать, если заглянуть, каквстарь, в энциклопедический словарь.Сведения же о том, что собой представляетГольдбах, словари дают скупо; такиесведения следует искать в специальнойлитературе или же в Интернете; некоторыеиз фактов заслуживают того, чтобы здесьих изложить. Хотя математические статьи,опубликованные Гольдбахом в научныхжурналах, и не оставили сколько-нибудьзаметного следа в математике, он былпризнанным членом математическогосообщества своего времени. Он был личнознаком или состоял в переписке с рядомвыдающихся умов, в том числе с Лейбницеми с Эйлером; переписка с Эйлеромпродолжалась 35 лет и прекратилась лишьсо смертью Гольдбаха. Один из историковнауки (кстати, правнук Эйлера и непременныйсекретарь Петербургской академии наук)писал: «Его [Гольдбаха] перепискапоказывает, что если он не прославилсяни в одной специальности, то это следуетприписать большой универсальности егопознаний. То мы видим его обсуждающим‹…› кропотливые вопросы классическойи восточной филологии; то он пускаетсяв нескончаемые археологические споры‹…›». В своих письмах Гольдбах предстаёткак человек, наделённый и интуицией, испособностью чувствовать новое. ПроблемаГольдбаха - Эйлера, например, возниклакак реакция Эйлера на некое предположение,сообщённое ему Гольдбахом (предположениесостояло в том, что всякое целое число,большее, чем 2, разлагается в сумму трёхслагаемых, каждое из коих есть либопростое число, либо единица). В России,куда он приехал в 1725 году в тридцатипятилетнемвозрасте, Гольдбах сделал головокружительнуюкарьеру. Он сразу получил место секретаря,а также историографа организуемой воисполнение замысла Петра I Императорскойакадемии наук; именно он вёл (на латинскомязыке) первые протоколы Академии. С 1737по 1740 год он был одним из двух лиц,осуществлявших административноеуправление Академией (другим был Шумахер;обоим по этому случаю был присвоен рангколлежского советника). В конце 1727 годаон был назначен наставником двенадцатилетнегоимператора Петра II. Рассказывают, чторуководство по обучению царских детей,составленное Гольдбахом в 1760 году,применялось на практике в течение стапоследующих лет. В 1742 году Гольдбахсделался ответственным работникомминистерства иностранных дел (каксказали бы теперь), стал получать награды,земли и чины и к 1760 году дослужился дочина тайного советника. Чин этот довольноточно отражал его обязанности, посколькуГольдбах состоял в должности криптографа.Эйлеру тоже захотелось чина. ОднакоЕкатерина II, благосклонно встретившаяпожелания Эйлера относительно жалованья,казённой квартиры и обеспечения еготрёх сыновей позициями и доходами,весьма дипломатично отказала: «Я далабы, когда он хочет, чин, если бы неопасалась, что этот чин сравняет его смножеством людей, которые не стоят г.Эйлера. Поистине его известность лучшечина для оказания ему должного уважения».

 

Перейдем,однако, к сути названных проблем.

 

Непосредственноенаблюдение подсказывает, что всякоечётное число, большее двух, удаётсяпредставить в виде суммы двух слагаемых,каждое из которых является простымчислом: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 +7,…, 24 = 5 + 19,…, 38 = 7 + 31 и т. д. Однако проверкеможет быть подвергнуто лишь ограниченноеколичество чётных чисел, а всего ихбесконечно много. Имеющиеся свидетельства,полученные от просмотра конечного(пусть гигантского) количества примеров,не могут гарантировать, что когда-нибудьв будущем не появится астрономическибольшого чётного числа, для которогоразложение на два простых слагаемыхневозможно. А ведь современные компьютерыпозволяют строить и использовать дляважных практических целей числа ссотнями десятичных знаков. Вот и встаётвопрос: всякое ли чётное число,большее двух, можно представить каксумму двух простых слагаемых? Проблемаотыскания ответа на это вопрос и естьпроблема Гольдбаха - Эйлера.

 

Теперьо проблеме близнецов. Заметим, чтовстречаются очень близко расположенныедруг к другу простые числа, а именнотакие, расстояние между которыми равно2. Пример: 41 и 43. Такие числа называются близнецами. Начнём последовательновыписывать пары близнецов: (3, 5); (5, 7);(11, 13); (17, 19); и. т. д. Спрашивается, закончитсяли когда-нибудь этот ряд пар? Наступитли момент, когда будет выписана последняяпара и список близнецов окажетсяисчерпанным, или же ряд близнецовых парпродолжается неограниченно и ихсовокупность бесконечна (как бесконечнасовокупность простых чисел)? Проблемаотыскания ответа на этот вопрос и естьпроблема близнецов.

 

Осознаниетого, что есть простые по формулировкевопросы, столетиями ждущие ответа,представляется поучительным. Не менеепоучительно осознание того, что есть ипроблемы другого типа, не ждущие решенияпо причине того, что решения не существуетв принципе.

 

Принятосчитать, что первой по времени проблемой,относительно которой доказанопринципиальное отсутствие решения,была приписываемая школе Пифагорапроблема нахождения общей меры двухотрезков. Осторожные выражения «принятосчитать» и «приписываемая» означают,что как о бесспорных датировках, так ио бесспорном авторстве идей, относящихсяк столь глубокой древности, говоритьзатруднительно. Мы всё же будемпридерживаться традиционной версии, ктому же она достаточно правдоподобна.

 

Пифагори пифагорейцы, с их мистическим отношениемк числам, считали натуральные числамерилом всех вещей, выразителями мировогопорядка и основой материального бытия.Их занимала мысль об универсальнойединице измерения длин. То есть о такомедином отрезке, который в каждом другомотрезке укладывался бы целое число раз.Прежде всего они пришли к пониманию,что такого единого отрезка не существует.Это сейчас его отсутствие кажетсяочевидным, тогда же осознание этогофакта было подлинным открытием. Нооставался вопрос, существует ли подобныйизмеряющий отрезок не для всех отрезковсразу, а свой для каждых двух отрезков.Для ясности сформулируем проблему болееразвёрнуто. Представим себе два каких-тоотрезка. Их общей мерой   называетсятакой отрезок, который в каждом из нихукладывается целое число раз. Скажем,если второй из наших двух отрезковсоставляет треть первого, то этот второйотрезок и будет общей мерой: действительно,в первом отрезке он укладывается трираза, а во втором - один. Отрезок,составляющий одну шестую нашего первогоотрезка, будет укладываться в нём шестьраз, а во втором два раза, так что онтакже будет их общей мерой. Легкопредъявить пару отрезков, для которыхих общая мера будет укладываться впервом отрезке шесть раз, а во втором -пять; другая общая мера тех же отрезковбудет укладываться в первом из нихвосемнадцать, а в другом пятнадцатьраз. Теперь спросим себя, для любых лидвух отрезков существует их общая мера.Ответ неочевиден. В школе Пифагора былполучен следующий поразительныйрезультат: если взять какой-либо квадрат,а в нём его сторону и его диагональ, тоокажется, что эта сторона и эта диагональне имеют общей меры! Говорят, что диагональквадрата и его сторона несоизмеримы. А соизмеримыми   как раз и называютсятакие два отрезка, которые имеют общуюмеру.

 

Сегоднятрудно себе представить силу эмоциональногопотрясения, испытанного, по дошедшимдо нас из глубины веков сведениям,пифагорейцами, когда они обнаружили,что бывают несоизмеримые отрезки.Рассказывают, что они принесли вблагодарственную жертву богам околосотни быков (и с тех пор, как выразилсякто-то, скоты всегда ревут, когдаоткрывается новая истина). Рассказываюттакже, что пифагорейцы поклялись никомуне сообщать о своём открытии. (Современнаяаналогия: по распространённому мнению,в наши дни велено скрывать от публикисвидетельства о летающих тарелках. Яотносил это мнение к числу предрассудков- и был неправ: в марте 2007 года былообъявлено, что Франция рассекречиваетсобиравшиеся десятилетиями данные онеопознанных летающих объектах.) Поодной из легенд - возможно, придуманнойсамими пифагорейцами в острастку другимнарушителям, - нашёлся преступившийклятву, и он был убит.

 

Оцениваяоткрытие несоизмеримых отрезков ссовременных позиций, по прошествии двухс половиной тысяч лет, можно усмотретьдва имеющих общекультурное значениеаспекта этого открытия.

 

Первыйобщекультурный аспект открытиянесоизмеримости заключается в том, чтовпервые было доказательно установленоотсутствие чего-то - в данном конкретномслучае общей меры стороны и диагоналиодного и того же квадрата. Произошёлодин из самых принципиальных поворотовв интеллектуальном развитии человечества.В самом деле, доказать, что что-тосуществует, можно, предъявив это «что-то».Например, если бы гипотеза Ферма оказаласьневерна, то для её опровержения достаточнобыло бы предъявить тройку Ферма. Но какдоказать, что чего-то нет? Если искомое«что-то» заведомо содержится в известнойи ограниченной совокупности, то, вообщеговоря, можно перебрать все элементыэтой совокупности и убедиться, что ниодин из них нам не подходит. Но чтоделать, если искать наше «что-то» надлежитв совокупности необозримой? А именноэта ситуация и имеет место при поискеобщей меры: ведь искать её приходитсяв необозримой совокупности всех мыслимых отрезков. Остаётся единственныйспособ: доказывать отсутствие не путёмнепосредственного наблюдения, а путёмлогического рассуждения. Такой способи был применён пифагорейцами.

 

Сегоднятрудно сказать, как именно рассуждалив школе Пифагора, доказывая несоизмеримостьстороны квадрата и его диагонали. Отстарых времён дошло до нас чистогеометрическое, и притом чрезвычайноизящное, доказательство отсутствияобщей меры, но является ли оно тем самымпервоначальным доказательством - этонеизвестно. Сейчас наиболее популярносведбение вопроса к вопросу из теориичисел. Именно используя прямую и обратнуютеоремы Пифагора, легко обнаружить, чтонесоизмеримость стороны и диагоналиквадрата равносильна невозможностирешить в целых числах уравнение 2 x 2= y 2. (Мы говорим здесь лишь оположительных целых числах; разумеется,нулевые значения икса и игрека даютрешение.) Боюсь, что в нашей среднейшколе эту равносильность не разъясняют,а очень надо бы: на этом примередемонстрируется и соотношение междупрямой и обратной теоремами, и то, какодна невозможность перетекает в другую.Доказательство же указанной равносильностипроисходит очень просто и состоит, каки доказательство любой равносильности,из двух частей. В первой части доказывается,что если бы диагональ и сторона квадратабыли соизмеримы, то существовали бытакие целые числа x и y, что 2 x 2 = y 2. Во второй части доказываетсяобратное утверждение: если бы такиечисла существовали, то и диагональоказалась бы соизмерима со стороной. Впервой части используется прямая теоремаПифагора: если диагональ и сторонасоизмеримы, то их общая мера укладываетсяв стороне какое-то число x раз, а вдиагонали какое-то число y раз; тогдапо теореме Пифагора 2 x 2 = y 2. Вовторой части используется обратнаятеорема Пифагора: если найдутся такиецелые числа x и y, что 2 x 2 = y 2, то по этой обратной теореме треугольникс длинами сторон x, x и y будет прямоугольным и его можно достроитьдо квадрата со стороной длины x идиагональю длины y. Таким образом,великое пифагорейское открытие былоне только замечательным само по себе,но и проложило дорогу к установлениюотсутствия решений у уравнений.Обнаружить, что какое-то уравнение неимеет решения (в целых числах, как внашем примере, или в действительныхчислах, как уравнение x 2 = -1), подчасбывает не менее важно, чем его решить.Заметим ещё, что доказательство отсутствияцелочисленных решений у уравнения 2 x 2 = y 2 настолько просто, что доступношкольнику младших классов; боюсь, чтов школах его не излагают.

 

Разговоро несуществованиях решений мы продолжимв главах 5 и 6, а пока укажем второйобщекультурный аспект открытия явлениянесоизмеримости. Этот второй аспектзаключается в том, что открытиенесоизмеримости привело, хотя и оченьне сразу, к понятию действительногочисла, лежащему в основе не толькоматематики, но и всего современногоестествознания и современной техники.

 

 

Глава4. Длины и числа

 

 

 

Длинаотрезка есть некое соотнесённое сотрезком число. Из теоремы о несоизмеримостинемедленно следует, что длина диагоналиединичного квадрата, то есть квадратасо стороной длины единица, не может бытьвыражена ни целым, ни дробным числом.Таким образом, возникает дилемма: илипризнать, что существуют отрезки, неимеющие длины, или изобрести какие-тоновые числа, помимо целых и дробных.Человечество выбрало второе. Ввидуважности сделанного выбора изъяснимсяболее подробно.

 

Давайтеосознаем, как возникает понятие длины- с логической точки зрения, но отчаститакже и с исторической. Прежде всего,вводится единица измерения, то естьотрезок, длиной которого объявляетсячисло единица. Этот отрезок называется единичным отрезком. Если теперьэтот единичный отрезок укладывается вкаком-то другом отрезке семь или семьдесятсемь раз, то этому другому отрезкуприписывается длина семь или,соответственно, семьдесят семь. Такимспособом приписываются целочисленныедлины всем отрезкам, такую длину имеющим.За бортом указанного процесса остаютсявсе те многочисленные отрезки, в которыхединичный отрезок не укладываетсяконечное число раз. Посмотрим, какобстоит дело с ними. Возьмём какой-нибудьиз таких отрезков и предположим, что онсоизмерим с единичным. Пусть, для примера,их общая мера укладывается в нашемотрезке 18 раз, а в единичном отрезке 12раз. Тогда в нашем отрезке укладываетсявосемнадцать двенадцатых долей единичногоотрезка, и ему приписывается длинавосемнадцать двенадцатых. Если для двухотрезков найдена их общая мера, то дляних всегда можно указать и другие общиемеры - и при том в бесконечном количестве.Для рассматриваемого случая таковымибудут, скажем, мера, укладывающаяся визбранном отрезке 180 раз, а в единичном120 раз; а также мера, укладывающаяся визбранном отрезке 9 раз, а в единичном6 раз; а также мера, укладывающаяся визбранном отрезке 6 раз, а в единичном4 раза; а также мера, укладывающаяся визбранном отрезке 3 раза, а в единичном2 раза. Следовательно, нашему избранномуотрезку можно приписать и длину стовосемьдесят сто двадцатых, и длинудевять шестых, и длину шесть четвёртых,и длину три вторых. Именно поэтому дроби180/120, 18/12, 9/6, 6/4 и 3/2, будучи различнымидробями, выражают одно и то же число.Указанные дроби можно трактовать какимена этого числа, то есть как синонимы.Таким образом, длина у отрезка единственна,хотя и именоваться может по-разному.

 

Числа,выражаемые дробями, называются дробными. Целые и дробные числа объединяютсявместе под названием рациональныечисла. (Для простоты изложения мыничего не говорим об отрицательныхчислах; для наших целей они не нужны, ио них можно просто забыть.) Казалось бы,какие ещё могут быть числа? Но, как мызнаем, диагональ квадрата не имеет общеймеры с его стороной. Поэтому если взятьквадрат со стороной длины единица, тооказывается, что длина диагонали этогоквадрата никаким рациональным числомне выражается. Следовательно, у этойдиагонали либо вовсе нет длины, либоэта длина выражается числом какого-тонового типа, каковой тип ещё толькоподлежит введению в рассмотрение. Числаэтого нового типа называются иррациональными, вместе с рациональнымиони образуют систему действительных, или вещественных, чисел. Теперьуже каждый отрезок обретает длину ввиде некоторого действительного числа.

 

Надоиметь в виду, что изложенный взгляд напонятие числа, включающий в объём этогопонятия и иррациональные числа, естьвзгляд с современной точки зрения. Чтобыприйти к этой точке зрения, потребовалисьтысячелетия. В древности лишь натуральныечисла считались числами. Число понималоськак совокупность единиц. Очень постепеннов обиход входили дроби - сперва счислителем единица и небольшимзнаменателем, затем числителю ужеразрешалось быть ббольшим единицы, новсё-таки непременно меньшим знаменателя,и так далее. Но и дробь не сразу былапризнана выражающей число, поначалуона трактовалась иначе - как выражающаяотношение величин. Открытие явлениянесоизмеримости привело к осознаниютого поразительного факта, что не всякоеотношение величин может быть выраженодробью, и, в конечном счёте, к возникновениюпонятия действительного числа. Возможно,впервые ясное представление одействительных числах сформулировалвеликий арабский учёный и государственныйдеятель XIII века Насирэддин Тусби.Рассуждая об однородных величинах(таковыми являются длины, или веса, илиобъёмы и т. п.) и отношениях величинодного и того же рода, он писал: «Каждоеиз этих отношений может быть названочислом, которое определяется единицейтак же, как один из членов этого отношенияопределяется другим из этих членов». Инаконец, завершающую точку в развитииясного, хотя всё ещё интуитивного,представления о действительных числахпоставил Ньютон в своей «Всеобщейарифметике» (1707): «Под числом мы понимаемне столько множество единиц, сколькоотвлечённое отношение какой-нибудьвеличины к другой величине того же рода,принятой нами за единицу. Число бываеттрёх видов: целое, дробное и иррациональное.Целое есть то, что измеряется единицей;дробное есть кратное долей единицы;иррациональное число несоизмеримо сединицей».

 

Нормынаучной строгости со временем ужесточаются.Можно полагать, что формулировки Тусии Ньютона воспринимались современникамикак определения понятия действительногочисла. В наши дни они воспринимаютсякак всего лишь полезные комментарии.Заключённая в этих комментарияхвербализация свидетельствует, что вXIII - XVIII веках понятие действительногочисла уже с достаточной отчётливостьювоспринималось именно как понятие.Постепенно, однако, возрастала потребностьне только в интуитивном осознании, нои в исчерпывающих определениях.Формулировки Туси и Ньютона потому неявляются таковыми, что содержашиеся вних термины «величина» и «отношение»сами нуждаются в разъяснении. Теориидействительных чисел, отвечающиесегодняшним требованиям строгости,появились лишь около 1870 года. Первопроходцемздесь был почти забытый ныне французскийматематик Шарль Мерэ (Charles Mбeray; 1835 -1911). В его жизни было два события, каждоеиз которых поставило его на почётнейшеепервое место в некоторой значимой сфере.В 1854 году Мерэ оказался касбиком - тоесть первым среди принятых по конкурсув парижскую Высшую нормальную школу(каковую благополучно окончил в 1857 г.);в первоначальном своём значении слово cacique означает индейского племенноговождя в доколумбовой Латинской Америке.В 1869 году Мерэ опубликовал статью, вкоторой было впервые дано определениедействительного числа и впервые изложенаматематическая теория действительныхчисел. Не только первое, но и второе изэтих событий остались лишь фактами егобиографии. Мерэ имел статус уважаемого,но не ведущего математика своего времени,хотя имел основания числиться именнотаковым. Его идеи не были должным образомоценены современниками и никак неповлияли на развитие науки. На развитиенауки повлияли появившиеся черезнесколько лет публикации прославленных,в отличие от Мерэ, немецких математиковРихарда Дедекинда (1831 - 1916) и ГеоргаКантора (1845 - 1918), о котором мы ещё поговоримв главе 7. Каждый из них предложил некуюконструкцию, посредством которойдействительные числа строились на базечисел рациональных. Хотя нет сомнений,что конструкция Кантора была найденаим независимо, она повторяет конструкциюМерэ.

 

У насздесь нет возможности излагать теорииДедекинда и Мерэ - Кантора. Отметим лишь,что строительным материалом дляматематического понятия действительногочисла служат рациональные числа, каковые,в свою очередь, строятся на основе целыхчисел. Это обстоятельство дало возможностьвыдающемуся немецкому математикуЛеопольду Кбонекеру (1823 - 1891) произнестив 1886 году знаменитую фразу «Die ganzenZahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk» («Бог создал целые числа, всё остальноеесть дело рук человеческих»). Возможно,более точным переводом немецкого слова«ganzen» было бы здесь русское слово«натуральные» - потому что не вызываетсомнений, что Кронекер имел в виду невсе целые, а именно натуральные числа (из которых уже путём сознательнойчеловеческой деятельности строятсяотрицательные целые числа). Согласие сбожественным происхождением натуральныхчисел ещё не означает торжествакреационизма. Потому что ничто не мешаетсчитать, что натуральные числа появилисьв процессе исторической эволюции,оставляя при этом в стороне вопрос,управляется ли эволюция Господом Богомили происходит сама по себе. Став на этуточку зрения, приходим к выводу, чтонатуральные числа родились в процессахпересчитывания предметов, а также (и,надо полагать, позже) в процессахопределения количества предметов. Эторазные процессы, и они, с философскойточки зрения, приводят к различным (хотяи соотнесённым друг с другом) системамнатуральных чисел. Не знаю, как другиеязыки, но русский язык демонстрируетэто различие достаточно наглядно.Пересчёт мы начинаем обычно со слова«раз», а наименьшее возможное количествочего-нибудь есть ноль. Таким образом,наименьшее количественное числоесть число ноль, а наименьшее считательное число есть число раз (один, единица).Некоторые поэтому начинают натуральныйряд, то есть ряд натуральных чисел,с нуля, другие же - с единицы.

 

Упоминавшийсяуже Дедекинд называл числа свободнымитворениями человеческого духа (акнига Дедекинда, в которой былапровозглашена эта формула, сама имелапримечательное название: «Was sind und wassollen die Zahlen» - «Что такое числа и каковоих назначение»). Для понимания сущностичисел важно помнить, что число естьпонятие абстрактное. Никакое число,даже число, скажем, два, нельзя ни увидеть,ни услышать. Увидеть можно два столаили двух слонов, а услышать можно слово«два» - но это совсем другое дело. Полезноотметить, что абстрактность понятий неесть отличительная (и потому многихпугающая) черта математики. Есливдуматься, то, скажем, такие физическиепонятия, как электрон, протон и т. п.,весьма абстрактны. На память приходитвопрос, заданный на знаменитом семинареГельфанда, действовавшем намеханико-математическом факультетеМосковского университета, одним изучастников семинара: «Какой реальныйматематический смысл имеет эта физическаяабстракция?»

 

Вернёмся,однако, к проблемам, не имеющим решения.

 

 

Глава5. Квадратура круга

 

 

 

Выражение«квадратура круга» прочно вошло в языкв качестве красивого обозначения всякойне имеющей решения задачи. В таком своёмзначении это выражение используется врасширенном смысле - как метафора. Вузком же, буквальном смысле квадратуракруга означает некую пришедшую к намиз античности геометрическую задачу,относящуюся к задачам на построение.

 

Не однотысячелетие задача о квадратуре кругаоставалась костью в горле математики:не получалось ни её решения, нидоказательства отсутствия такового.Постепенно укреплялось мнение оневозможности решения, и в XVIII веке этомнение превратилось в убеждение настолькотвёрдое, что академии наук разных странзаявили о прекращении приёма к рассмотрениютрактатов, претендующих на решение.Наконец, в конце XIX века вопрос былзакрыт: развитие математики позволилодоказать, что решения и в самом деле несуществует. Понимание того, в чём состоятзадачи на построение, и в частностидревняя задача о квадратуре круга,входит, на наш взгляд, в общекультурныйминимум. Чтобы дать возможность читателюсогласиться или не согласиться с этимтезисом, напомним необходимые сведения.

 

Геометриятребует чертежа, и античные математикиделали такие чертежи. Самым удобным идешёвым способом было чертить на песке.Архимед, величайший учёный древности(да и не только древности!), был убитримским солдатом в 212 году до н. э., вовремя Второй пунической войны, наСицилии, в своих родных Сиракузах. Попреданию, солдат застал его на песчаномпляже и, взбешённый его словами «Нетрогай мои чертежи!», зарубил мечом.Основными элементами чертежей служилипрямые линии и окружности. Для ихвычерчивания имелись специальныеинструменты. Таких инструментов былодва: линейка, позволяющая проводитьпрямые, и циркуль, позволяющий проводитьокружности. Под термином циркуль условимся понимать любое устройство,пригодное для заданной цели. Скореевсего, древнейший циркуль состоял издвух палок, соединенных верёвкой; однапалка («игла») втыкалась в песок в центренамеченной окружности, верёвканатягивалась, и второй палкой («писалом»,«чертилом», «стилом») чертилась окружностьс радиусом, равным длине верёвки. Задачана построение состояла в том, чтобыпостроить, то есть начертить, геометрическуюфигуру с требуемыми свойствами. Вотпростейший пример такой задачи: длязаданного отрезка требуется построитьего середину. Решение: для каждого изконцов отрезка проводим окружность сцентром в этом конце и с радиусом, равнымдлине отрезка; далее проводим прямуючерез те две точки, в которых нашиокружности пересеклись; эта прямаяпересечёт заданный отрезок в егосередине. А вот формулировка задачи оквадратуре круга: для заданного кругатребуется построить квадрат, равновеликий(то есть равный по площади) этому кругу.Неразрешимость квадратуры круга доказалв 1882 году немецкий математик ФердинандЛиндеман. Рассказывают, что он завершилдоказательство 12 апреля, в день своеготридцатилетия, и, спрошенный друзьями,отчего это он сияет так, словно решилпроблему квадратуры круга, отвечал, чтотак оно и есть. Жена Линдемана быланедовольна, что муж удовлетворен тойславой, которую заслуженно принеслаему задача о квадратуре круга, и заставлялаего доказывать Великую теорему Ферма.Он страдал, но вынужден был подчиняться.Он скончался в 1939 году и, пока был всилах, занимался Проблемой Ферма.Результатом были слабые публикации наэту тему.

 

Мы,разумеется, не собираемся здесь доказыватьнеразрешимость задачи о квадратурекруга. Можно было бы попытаться вдоступных терминах наметить общеенаправление доказательства - но мы иэтого делать не будем, потому что этовывело бы нас за пределы того, что мысчитаем общекультурным математическимминимумом. А вот самоё формулировкуобсудим. Казалось бы, что тут обсуждать,формулировка достаточно ясная. Сейчасмы увидим, что на самом деле её смыслнуждается в разъяснении. Приносимизвинения тому читателю, который почтётэти разъяснения занудными и излишними.Но надеемся встретить и иного читателя,который найдет здесь пищу для размышленийи оценит то обстоятельство, что именноматематика является поставщиком такойпищи.

 

Каждаязадача на построение предполагаетналичие некоторой исходной геометрическойфигуры и состоит в требовании указатьспособ, позволяющий построить новуюфигуру, связанную с исходной указаннымив задаче соотношениями. Так, в задаче осередине отрезка исходной фигурой былотре