Функция дифференциалы

Екінші тамаша шек салдары:

1) ,  a=e болғанда ;

2) ,   a=e болғанда ;

3) Мысал. а) екенін көрсет.

Шешуі.   деген білгілеу енгізейік. Осыдан . Және де  кезде . Енді шек есептесек .

б)

Лопиталь ережесі арқылы анықталмағандықты ашу. Теорема (Лопиталь ережесі). f(x) және g(x) функциялары  () жағдайда нолге немесе шексіздікке ұмтылсын. Егер олардың туындыларының қатынасының шегі (ақырлы не ақырсыз) бар болса, функциялар қатынасының да шегі бар болады және мына қатынас орындалады: . Лопиталь ережесін қолданып ектерді есмептейік.

Функция дифференциалы

Функция шегінің анықтамасына сүйеніп туынды табу  формуласын мынадай түрде көшіріп жазуға болады: ,

 мұндағы  - ақырсыз аз шама, яғни . Түрлендірейік,

,

мұндағы  - функция өсімшесінің сызықты бөлігі деп аталады және ол  өсімшеге пропорционал. Ал  шама екі ақырсыз аздың көбейтіндісі ретінде өсімшеге қарағанда жоғары ретті ақырсыз аз шама болады.

Анықтама. Функция өсімшесінің сызықты бөлігі функция дифференциалы деп аталады да, dy деп белгіленеді. Сонымен,

y=x функциясының дифференциалын табайық: . Демек аргумент дифференциалы оның өсімшесіне тең екен. Олай болса функция дифференциалын мынадай түрде жазамыз:

(4)

Егер аргумент өсімшесі абсолют шамасы бойынша аз шама болса, онда функция өсімшесі мен дифференциалы жуық шамамаен тең болады, яғни . Түрлендірейік, . Осыдан,

  (5).

(5) формуламен функцияның мәнін жуықтап есептейді. Неғұрлым  аз болса, соғұрлым формула дәлірек болады.

В)Дифференциалдау ережелері. u=u(x) және v=v(x) функциялардың әрқайсысы берілгенх нүктесінде дифференциалданатын болса, онда бұл функциялардың қосындысы(айырымы), көбейтіндісі және қатынасы (v(x) 0) сол нүктеде дифференциалданады, және мына формулалар дұрыс болады:

1)

2) , C=const

3)

4) .

5) f(u(x)) күрделі функция туындысы:

.

6) y=f(x) функциясына кері функция (x=f ^{- 1}(y)) туындысы:

.

7) Айқын емес түрде берілген функция, F(x,y)=0, туындысы:

.

8) Дәрежелі-көрсеткіштік  функция туындысы. Алдымен берілген теңдеудің екі жағын логарифмдейік,

.

Екі жағынан туынды аламыз,

.

Сонымен,

.

9) Жоғары ретті туынды.   туындыны функцияның   1-ретті туындысы дейді. 1-ретті туындыдан алынған туынды функцияның 2-ретті туындысы деп аталады да,  деп белгіленеді. Сонымен,

.

Осылайша 3-ретті, т.с.с. n–ретті туындыларды анықтауға болады,

, …, .

Анықтама.  функциясы  нүктесінде дифференциалданады, егер оның осы нүктеде дифференциалы болса.

Егер функциясы дифференциалданатын болса, онда ол міндетті түрде үзіліссіз болады.

Дифференциалды жуықтап есептеулерге пайдалану.

. Соңғы жуықталған теңдік ең алдымен тәжірибелік тұрғыдан қарағанда келесі есепті шешу үшін қолданады:  мәндері белгілі; -тің жуық мәнін есептеу керек. Сонда төменгі формула анықталады: .

Мысалы:  мәнін табу керек: , , , демек . Ал , . Сонда .

18. Анықталмаған интегралды интегралдаудың негізгі әдістері

А)Айнымалыны ауыстыру әдісін қолданып интегралдау

Айнымалыны ауыстыру әдісін қолданып интегралдау интегралға жаңа айнымалы енгізуге негізделген. Жаңа айнымалы енгізу негізінде берілген интеграл жаңа интегралға, яғни, кестелік немесе кестелік интегралға куелтірілетін интегралға көшеді.  интегралын есептеу қажет болсын.  жаңа айнымалысын енгіземіз, мұндағы  - үзіліссіз туындысы бар функция.  Онда  және анықталмаған интегралды интегралдаудың инварианттылық формуласының қасиеттері негізінде айнымалыны ауыстыру формуласын аламыз:

Бұл формула анықталмаған интегралда айнымалыны ауыстыру формуласы деп аталады. Интегралдың оң жағын есептеп шығарғаннан кейін интегралдың жаңа айнымалысы t –дан қайта x айнымалысына көшеміз.

Б)Бөліктеп интегралдау әдісі

және    функциялары үзіліссіз туындылары бар функциялар болсын. Онда . Бұл теңдіктің екі жағын да интегралдасақ   немесе

Бұл бөліктеп интегралдау формуласы  деп аталады. Бұл формула берілген  интегралынан гөрі қарапайым болатын  интегралына келтіреді. Бөліктеп интегралдауды мынадай түрдегі интегралдарға қолданған қолайлы:

1.  түріндегі интегралдар, мұндағы - көпмүшелік,   - тұрақты сан.  деп, ал  ретінде қалған интеграл астындағы көбейткіштерді алған ыңғайлы.

2.  түріндегі интегралдар.  деп, ал  ретінде қалған интеграл астындағы көбейткіштерді алған ыңғайлы.

3.  түріндегі интегралдар, мұндағы  және  - тұрақты сандар. 

Мысал.

19.Екі айнымалыға тәуелді курделі функция туындысы

Егер z=f(x,y), x=x(t), y=y(t) болса, онда z=f[x(t);y(t)] болып t-ның күрделі функциясы болады. Сонда

Дербес жағдайда z=(x;y),y=y(x) болса,онда

y=y(x)функциясы f (x,y)=0 айқындалмаған түрде берілсе:

 немесе y’=- f’_x/f’y

Егер z=f(x,y),мұндағы x=x(u;v), y=y(u;v)болса,онда

Айнымалдар саны екіден көп болған жағдайда да бұл формулалардың құрамы сақталады.

Мысалы. z=x²+xy+y²,x=t²,y=t³ болса, туындыны табу керек

Шешуі: формуласы бойынша толық туынды

(x²+xy+y²) (t²)+ (x²+xy+y²) (t³)= =(2x+y)2t+(x+2y)*3t²=(2t²+t³)2t+(t²+2t³)3t²=6t⁵+5t⁴+4t³

Толық дифференциал.Жуықтап есептеу

Егер тәуелсіз айнымалылардың , ,  мәніне  өсімшелерін берсек, онда  функциясы 

өсімшесін алады. Берілген функцияның осы өсімшесін оның толықөсімшесі деп атайды.

  Теорема 1 Егер , ,  дербес туындылар  нүктесімен оның қандайда болмасын бір  маңайында бар болып және осы нүктеде ( -тің функциясы ретінде) үзіліссіз болса, онда берілген  функциясының толық өсімшесі мына түрде жазылады:

,

  мұндағы  шамалары  өсімшелеріне тәуелді және -да -ларда 0-ге ұмтылатын ақырсыз аз шамалар.

  Теорема 2 Егер Q аймағында анықталған  функциясының осы аймақтағы  мен  нүктелері үшін толық өсімшесі

түрінде жазылатын болса (А,В,С-тұрақтылар,  ), онда берілген функцияның  нүктесінде дербес туындылары бар болады.

  Анықтама Егер  функциясының толық өсімшесі (5) немесе (6) формулаларының бірімен өрнектелетін болса, онда бұл функция  нүктесінде дифференциалданатын функция деп аталады. Сонымен бірге, берілген функцияның толық өсімшесінің сызықты бас бөлімі  оның толықдифференциалы деп аталады да,  немесе  деп белгіленеді.

  Сонымен үзіліссіз дербес туындылары бар кез келген көп айнымалды функция дифференциалданады.

  Тәуелсіз  – айнымалыларының өсімшелері олардың дифференциалдары деп алынатынын ескерсек,  функцияның толық дифференциалы  немесе

түрінде жазылады. Яғни көп аргументті функцияның толық дифференциалы оның дербес дифференциалдарының қосындысына тең.

Жуықтап есептеу. _x(x,y) _y(x;y )+○() және df=dz=f’_x(x;y) +f’_y(x;y) теңдіктерді салыстырғанда,  жеткілікті кіші шама болса,функцияның толық өсімшесі мен толық

дифференциалы арасында жуық теңдік жазуға болады: .Немесе

f( f’_x(x,y) +f’_y(x,y)

Бұдан f( f(x,y)+f’(x,y) +f’_y(x,y)

Мысал,(1,04)^2,03санды жуықтап есептеу керек.

Шешуі. (1,04)^2,03 саны =x^yфункциясының x+ =1,04,y+ болғандағы дербес мәні х=1, , y=2,  деп алсақ, f(x,y)=f(1;2)=1²=1,әрі f’_x(x,y)=x^ylnx, f’_x(1,2)=2, f’_y(1,2)=0 екенін ескерсек, (1,04)^2,03=1+2*0,04+0*0,03=1,08.

20. Жоғарғы ретті дербес туындылар және дифференциалдар

Туынды ұғымы. Функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасының аргумент өсімшесі нолге ұмтылған кездегі шегі функция туындысы деп аталады. Әдетте оны  немесе  деп белгілейді:     (1) Функцияның туындысын алуды – функцияны дифференциалдау дейді. (а;в) интервалының әрбір нүктесінде туындысы бар функцияны сол интервалда дифференциалданады дейді. Мынадай тұжырым дұрыс болады: Егер f(x) функцисы х₀ нүктеде дифференциалданса, онда функция х₀ нүктеде үзіліссіз болады. Бірақ осыған кері тұжырым дұрыс бола бермейді. Мысалы, y= | x | функциясы x=0 нүктеде үзіліссіз. Бірақ оның x=0 нүктедегі туындысы болмайды. Шынында да, егер бар болса, туындыны мына формуламен табар едік: .Ал x=0 нүктеде болғандықтан  қатынастың шегі болмайды. Шекболмасатуындысы да жоқ.

Дифференциалдау ережелері. u=u(x) және v=v(x) функциялардың әрқайсысы берілгенх нүктесінде дифференциалданатын болса, онда бұл функциялардың қосындысы(айырымы), көбейтіндісі және қатынасы (v(x) 0) сол нүктеде дифференциалданады, және мына формулалар дұрыс болады:

1)

2) , C=const

3)

4) .

9) f(u(x)) күрделі функция туындысы: .

 

10) y=f(x) функциясынакері функция (x=f ^{- 1}(y)) туындысы: .

11) Айқынеместүрдеберілген функция, F(x,y)=0, туындысы: .

 

12)Дәрежелі-көрсеткіштік  функция туындысы. Алдыменберілгентеңдеудіңекіжағын логарифмдейік, .

Екіжағынантуындыаламыз, .

Сонымен, .

ФУНКЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ. Функция шегінің анықтамасына сүйеніп туынды табу  формуласын мынадай түрде көшіріп жазуға болады: ,мұндағы  - ақырсыз аз шама, яғни . Түрлендірейік, ,мұндағы  - функция өсімшесінің сызықты бөлігі деп аталады және ол  өсімшеге пропорционал. Ал  шама екі ақырсыз аздың көбейтіндісі ретінде өсімшеге қарағанда жоғары ретті ақырсыз аз шама болады. Функция өсімшесінің сызықты бөлігі функция дифференциалы деп аталады да, dy деп белгіленеді. Сонымен, y=x функциясының дифференциалын табайық: . Демек аргумент дифференциалы оның өсімшесіне тең екен. Олай болса функция дифференциалын мынадай түрде жазамыз: (4)

Егер аргумент өсімшесі абсолют шамасы бойынша аз шама болса, онда функция өсімшесі мен дифференциалы жуық шамамаен тең болады, яғни . Түрлендірейік, . Осыдан,        (5). (5) формуламен функцияның мәнін жуықтап есептейді. Неғұрлым  аз болса, соғұрлым формула дәлірек болады.

с) Жоғары ретті туынды.   туындыны функцияның   1-ретті туындысы дейді. 1-ретті туындыдан алынған туынды функцияның 2-ретті туындысы деп аталады да,  деп белгіленеді. Сонымен, .

Осылайша 3-ретті, т.с.с. n–ретті туындыларды анықтауға болады, , …, .

21. Екі айнымалы функцияның экстремумы

А)Функцияның өсу және кемуінің қажетті және жеткілікті шартары. Анықтама. х₀  нүктесінің - маңайы табылып, (х₀-  х₀+ ), осы маңайдағы барлық х х₀ үшін f(x)>f(х₀) теңсіздігі орындалса, х₀ нүктесі f(x) функциясының минимум нүктесі деп, ал f(x)<f(х₀) теңсіздік орындалса, х₀ нүктесі f(x) функциясының максимум нүктесі деп аталады. Теорема (функция өсуі мен кемуінің жеткілікті шарты). Егер (а,в) интервалында дифференциалданатын y=f(x) функциясының туындысы оң болса, онда осы интервалда функция өспелі болады, ал туындысы теріс болса, функция кемімелі болады. 1-суреттегі y=f(x) функциясы  және  аралығында өседі,  аралығында кемиді.

у