Нормальный закон распределения

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

 

    Рассмотрим два закона распределения непрерывных случайных величин, которые применяются в медико-биологических исследованиях: показательный (экспоненциальный) закон распределения и нормальный закон распределения.

 

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЙ (ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ) ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

 

    Показательный закон распределения играет важную роль в теории массового обслуживания и теории надежности.

    Непрерывная случайная величина имеет показательный закон распределения с параметром , если ее плотность вероятности имеет вид:

    Кривая распределения

    Функция распределения случайной величины , распределенной по показательному закону, имеет вид

 

График функции распределения

Если непрерывная случайная величина  распределена по показательному закону, то вероятность попадания  в интервал :

Математическое ожидание

Дисперсия

    Среднее квадратическое отклонение

    Показательное распределение имеет многочисленные приложения. В частности, надежность какого-либо устройства (технический прибор, жизненно важный орган) принято характеризовать временем безотказной работы. Соответствующая случайная величина  - длительность времени безотказной работы – имеет показательное распределение с некоторым параметром . Тогда функция распределения  - вероятность отказа устройства за промежуток времени .

    Вероятность противоположного события  - вероятность безотказной работы устройства за промежуток времени  - называется функцией надежности,

.

    Параметр  характеризует интенсивность отказов, т.е. среднее количество отказов в единицу времени.

Среднее время безотказной работы при экспоненциальном законе распределения интервала безотказной работы выражается формулой:

 

 

 Таким образом, зная среднее время безотказной работы Т (или постоянную интенсивность отказов λ), можно в случае экспоненциального распределения найти вероятность безотказной работы для интервала времени от момента включения объекта до любого заданного момента t.

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.

Непрерывная случайная величина  имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса), если ее плотность вероятности имеет вид:

                                     ,                                         

где  - математическое ожидание, а  - среднее квадратическое отклонение случайной величины;  - основание натуральных логарифмов.

    График плотности вероятности нормально распределенной случайной величины называется нормальной кривой распределения или кривой Гаусса (рис. 1).

Рис.1.

Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

1. Функция определена на всей числовой оси.

2. При всех  функция распределения принимает только положительные значения.

3. Ось  является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента , значение функции стремится к нулю.

4. Функция является симметричной относительно прямой .

5. Функция имеет максимум в точке , равный , т.е. .

6. Функция имеет две точки перегиба  с ординатой .

Выясним, как будет меняться нормальная кривая при изменении параметров  и .         

Если , и меняется параметр , то нормальная кривая смещается вдоль оси абсцисс, не меняя формы (рис. 2).

Если  и меняется параметр  (или ), то меняется ордината максимума кривой . При увеличении  ордината максимума кривой уменьшается, но так как площадь под любой кривой распределения должна оставаться равной единице, то кривая становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; при уменьшении , напротив, нормальная кривая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков (рис. 3).