Определение критической нагрузки стержня

Потеря устойчивости первоначальной формы равновесия элементов конструкций может оказаться причиной исчерпания их несущей способности и в процессе эксплуатации недопустима. Положение равновесия может быть устойчивым, безразличным (нейтральным) и неустойчивым.

При центральном сжатии стержня с прямолинейной осью, с фиксированной линией действия силы характерны следующие ситуации:

a) Если Р<P_кр, то при снятии малых поперечных возмущений продольная ось стержня стремится вернуться к исходному прямолинейному положению равновесия.

b) При Р=Р_кр возможно множество форм равновесия – прямолинейная и близкие к ней мало деформированные, что соответствует безразличному положению равновесия. При этом исходная прямолинейная форма равновесия стержня перестает быть устойчивой. Нагрузка Р= Р_кр, при которой прямолинейная форма равновесия перестает быть устойчивой, называется критической.

c) При Р>Pкр прямолинейное положение оси стержня статически возможно, но неустойчиво.

Для определения критической силы для сжатого стержня при различных условиях закрепления (различных граничных условиях) воспользуемся формулой Эйлера:

 

                                                                     (3.1)

где μ – коэффициент приведенной длины, показывающий во сколько раз нужно изменить длину шарнирно опертого стержня, чтобы критическая сила для него равнялась критической силе для стержня длиной l при рассматриваемых граничных условиях.

Для шарнирно опертого стержня μ=1.

 

Найдем длину стержней

 

                                    (3.2)

 

где R – радиус верхнего шпангоута

r – радиус нижнего шпангоута

h – высота конструкции

n – количество узлов.

 

 Найдем момент инерции сечения стержня:

 

                                                    (3.3)

 

Подставим найденные значения в формулу Эйлера (3.1) и получим критическую силу

 

 

Найдем критические напряжения:

                                                            (3.4)

 

Определение коэффициента запаса прочности. Определение массы

Найдем коэффициент запаса прочности

 

                                                                                                          (4.1)

            

 

Найдем массу фермы без учета распорных шпангоутов

                                                                                                        (4.2)

где

                                                                                                     (4.3)

 

Подставим (4.3) в (4.2)

 

                                                                                                      (4.4)