Основные понятия теории массового обслуживания

Потоком событий называется последовательность событий, происходящих одно за другим в случайные моменты времени.

Поток событий называется однородным, если он характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающими моментами) и задается следующей последовательностью:

 

,

 

где t_n – момент поступления n -ого события.

Поток событий неоднородный, если он задается не только вызывающими моментами, но и функцией f(n) – набор признаков события (наличие приоритета, принадлежащего к какому-либо типу заявки, класса и т.д.).

Если интервалы времени между событиями независимы между собой и являются случайными величинами, то такой поток называется потоком с ограниченным последействием.

Поток событий называется ординарным, если вероятность того, что на малый интервал времени Dt, примыкающий к моменту времени t, попадает более одного события, пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью того, что на этот же интервал времени попадает ровно одно событие.

Поток стационарный, если вероятность появления того или иного события на некотором интервале времени зависит лишь от длины этого интервала и не зависит от того, где на оси времени взят этот интервал.

Для ординарного потока среднее число сообщений за интервал времени Dt равно P₁ (t, Dt), тогда

 - интенсивность ординарного потока.

Для стационарного потока интенсивность не зависит от времени и представляет собой постоянное значение равное среднему числу событий, наступивших в единицу времени.

В любом элементарном акте обслуживания можно выделить 2 основные составляющие:

1. собственно, обслуживание

2. ожидание обслуживания заявки

 

 

K – канал, Н – накопитель, П – прибор обслуживания

В i-ом приборе обслуживания имеем:

· w_i – поток заявок т.е. интервалы времени между моментами появления заявок (вызывающие моменты) на входе канала Ki.

· u_i – поток обслуживания – интервалы времени между началом и окончанием обслуживания заявок.

Заявки, обслуженные каналом, и заявки, покинувшие i-ый прибор не обслуженными, образуют выходной поток Yi, т.е. интервалы времени между моментами выхода заявок.

Процесс функционирования прибора Пi можно представить как процесс изменения состояний его элементов во времени. Переход в новое состояние для прибора означает изменение количества заявок, которые в нем находятся.

 

где Z – заявка, L – емкость накопителя

В практике моделирование элементарные Q-схемы обычно объединяются. При этом, если каналы различных приборов обслуживания соединены параллельно, то имеет место многоканальное обслуживание, а если последовательно – то многофазное. Следовательно, для задания Q-схемы необходимо использовать некоторый оператор - R-оператор сопряжения, отражающий взаимосвязь элементов структуры между собой.

Различают разомкнутые и замкнутые Q-схемы. В разомкнутых схемах выходной поток не может попасть на вход, а в замкнутых схемах количество заявок постоянно.

Собственными внутренними параметрами Q-схемы будут являться:

· Количество фаз

· Количество каналов в каждой фазе

· Количество накопителей в каждой фазе

· Емкость i-ого накопителя

В зависимости от емкости накопителя в теории массового обслуживания принято:

· Емкость 0 – система с потерями.

· Емкость ® ¥ - система с ожиданием

· Емкость конечна – система смешанного типа

Для задания функционирования Q-схемы также необходимо описать алгоритм её функционирования, который определяет набор правил поведения заявок в различных ситуациях.

Неоднородность заявок, отражающая реальный процесс учитывается введением классов приоритетов. Следовательно, Q-схема, описывающая процесс функционирования системы массового обслуживания любой сложности, однозначно задается:

Q = (W, U, R, H, Z, A)

1. W - подмножеством входных потоков

2. U - подмножеством потоков обслуживания

3. H - подмножеством собственных параметров

4. R - оператором сопряжения элементов структуры

5. Z - множеством состояний элементов системы

6. A - оператором алгоритмов обслуживания заявок

Для получения соотношений, связывающих характеристики описания функционирования Q-схемы вводятся некоторые допущения относительно входных потоков, функций распределения параметров, длительности обслуживания запросов, дисциплин обслуживания.

Для математического описания функционирования устройств, развивающегося в форме случайного процесса, может быть использован математический аппарат, который носит название Марковского случайного процесса.

Случайный процесс, протекающий в некоторой системе называется Марковским случайным процессом, если он обладает следующим свойством: для каждого момента времени t₀ вероятность любого состояния системы в будущем (при t > t₀) зависит только от состояния системы в настоящем и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние.

В марковском случайном процессе будущее развитие зависит только от настоящего состояния и не зависит от предыстории. Для марковских случайных процессов определяется вероятности нахождения системы в том или ином состоянии используя уравнения Колмогорова:

,

где p(t) – вероятность попадания в какое-либо состояние

l - множество определенных коэффициентов

Для стационарного потока:

 - базисная модель

 - интерфейсная модель

Математическая модель некоторой сложной системы строится как совокупность базисной модели и интерфейсной модели, что позволяет использовать одни и те же базисные модели для разных задач проектирования, осуществляя настройку на соответствующую конкретную задачу, посредством изменения только параметров интерфейсной модели.

Математическая модель сложной Q-схемы должна обеспечивать вычисление времени реакции на запрос и производительность системы.