Прямолинейно-параллельное вытеснение нефти водой

При поршневом вытеснении нефти водой в пористой среде плотность нефти и воды будем считать одинаковыми. Это позволит рассматривать плоскость контакта нефти и воды вертикальной. Различие в вязкостях нефти η_н и воды η_в, будем учитывать.

В случае прямолинейно-параллельного движения схема вытеснения приведена на рис. 2. На контуре питания и на галерее поддерживаются соответственно постоянные давления р_к и р_г. Начальное положение контура нефтеносности х₀ параллельно галерее и контуру питания.

Обозначим x_f текущее расстояние до контура нефтеносности в момент времени t после начала вытеснения, L - расстояние от контура питания до галереи, р_в, р_н-давления в любой точке водоносной и нефтеносной части пласта соответственно, p(t)-давление на границе раздела вода нефть, отстоящей от контура питания на расстоянии x_f. Вспомним, что в случае установившегося прямолинейно-параллельного фильтрационного потока одной жидкости распределение давления и скорость фильтрации описываются следующими уравнениями:

(2.1)

(2.2)

 

При этом изобарами являются линии, параллельные галерее, и каждую изобару можно рассматривать как контур питания или как галерею. На основании формул (2.1) и (2.2) распределение давления и скорость фильтрации в водоносной области можно записать в виде

(2.3)

 

(2.4)

 

Приняв за контур питания изобару, совпадающую с границей раздела жидкостей, распределение давления и скорость фильтрации в нефтеносной области можно записать следующим образом:

(2.5)

 

(2.6)

 

Найдем давление p(t) на границе раздела. Вследствие несжимаемости жидкостей и неразрывности потока линии тока будут иметь вид прямых, параллельных оси Ох (на границе раздела преломления их не будет), а скорость фильтрации во всех точках пласта будет одинаковой, т.е. w_в = w_н

Тогда из уравнений (2.6) и (2.8) получим:

 

Рисунок 2 — схема прямолинейно-параллельного движения границы раздела «вода-нефть»

 

откуда давление на границе раздела жидкостей будет равно:

(2.9)

 

где введено обозначение η₀ = η_н/η₀ отношение вязкостей жидкостей.

Определим теперь следующие характеристики фильтрационного потока нефти и воды:

1. Распределение давления в водоносной и нефтеносной областях. Для этого подставим (2.9) в (2.5) и (2.7):

(2.10)

 

(2.11)

 

где ∆p = р_к - р_г депрессия на пласт.

2. Скорость фильтрации. Подставив (2.9) в (2.6) и (2.8), получим:

(2.12)

 

3. Расход жидкости (дебит галереи) Q получается из (2.12) умножением на площадь сечения потока Bh.

4. Градиент давления. Продифференцируем (2.10) и (2.11) по х:

                               (2.13)

                               (2.14)

5. Закон движения границы раздела x_f = x_f(t) находим из соотношения скорости фильтрации и средней скорости движения:

откуда, использовав (2.12), разделив переменные и проинтегрировав в пределах от 0 до t и от х₀ до x_f, получим:

                      (2.15)

Для того, чтобы найти время полного вытеснения нефти, нужно в формуле (2.15) положить x_f = L. Тогда получим:

В частности, если в начальный момент времени пласт был полностью насыщен нефтью (x₀=0), то отсюда находим:

Для определения зависимости координаты границы раздела x_f от времени t решим квадратное уравнение (2.15) относительно x_f:

(2.16)

 

Подставив это значение х_f в формулу (2.12), найдем закон изменения во времени скорости фильтрации (а значит, и дебита галереи):

              (2.17)

Проанализируем полученные характеристики потока:

1. Из уравнений (2.10) и (2.11) видно, что давление в пласте зависит не только от координаты х, но и от положения границы раздела x_f, а следовательно, от времени. Но x_f, как следует из формулы (2.16), со временем увеличивается, следовательно, пластовое давление во времени в водоносной области падает, а в нефтеносной растет. На рисунке 3 приведены кривые распределения давления в пласте в начальный момент вытеснения, когда Гранина раздела занимает положение х₀, и некоторое время t спустя, когда граница раздела продвинулась до положения x_f. Из рисунка видно, что пьезометрическая линия на границе раздела имеет излом.

2. Скорость фильтрации w (2.17) и расход жидкости Q также изменяются во времени. Следовательно, несмотря на постоянство депрессии ∆p=pk-pг движение жидкостей в пласте будет неустановившимся.

При  как видно из (2.17), скорость фильтрации и дебит галереи увеличиваются с течением времени, т. е. по мере продвижения контура нефтеносности.

Это легко объяснимо и из физических соображений. Движение жидкостей в пласте происходит под действием постоянного перепада давления Ар. Сопротивление, оказываемое обеими жидкостями, зависит от размеров их областей. С течением времени увеличивается область водоносности, сопротивление которой по сравнению с областью нефтеносности тех же размеров значительно меньше. Следовательно, общее сопротивление обеих областей во времени уменьшается, что при постоянной депрессии Ар ведет к росту скорости фильтрации и дебита галереи.

3. Градиенты давления в водоносной и нефтеносной областях, как это следует из формул (2.13) и (2.14) с учетом формулы (2.16). во времени растут. Это же показано и на рисунке 3. В нефтеносной области градиент давления больше, чем в водоносной, во столько раз, во сколько вязкость нефти больше вязкости воды.

Рисунок 3 — кривые распределения давления в пласте при вытеснении нефти водой

 

Рисунок 4 — изменение давления на границе раздела жидкостей (рк = 20 МПа. Pг = 10 МПа)

 

Рисунок 5 — схема использования метода «полосок»

 

4. Кривая падения давления pf на границе раздела в зависимости от ее безразмерных значений  при различных отношениях вязкостей  приведены на рис. 7.4. Расчеты проводились по формуле (7.9) при давлении на контуре питания pк = 20 МПа и на галерее — pг = 10 МПа.

В случае, если первоначальное положение водонефтяного контакта АВ в пласте не параллельно галерее (рис. 7.5), то решить задачу можно приближенно, используя, например, метод «полосок», предложенный В. Н. Щелкачевым. В потоке выделяются узкие полоски, в пределах каждой из которых водонефтяной контакт считается параллельным галерее, и движение в каждой полоске описывается выведенными в этом параграфе формулами. При этом, как видно из формулы (7.17), чем больше значение x0 тем больше скорость фильтрации w. Отсюда вытекает, что граница раздела в точке В будет двигаться гораздо быстрее, чем в точке А, и обводнение галереи начнется именно по линии ВВ', в то время как контур нефтеносности по другим линиям будет еще значительно удален от галереи. Из этого примера следует важное заключение о характере продвижения контура нефтеносности. Если на границе раздела вода нефть при разработке нефтяной залежи образовался «водяной язык», то он в дальнейшем не только не исчезает, а быстро вытягивается, продвигаясь с большей скоростью, чем остальная часть водонефтяного контакта.