Транспортные свойства придонных топографических волн на шельфе и континентальном склоне

   A.A. Слепышев

Исследование динамических эффектов в придонном слое море имеет актуальное значение в связи с изученим тепло-массоперноса через придонный слой, процессов седиментации и осадконакопления, генерации и эволюции донных рифелей и мезоформ, транспорта наносов и взвеси. Важный вклад в динамику придонного слоя вносят волновые процессы на шельфе и континентальном склоне. Ветровое волнение является важным фактором аккумуляции или размыва наносов непосредственно в прибрежной зоне моря [1,2]. Влияние поверхностных волн прослеживается, по-видимому, до глубин, составляющих половину длины волны [3]. На больших глубинах преобладает влияние внутренних волн и топографических волн. Нелинейные эффекты при распространении как поверхностных, так и внутренних волн проявляются в генерации средних на временном масштабе волны течений, которые обусловлены действием в слабонелинейном пакете волновых напряжений [4,5,6] В предельном случае слабонелинейной плоской волны указанные волновые напряжения отличны от 0 при учёте турбулентной вязкости и диффузии [6,7]. В придонном слое моря на шельфе и континетальном склоне существует важный класс захваченных топографических волн, физической причиной существования которых является взаимодействие гравитации и сил плавучести, с одной стороны, неодородностей рельефа дна и вращения Земли-с другой.Частота захваченных волн не превышает N  ( угол наклона дна). Фаза волны распространяется, оставляя более мелкую воду справа в Северном полушарии [8] Амплитуда волны затухает по экспоненциальному закону при удалении от дна. Придонные волны, по видимому, вносят важный вклад в транспорт наносов на шельфе.

Если турбулентные тангенциальные напряжения у дна превышают критические значения, соответствующие началу движения наносов, волна взмучивает донный осадочный материал, осуществляя его горизонтальный перенос средними течениями, индуцированными придонными топографическими волнами.

В этой связи актуальным является определение средних течений, индуцированных придонными волнами за счёт нелинейных эффектов в присутствии турбулентной вязкости и диффузии над склоном произвольной ориентации. Исходные нелинейные уравнения гидродинамики для волновых возмущений решаются в слабонелинейном приближении методом возмущений   [ 4 ]: в первом порядке малости по амплитуде волны находятся решения линейного приближения и дисперсионное соотношение, во втором порядке малости - средние течения, индуцированные волнами после осреднения исходных уравнений по периоду волны.

Горизонтальным дном будем называть плоскость, перпендикулярную вектору ускорения свободного падения и параллельную свободной невозмущённой поверхности океана. Плоскость, касательную поверхности Земли и параллельную горизонтальному дну обозначим К. Плоскость К₁ , соответствующую наклонному дну, получаем из плоскости K поворотом её на угол  вокруг линии пересечения плоскостей К  и К₁ (оси Х). Условимся, что положительному значению угла  соответствует поворот плоскости K против часовой стрелки (если смотреть с положительной полуоси Х). Систему уравнений гидродинамики  для волновых возмущений в приближении Буссинеска запишем в системе координат, плоскость XOY которой совпадает с плоскостью К₁,ось Х  совпадает с линией пересечения плоскостей K и К₁ и составляет с западным направлением угол  , ось Z   направлена от поверхности Земли перпендикулярно плоскости К₁. Положительному значению угла соответствует поворот параллели к оси Х против часовой стрелки.

Вектор угловой скорости вращения Земли имеет  проекции на оси Z,Y и X соответственно

_z= ; _y= (           (1)

и _x=                

где  с^-1 -угловая скорость вращения Земли, .широта.

Турбулентные напряжения в данной работе параметризуются через сдвиги волновых скоростей по гипотезе Сент-Гелли с введением коэффициентов горизонтальной и вертикальной турбулентной вязкости и диффузии [6] Введём безразмерные переменные ,  ,  ( -характерная глубина), _* ( _* - характерная частота волны), размерные величины отмечены волнистой чертой сверху. Определим безразмерные величины компонент волновых возмущений скорости (), давления , плотности , коэффициентов вертикальнoй и горизонтальной турбулентной вязкости и диффузии следующим образом:

= /( _*H), = /( _*H), = /( _*H), = /( ₀₁( _*H)²)           (2)

₃= ₃/    , ₃= ₃/ ,    ₁= ₁/ , ₁= ₁/ , = ( ₀₁H _*²)

                              

где = - значение горизонтальной турбулентной вязкости, ₀₁-характерная средняя плотность воды. Система уравнений гидродинамики для волновых возмущений в безразмерных переменных в приближении Буссинеска имеет вид:

2( _y - _zv)+( )=- ²(K₁ +K₁ + K₃ )

                                                                                                                             (3a)

/ +2( _z - _x )+( )= - - + ²(K₁ / + K₁ / + K₃ / )

                                                                                                                               (3б)

/ +2( _xv- _y )+( )= - + ²(K₁ / + K₁ w/ + K₃ / )-                                                                                                                (3в) 

/ / 0                                                                                      (3г) 

( )+v = ²(M₁ / + M₁ / + M₃ / ) (3д)                 

где ²= ,  - средняя плотность, , -волновые возмущения скорости течения вдоль осей X,Z,Y соответственно; -волновые возмущения плотности и давления. Оператор ( ) раскрывается по формуле: ( )=

Введём частоту Брента-Вяйсяля: N²=-d /dz_1,  где d /dz₁ - градиент средней плотности, z₁= . Очевидно, что вектор градиента средней плотности коллинеарен вектору  g.

   Уравнение (3д) можно переписать в виде:

( ) - ) = ²(M₁ / +M₁ / +M₃ / )  (4)

Граничные условия у дна:

(0)=0

                                                                                                                    (5)

В качестве решения в линейном приближении рассмотрим волну, у которой , введём функцию тока . Волновые возмущения скорости выражаются через функцию тока:

/                            = - /                                                            (6)

Решение системы (3) в линейном приближении будем искать в виде:

                                                                          (7)

где - комплексно сопряжённые слагаемые, А( -амплитудная функция, медленно меняющаяся на масштабе волны. Из системы (3) следуют уравнения для

.

+ - d²/d ] =-                                    (8)

 

[ + l ² - d²/d )][2 + )]= + - d²/d ]d/d {[ + - d²/d ] }+N²

                                                                                                                     (9)                 

Граничные условия у дна функций  и  имеют вид:

=0,                         =0                                                            (10)                                                                                           

В [12], следуя асимптотическому методу Люстерника-Вишика [13,14],функ-

ции (z) и (z) и частота волны  получены в виде:

(z)= ₁₀(z)+  

(z)= +                                                                 (11)               

где ₁₀(z) и ₁₀(z) - "невязкие" решения, т.е. решения при ,   и - "погранслойные" решения, быстро убывающие (по сравнению с ₁₀(z)) при удалении от дна. Приведём выражения для ₁₀(z)  и ₁₀(z)      которые потребуются в дальнейшем:

₁₀(z)= exp( z)         ,   ₁₁()=-exp( )

= sin ^. ₁₀(z)/ ,      

₁₁(z)=exp( ) sin /                                                                                    (12)

где -дисперсионное соотношение при отсутствии турбулентной вязкости и диффузии, поправка к чаcтоте, обусловленная турбулентной вязкостью и диффузией [12],

=[2 + ) +i0.5 sin2 ]/[2i ]

=z/ ,                                                                   (13а)

                                                (13б)

Амплитудная функция      А является медленно меняющейся функцией на масштабах волны. Умножим обе части уравнения (3а) на , уравнения (3б) на  и сложим эти уравнения, после осреднения по периоду волны в линейном приближении получим уравнение для огибающей А :

 

                             (14)          

где  + ,

+ -                                                   (15) 

компонеты групповой скорости вдоль осей X и Y соответственно.                                                  

здесь ,

В стационарном случае уравнение (14) преобразуется к виду:

,                                                                           (16)

где -координата вдоль луча, -групповая скорость.

Пространственные производные функции  следующим образом выражаются через градиент

                                                                   (17)

Осредним исходные уравнения движения (3) по периоду волны, получим с точностью до членов, квадратичных по амплитуде волны уравнения для средних полей, индуцированных волной в слабонелинейном приближении (черта сверху означает осреднение по периоду волны):

=   

                                                                                                                      (18a)                                  

=   

                                                                                                                        (18б)

                       (18в)              

) (18г)                                                                     

                                                                                (18д)               

 Волновые напряжения , ,  выражаются с помощью ( 6,7) через  :

= -                                                     

= +                                                    (19)                        

=                                                                                 

=                                                                                  

Из анализа системы (18) с учётом (19) следует, что индуцируемые волной средние поля плотности , давления  и скорости течения  следует искать в виде:

,      ,                                                (20)                                                  ,                                ,                                                                                      

Система уравнений для функций   следует из (18) после подстановки (19) и (20) при использовании соотношений (16),(17). Данная система сводится к неоднородной системе линейных дифференциальных уравнений, которую запишем в матричном виде:

                                                                                         (21)

где А- матрица размрностью 8 8, элементы которой являются постоянными (не зависящими от z величинами):

                                                                                                 

Все остальные элементы матрицы А равны 0. Столбцы  и  имеют вид:

                                                                             

где  

Система дифференциальных уравнений (21) решается аналитически при следующих граничных условиях:  и  при . Окончательно индуцируемые волной поля скорости течения  и плотности  определяются по формулам:

,  ,  , 

                                                                                                                            (22)

Амплитудный множитель  найдём из условия нормировки, которое состоит в следующем. Пусть максимальная амплитуда волновой орбитальной скорости.

Тогда ,где .                                                        (23)                  

   Пусть                                         (24)                      -осреднённое за период волны тангенциальное напряжение у дна. Следуя [15,16 ] введём коеффициент донного трения . При заданном  коэффициент вертикального турбулентного обмена для данной волны находится из (24).

Если тангенциальное напряжение у дна превышает критическое значение  , соответствующее началу движения наносов, то волна взмучивает наносы, осуществляя их горизонтальный перенос. В стационарном и горизонтально -однородном случае уравнение вертикальной диффузии для средней концентрации наносов имеет вид [ 15 ]:

                                                                          (25)

где    , скорость гравитационного оседания наносов [15 ]. Решение уравнения (25), затухающее при удалении от дна имеет вид:

                                                                       (26)

Здесь - концентрация наносов у дна, которая находится из следующего граничного условия. Пусть -вертикальный поток наносов у дна, тогда следуя работе [ 15]

                                                                                   (27)                    

С другой стороны, вертикальный поток наносов равен .

Учитывая, что у дна , найдём :

                                                                                (28)                     

Из (26) и (28) найдём :          

                                                                                      (29)

Учитывая, что при    [16]  величина  для i-ой фракции определяется по формуле: , где -динамическая скорость у дна, , ,  -плотность материала наносов, кинематическая вязкость жидкости, -содержание частиц i- ой фракции в материале дна. Для смеси фракций вертикальное распределение концентрации наносов имеет вид:

(30)

где   [16]

Найдём расход наносов вдоль и поперёк изобат:

 

 -                                                       (31)

где   , распределение концентрации -ой фракции, -скорость гравитационного осаждения i –ой фракции.

Расчёт индуцируемых полей скорости  проводить будем проводить на континентальном склоне Южного берега Крыма между мысами Сарыч и Аю-Даг, где  ,      , средний уклон дна равен  , при типичном значении частоты Брента-Вяйсяля глубже главного пикноклина ~ 3 цикл/час  [1],  Коэффициент придонного трения  принимался равным   [15,17], соответствующим наиболее типичным условиям шероховатости морского дна на рассматриваемых масштабах.

Нормирующий множитель А определялся таким образом, чтобы максимальная амплитуда горизонтальной скорости равнялась ~0.18 м/с, т.е. А  находилось из соотношения (23). При    максимальное значение  достигается при z=1.8 м. Коэффициент вертикального турбулентного обмена определялся из соотношения (24) при  и составил . Kоэффициент горизонтального турбулентного обмена выразим через , следуя эмпирической зависимости коэффициента обмена от масштаба явления  [18].

.Частота волны  ,декремент затухания волны равен - , При столь значительном уклоне дна необходим учёт в тангенциальном напряжении гравитационной составляющей, обусловленной наклоном дна в выражении для потока  (27):

,                             (32)           

 Для алевритовой фракции размером частиц  мм величина , критическое тангенциальное напряжение, соответствующее началу движения наносов [19,20]. У фракций   мм величина . Доля частиц указанных размеров составляет в донных осадках континентального склона  [21]. Доля фракций > 0.1 мм не превышает 1% [21,22]. Скорости гравитационного осаждения частиц фракций   находились по формуле Стокса [23] и составили

Донная концентрация взвешенных волной наносов равна (или ) при равномерном распределении рассматриваемых частиц по размерам .

 На рис. 1,2,3 показаны вертикальные профили индуцированного за счёт нелинейности компонент скорости среднего течения , , . Вертикальное распределение концентрации наносов, взвешенных волной показано на рис. 4. Расход наносов (44) вдоль и попрёк склона соответственно равен: .

Выводы.

1. При распространении придонных топографических волн при наличии турбулентной вязкости и диффузии нелинейные эффекты проявляются в генерации средних на временном масштабе волны полей скорости течения и плотности.

2. При превышении турбулентного касательного напряжения у дна критического значения волна взмучивает донные осадки, осуществляя их горизонтальный перенос. Расмотренный механизм переноса наносов, по-видимому, является определяющим в поперечном переносе наносов на шельфе и континентальном склоне.

3. Концентрация взвешенной волной алевритовой фракции (~ ) быстро убывает с удалением от дна, более мелкие фракции не взвешиваются волной. Расход наносов поперёк склона отрицателен и направлен вниз по склону, расход наносов вдоль изобат также отрицателен и сонаправлен с проекцией горизонтального волнового вектора.

 

 

                                    Литература

1. Блатов А.С., Иванов В.А. Гидрология и гидродинамика шельфовой зоны Чёрного моря.- К.: "Наукова Думка", 1992.-237 с.

2. Михинов А.Е. Транспорт донных наносов в волновом потоке // Моделирование гидрофизических процессов в замкнутых водоёмах и морях.-М.:Наука,1989.-С.139-149.

3. Ястребов В.С., Парамонов А.Н. и др. Исследование придонного слоя буксируемыми аппоратами. М.: изд. ИО АН СССР, 1989, 128с.

4. Борисенко Ю. Д., Воронович А.Г., Леонов А.И., Миропольский Ю.З. К теории нестационарных слабонелинейных внутренних волн в стратифицированной жидкости // Изв. АН СССР ФАО.- 1976.-т. 12, N 3,- C. 293-301.

5. Grimshow R. The modulation of an internal gravity wave packet and the resonance with the mean motion.// Stud. In Appl. Math.- 1977.- v.56.-p.241-266.

6. Дворянинов Г.С. Эффекты волн в пограничных слоях атмосферы и океана.-Киев: Наукова Думка, 1982.-176 с.

7. Слепышев А.А. Процессы переноса, обусловленные слабонелинейными внутренними волнами при наличии турбулентности // Изв. РАН ФАО, 1997.- № 4, с. 536-548.

8. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане. М.: Мир,1981,ч.1-478 с.

9. Brink K.H. A comparision of long coastal trapped waves theory with observation off Peru // J. Phys. Oceanogr.- 1982.-V.12.-No 8.-P. 897-913.

10. Rhines P. Edge-,bottom-,and Rossby waves in a rotating stratified fluid // Geophys. Fluid Dyn.-1970.-V.1-P.273-302.

11. Ou, H.-W. On the propogation of free topographic Rossby waves near continental margins. Part 1 Analitical model for a wedge // Journal of Physical Oceanography.--1980 -Vol. 10.-N 7.- P. 1051-1060.

12.Пантелеев Н.А. Слепышев А.А. Воздействие мелкомасштабной турбулентности на придонные топографические волны // Морской гидрофизический журнал.-2000, № 1-С. 3-18

13.Задорожный А.И. Затухание длинных волн в экспоненциально стратифицированном море // Морские гидрофизические исследования.-1975,№3.-С 96-110.

14.   Черкесов Л.В. Гидродинамика волн, Киев: Наукова Думка.-1980.-259 с.

15. Шапиро Г.И., Аквис Т.М., Пыхов Н.В., Анциферов С.М. Перенос мелкодисперсного осадочного материала мезомасштабными течениями в шельфово-склоновой зоне моря // Океанология.-2000.-Том 40.-№ 3.-С. 333-339.

16.  Анциферов С.М., Дебольский В.К Распределение концентрации взвесей в стационарном потоке над размываемым дном.// Водные ресурсы.- 1997.-Том 24.- № 3.-с.270-276.

17. Green O., McCave I.N. Seabed drag coefficient under tidal currents in the eastern Irish Sea// Journal of Geophysical Research- 1995.-Vol. 100.- № C8.-P. 16057-16069.

18. Озмидов Р.В. Диффузия примесей в океане.-Л.: Гидрометеоиздат.-1986.-280 с.

 19. Uncles R.J., Stephens J.A. Distribution of suspended sediment at high water in a macrotidal estuary // J.Geophys. Res.-1989.-V.94.-P.14395-14405.

20. Van Rijn L. Principles of sediment transport in rivers, estuaries and coastal seas. Aqual Publ.-1993.-720 p.

21. Щербаков Ф.А, Куприн П.Н., Потапова Л.И., Поляков А.С., Забелина Э.К., Сорокин В.М. Осадконакопление на континентальной окраине Чёрного моря.-М.: Наука,1978.-210с.

22. Айтбулатов Н.А. Динамика твёрдого вещества в шельфовой зоне.Л.: Гидрометеоиздат, 1990.-271с.

23. Шамов Г.И. Речные наносы.-Л.: Гидрометеоиздат,1959.-378с.

 

 

УДК 551.466.8

 

     

                                    А Н Н О Т А Ц И Я

К статье Слепышева А.А. "Транспортные свойства придонных топографических волн на шельфе и континентальном склоне."

 

В приближении Буссинеска для захваченных наклонным дном топографических волн определены средние течения, индуцированные волной за счёт нелинейности

при наличии стока энергии волны в турбулентность для плоского склона произвольной ориентации. В диффузионном приближении находится вертикальное распределение концентрации наносов, взвешенных волной. Определяется расход наносов вдоль и поперёк изобат.

 

                                             

                                                            Ответ

рецензенту статьи Слепышева А.А. «Транспортные свойства придонных топографических волн на шельфе и континентальном склоне»

   

  Автор доработал статью в соответствии с замечаниями рецензента. Первая часть статьи сокращена, в частности, Приложение, на которое есть ссылка в первой части статьи, убрано, т. к. предложенный метод аналитического решения системы дифференциалных уравнений общеизвестен.

 

   5.03.2002 г.                                                                А.А. Слепышев     

 

 

Редакции журнала

«Физика атмосферы и океана»

Пыжевский пер., д.3

Москва, Ж-17, 109017

Россия

 

 

                             Глубокоуважаемая редакция!

   Высылаю два доработанных и один первоначальный варианты статьи

Слепышева А.А. «Транспортные свойства придонных топографических волн на шельфе и континентальном склоне». Статья доработана в соответствии с замечанием рецензента, в частности, сокращена первая часть статьи и Прил