Утверждение 2» нами полностью доказано

*******

Примечание

1. Понятно, что приведенное доказательство «Утверждения 2» для q = 4 = 2^m, где m = 2, распространяется и на показатель степени q=2^m при m>2 – натуральном.

2. Если уравнение a^l+ b⁴= c⁴, где ≥2 - четное, неразрешимо в попарно простых целых числах a, b, и c, то и уравнение a⁴+ b⁴= c⁴ не только неразрешимо в этих же числах, но и вообще неразрешимо ни в каких других целых числах ( не являющихся попарно взаимно простыми целыми числами).

Вывод:Великая теорема Ферма для показателя l= q = 4 доказана.

3. Результат доказательства, а именно четность чисел a, b, c в уравнении a^l+ b⁴= c⁴ ( ≥2 - четное), а, следовательно, в уравнении a⁴+ b⁴= c⁴ дает возможность в этом уравнении применить метод бесконечного спуска, о чем в свое время не только упоминалось самим Ферма, но и им использовалось.

На основании Выводов о Великой теореме Ферма (стр.34, стр.49) получаем окончательный вывод.

Окончательный «Вывод»: Великая теорема Ферма доказана.

********

Утверждение 3

Часть 1

Уравнение ( ≥ 3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2^m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.

Часть 2

Возможны случаи: либо b = ± 1, либо c = ± 1.

*********

Часть первая (Утверждения 3)

Доказательство

Первая часть доказательства «Утверждения 3» аналогична «Части первой» доказательства «Утверждения 2».

Итак, имеем уравнение (1), где ≥ 3 – нечетное натуральное, числа a, b, c (если, конечно, они существуют) – попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение – вопреки «Утверждению 3»), среди которых только одно четное число a.

Из уравнения (1) следует:

=> (2).

Пусть (3), где и β - целые числа, отличные от нуля и c²+ b²= 2 β (4), где β – нечетное число при с и b – нечетных.

******

Примечание

То, что β в уравнении (4) нечетное число, хорошо известный факт в теории чисел, который мы ранее уже учитывали («Примечание», стр. 35).

Представим нечетные числа b и c в виде:

b = 2n₁ + 1; c = 2n₂ + 1, где n₁ и n₂ - произвольные целые числа. Тогда

b² + c²= (2n₁ + 1)² + (2n₂ + 1)² = 2 [2 (n₁²+n₂²+n₁+n₂) + 1],

где в квадратных скобках нечетное число, что и требовалось доказать

*******

Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4)):

= , где c² + b² ≠ 0, т.к. c ≠ 0, b ≠ 0, т.е.

(5),

где k – целое число, отличное от нуля, т.к. c и b взаимно простые целые числа.

Из соотношений (4) и (5 ) определяем b² и c²:

=> =>

Откуда β = b²+ 2^l^-2k (8) - нечетное число (из (4)) при b – нечетном и 2^l^-2k - четном, т.к. ≥ 3 – нечетное натуральное число.

Вывод:

1. Из соотношения (4) имеем:

(9) - нечетное число.

2. Из соотношения (5) имеем:

(10) пропорционально 2 (явно), т.е. - четное число.

Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.

*******

Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c и . Учитывая соотношения (6) и (7), получим:

т.е. (11),

где - целые числа, которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства «Утверждения 1» (для ), могут быть выражены через другие целые числа следующим образом:

(12) - нечетное число при - нечетном;

(13) - нечетное число при - нечетном;

(14) - нечетное число при - нечетном;

(15) - четное число.

Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t =0 и r=0 (при t =0 и - четные из (12) и (13), при r=0 = 0 (из (15)) => а = 0 (из (3)), что противоречит нашему допущению).

Для простоты опять ( как в утверждениях 1 и 2 ) обозначим правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е.

= С

= В

= N

= К,

и рассмотрим с лучай, когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие1.

Условие1 (начало).

с ² = С

b² = B

= N

Случай «+».

(12+) - нечетное число при - нечетном;

(13+) - нечетное число при - нечетном;

(14+) - нечетное число при - нечетном;

(15+) - четное число.

Казалось бы, все нормально: четность чисел в (12+), …, (15+) совпадают при -нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.

Однако не все так просто.

Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.36)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 2», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа .

Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (12+) и (13+):

т.е. => () пропорционально 4, откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36),

Т.е ., вопреки «Выводу», является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (14)) при - четном.

Однако, если - четное, то (в (12+) и (13+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

*******

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1(начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах, где - нечетное натуральное число.

********

Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (12+), …, (15+) стояли «плюсы».

Случай, когда перед теми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному. Вывод тот же. (Смотри Случай «-» на стр.8.)

*********

Примечание

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N, К стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 3.

********

Т.к. уравнение (11) симметрично для с ² и b ², (для уравнения 11 они равнозначны), то с ²и b ²могут меняться своими выражениями (C и В). Это свойство назовем «новым свойством ». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки.

Условие 2 (начало).

с ² = В

b² = С

= N

«Новые» случаи «+» и «-».

(12´±) c² =± В

(13´±) b ² =± С

(14±) =± N

(15±) =± К.

И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.36)), !

Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях «+» и «-» является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (14±)) при - четном.

Однако, если - четное, то (в ( (12´±) и ( (13´±) ) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию ( в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

********

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

*******

Примечание

Осталось исследовать еще 14 случаев,рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы).

Но об этом во 2-ой части данного Утверждения 3.

********

Уравнение (11) симметрично и для и для (для уравнения (11) они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями (N и К). Это свойство назовем «похожим свойством и ». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых и меняются своими выражениями (N и К)).

Условие 3.

с ² = С

b² = B

= К

«Похожие» случаи «+» и «-».

(12±) c² = ± () = ± С

(13±) b ²= ± () = ± В

(14´±) = = ± К

(15´±) = ± N.

Согласно одному из Выводов (формула (10) пропорционально 2 (явно), при . Но это возможно, глядя на четное (15´±) = ±N= ±() только при t-четном, при которых в (12±) и (13±) c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию ( в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

*******

В остальных 14 «похожих» случаях, где опять же = ± N= ± ( ) и перед С, В, N, К стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » ( пояснение (стр.10), подобное для проведено при доказательстве Утверждения 1 ), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть.

Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

********

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

*******

Вывод

1. Таким образом, в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3 уравнение (1) (1), где ≥ 3 – нечетное натуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

2. 1-я часть «Утверждения3» ( для Условий 1 (начало), 2 (начало) и 3 ) доказана.

*********

Часть вторая (Утверждения3)

Возможны случаи: либо , либо .

(Об «Исключении» из общего правила)

Доказательство

Казалось бы, мы должны рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12), …, (15) стоят разные знаки (как при доказательстве «Утверждения 2» в части 2). Интуиция подсказывает, что э та процедура опять нас приведет к известным значениям b и c: либо (из ), либо (из ), либо b и c – четные, чего не должно быть, либо b и c не являются целыми числами (подобно доказательству части 2 «Утверждения 2»).