Паспорт прочности горных пород

ЛЕКЦИЯ 6

 

                     Механические теории прочности

 

Разрушение горных пород при действии на них механических нагрузокіпроисходит в том случае, когда действие нагрузок обеспечивает преодоление внутренних сил связи в породе. Это может произойти на площадкеі(сечении) любой ориентации внутри тела. Так как величина задаваемыхівнешних напряжений s₁, s₂, s₃, при которых происходят прочностные испытания образцов горных пород, могут быть совершенно различными, то очевидно, что невозможно перебрать все значения напряжений s₁, s₂, s₃ в эксперименте для оценки сопротивляемости образцов горных пород разрушению. Эта цель достигается с помощью механических теорий прочности (критериев прочности). Главная задача механической теории - определить критерий разрушения тела при любом сложном напряженном состоянии, зная прочность тела при простейших испытаниях (напряженных состояниях).

В настоящее время существует большое количество механических теорий прочности. Это связано с большим разнообразием материалов, обладающих различными свойствами. Для горных пород наиболее применимыми являются теории Кулона и Мора.

Теория Кулона. Эта теория и ее модификация (теория Кулона-Навье) получила подтверждение на практике. Разрушение образца горной породы, находящегося в сложном напряженном состоянии сжатия, происходит в результате развития в нем сдвиговой трещины. Происходит это тогда, когда предельного значения t_о достигнут главные касательные напряжения t₁, t₂, t₃:

         │ t₁ │ ³ t_о,│ t₂ │ ³ t_о, │ t₃ │ ³ t_о,

 

где t_о - прочность образца на сдвиг при растяжении и сжатии. Эту величину часто на-зывают когезионной прочностью, сцеплением горной породы, так как она определяется не только энергией связей в структуре породы, характеризующих её адгезионную и когезионную прочность, но и с зацеплением частиц друг за друга при сдвиге, с затратой усилий на вращение,іперемещение частиц в плоскости сдвига.

Так как среди главных касательных напряжений наибольшим являетсяіt₂, то условие разрушения, выраженное через главные нормальные напряжения, принимает вид:

(s₁ - s₃) / 2 ³ t_о.

 

При выполнении записанного условия горная порода разрушается с образованием плоскости (поверхности) скольжения. Плоскость, по которой происходит сдвиговое разрушение, делит пополам угол между направлением действия напряжений s₁ и s₃, т.е. плоскость сдвига должна быть наклонена под углом 45⁰ к направлению действия осевой нагрузки. Экспериментально этот вывод не подтверждается: в экспериментах на сжатие плоскость сдвига составляет с направлением наибольшего нормального напряжения угол, меньший 45⁰.

Если же приведенное выше условие разрушения не выполняется, и нагрузка t₂ действует длительное время, то в зависимости от величины t₂ образец горной породы может разрушиться спустя какое-то время в результате развития в образце незатухающей ползучести (если t₂ велико), но если величина нагрузки мала, то развитие затухающей ползучести обеспечивает стабилизацию деформации образца во времени и разрушения не происходит.

Серьезным недостатком теории Кулона является содержащееся в ней предположение о том, что материал обладает одинаковым сопротивлением растяжению и сжатию.

Теория Кулона-Навье. Уже Кулон предполагал, что на процесс разрушения при сжатии оказывает влияние не только сцепление t_о, но и «внутреннее трение», появление которого связано с трением противоположных сторон сдвиговой трещины.

Основное положение теории Кулона-Навье: нормальное напряжение s,действующее в плоскости сдвигового разрушения, повышает сопротивление тела сдвигу на величину, пропорциональную величине этого нормального напряжения. Разрушение твердого тела в этом случае произойдет тогда, когда касательное напряжение, действующее в плоскости сдвига, достигнет величины

                                        t = t_о + m.s,                                           (12)

где m.s - напряжение трения, m - постоянная материала, именуемая как «коэффициент внутреннего трения». Внутреннее трение можно рассматривать как дополнительные силы сцепления в горной породе, возникающие между поверхностями сдвиговой трещины под действием среднего нормального напряжения.

Из формулы (12) следует, что величина напряжения сдвига t линейно зависит от нормального давления, действующего в этой же плоскости. На основании этого предположения Кулон нашел, что угол b между осью нагружения и плоскостью разрушения определяется выражением

 

                                       b = 45^о - j/2,

где tg j = m.

Слагаемое m.s в выражении (12) для t по форме записи аналогично выражению для силы трения на наклонной плоскости, вызванной нормальной реакцией, и по этой причине коэффициент m назван коэффициентом внутреннего трения. Поясним это с помощью рисунка 18, на котором изображенігруз весом G, находящийся на наклоненной под углом j к горизонту плоскости.

При малых значениях угла j груз не в состоянии скользить по плоскости из-за наличия силы трения F _тр между грузом и плоскостью. В этом случае сила трения F _тр превосходит величину силы скольжения F _с.

 

 

По определению имеем F _тр = m. F _н, где F _н - нормальное давление или прижимающая сила, m - коэффициент трения. Величина силs F _н легко находится через вес груза: F _н = G. cosj. Движение груза по наклонной плоскости начнется при увеличении угла j и достижении силой трения величины силы скольжения: F _тр = F _с. В этом случае будет справедливо равенство m G cosj = G·sin j, из которого следует, что коэффициент внутреннего трения m определяется через угол j:

                                                        m = tg j.

Термин «внутреннее трение» следует понимать как способность горной породы повышать сопротивление разрушению под влиянием среднего нормального напряжения сжатия s_ср, действующего в образце (на плоскости сдвига увеличиваются силы адгезионного взаимодействия между частицами, сила трения).

К физической особенности развития трещин сдвига в горных породах следует отнести образование на плоскости сдвига порошкообразного материала, обладающего высокой дисперсностью.

Наличие жидкости в горной породе изменяет развитие разрушения, т.к. внешняя нагрузка воспринимается уже не только твердым скелетом породы, но и жидкостью, находящейся в порах. Если геометрия порового пространства горной породы обеспечивает дренируемость жидкости, то под действием напора Р _n/g_ж, где Р _n - давление жидкости в поре, g_ж - удельный вес жидкости, произойдет фильтрация жидкости из образца, из очага разрушения. Это вызовет уплотнение породы, при этом все меньшая часть внешней нагрузки будет восприниматься жидкостью. При полном удалении жидкости из образца критерий разрушения будет иметь вид (12), но с несколько иными числовыми значениями слагаемых.

Критерий Кулона-Навье для пористых горных пород, насыщенных недренируемой жидкостью, глин имеет иной вид:

 

                           t = t_о + (s_ср - Р _n).tg j.                                              (13)

 

Из уравнения (13) следует, что поровое давление Р _n не уменьшает прочность сцепления породы t_о, а снижает величину слагаемого, связанного с действием нормального напряжения. Это означает, что рост порового давления стимулирует сдвиговую неустойчивость горной породы: снижает суммарное сопротивление сдвигу. Подчеркнем, что рассмотренные явления не оказывают влияния на изменение величины коэффициента трения: жидкость, находящаяся в порах под высоким давлением, в развивающихся сколах не служит смазкой. Поровая жидкость является смазкой только в случае проникновения её на адгезионную границу. Заметим, что появление на адгезионных границах жидкости (воды) может происходить вследствие дегидратации минералов, входящих в состав горных пород.

Величина s_ср - Р _n = s_эфф, входящая в состав второго слагаемого формулы (13), называется эффективным напряжением. Увеличение порового давления обеспечивает снижение напряжения s_ср, действующего между твердой компонентой горной породы, приводит к снижению эффективного нормального напряжения. Появление эффективного нормального напряжения препятствует закономерному уплотнению горной породы с увеличением глубины залегания пород. Появление аномального уплотнения свойственно горным породам, имеющим большую пористость. В первую очередь, это отличает глинистые горные породы, которые не только имеют большую пористость, но и обладают способностью к образованию связанной воды. Последнее препятствует отжиму воды при сжатии глинистой горной породы. По этой причине критерий Кулона-Навье для глинистых горных пород имеет вид (13).

Энергетическая теория прочности. Энергетическая теория прочности учитывает совместное влияние напряжений и деформаций на разрушение. Согласно этой теории, разрушение образца горной породы наступает тогда, когда энергия формоизменения W _ф достигает предельной величины W _ф^* : W _ф ³ W _ф^*. Если возникновение разрушения связать с появлением пластической деформации в горной породе, то приведенный выше критерий разрушения примет вид:

 

2t_т² = (s₁ - s₂)² + (s₂ - s₃)² + (s₁ - s₃)²,

 

где t_т - предел текучести. Иначе говоря, работа формоизменения связана с действием касательных напряжений, со сдвигами.

Теория прочности Мора. Эта теория предназначена для описания поведения горных пород, находящихся в сложном напряженном состоянии сжатия под действием напряжений s₁ > s₂ > s₃.

В теории Мора постулируется, что ответственными за разрушение являются касательные напряжения, действующие на площадках различной ориентации внутри тела. Разрушение горной породы происходит в результате сдвига по таким площадкам, на которых касательное напряжение достигает предельной для данной горной породы величины t_max, причем величина предельного касательного напряжения на площадках не является постоянной для данного тела (как принято в теории Кулона и энергетической теории), а зависит от величины нормального напряжения, действу-ющего на этих же площадках: t_max = f(s) (т.е. взятые в отдельности нормальные и касательные напряжения не характеризуют опасное состояние). Площадки, на которых выполняется это условие, называются площадками скольжения (площадки предельного равновесия).

Теория Мора дает двумерное геометрическое представление о напряженном состоянии, возникающем в горной породе при сложном нагружении. Показывается, что связь нормального s и касательного t напряжений, действующих в теле на площадках предельного равновесия, с главными нормальными напряжениями s₁, s₂, s₃, при помощи которых осуществляется неравнокомпонентное испытание образца горной породы, имеет вид:

 

[ s - ( s₁+s₂ )/2] ² + t² = [( s₁-s₂ )/2] ² = R ₃² = t₃²,

[ s - ( s₂+s₃ )/2] ² + t² = [( s₂-s₃ )/2] ² = R ₁² = t₁²,

[ s - ( s₁+s₃ )/2] ² + t² = [( s₁-s₃ )/2] ² = R ₂² = t₂².

 

Эти уравнения характеризуют окружности различных радиусов R ₁, R ₂, R ₃ на плоскости s - t. Расположение кругов напряжений Мора на координатной плоскости s - t представлено на рис. 19. Диаметр окружности, проходящий через любую точку B, находящуюся на большей окружности, образует с осью s угол 2a (рис.20).

Круги напряжений Мора являются геометрическим местом точек, координаты которых определяют нормальные и касательные напряжения, действующие на площадках любой ориентации. В этом легко убедиться, рассмотрев рис. 20: величины t и s в точке B выражаются следующим образом:

 

t = BK = BC.sin2a = AD sin2a /2 = [( s₁-s₃ )/2]. sin2a,

 

s = OK = OA + AC + CK = s₃ + ( s₁-s₃ )/2 + [( s₁-s₃ )/2]. cos2a =

 

= ( s₁ + s₃ ) / 2 + [( s₁- s₃ ) / 2]. cos2a.

 

                 

                                             Рис. 19. Круги напряжения Мора

Из рассмотрения диаграммы Мора (рис.19, 20) видно, что наибольшее значение касательного напряжения, равное величине t₂ = (s₁-s₃)/2, достигается в том случае, когда угол a наклона рассматриваемой площадки к плоскости главных напряжений равен 45^о. Окружность радиуса R ₂ (рис. 20, отрезок СL) определяет условие разрушения горной породы: является предельной для данного напряженного состояния и определяет деформационное поведение горной породы при ее механическом нагружении: если величина R ₂ = t₂ = t_max достигает значения t_пр, характеризующего прочность данной горной породы на сдвиг, то порода будет разрушена. Если же величина возникающих в горной породе касательных напряжений удовлетворяет условию R ₂ = t₂ < t_пр, то разрушения горной породы не произойдет.

Существенный недостаток теории Мора заключается в следующем. Горная порода изначально находится в трехосном напряженном состоянии сжатия: s₁ ¹ 0, s₂ ¹ 0, s₃ ¹ 0. Окончательный же вывод свидетельствует о том, что напряжение s₂ на прочность горных пород не влияет. Между тем, эксперименты показывают, что с ростом напряжения s₂ прочность горной породы растет.

Паспорт прочности горных пород

Если для нескольких простых напряженных состояний опытным путем определить величину предельного состояния (радиус R ₂ = (s₁ - s₃)/2), и изобразить их на одной диаграмме в виде кругов напряжений Мора, то все семейство кругов Мора будет иметь одну огибающую, которая и является паспортом прочности горной породы.

Если паспорт прочности горной породы известен, то не составляет труда определение того, разрушится ли исследуемая горная порода при конкретных значениях главных нормальных напряжений s₁, s₂, s₃ или не разрушится.

Для оценки сопротивления горных пород нагрузкам s₁^*, s₂^*, s₃^* необходимо определить положение центра окружности на оси s и из него восстановить перпендикуляр, равный по величине главному касательному напряжению t₂ = ( s₁^*- s₃^* )/ 2. Если при этом перпендикуляр пересекает и выходит за огибающую, то горная порода при данных значениях главных нормальных напряжений s₁^*,s₂^*,s₃^* разрушится. Если же перпендикуляр не пересекает огибающую, то горная порода выдержит данное напряжение без разрушения.

Теория прочности Мора является обобщением теории Кулона и Кулона-Навье. Исходя из геометрических построений Мора, критерию прочности Кулона-Навье можно придать следующий вид (рис.21).

Если изобразить огибающую в виде прямой линии, касающейся точки М, и обозначить через j угол наклона огибающей к оси s, то критерий прочности Кулона-Навье принимает вид:

t_пр = t_о + s_*. tg j,

tg j = (t_пр - t_о) / s_*.

Сравнение критерия Кулона-Навье с последним выражением показывает, что они совпадают