Список использованных источников

Основная часть

 

Хорошо известно, что высший аналог второго уравнения Пенлеве [5]

 

 

имеет преобразование Беклунда и обратное к нему, определяемые формулами

 

, (1)

, (2)

 

соответственно с произвольным параметром .

Это означает, что если известно решение уравнения

 

 (3)

 

при некотором фиксированном значении параметра , то формула (2) позволяет получить решение уравнения  при фиксированном значении параметра .

И наоборот, если известно решение уравнения  при фиксированном значении параметра , то с помощью (1) можно получить решение уравнения (3).

При этом предполагается, что знаменатели дробей в (1) и (2) при любых значениях z отличны от нуля.

Система (1), (2) эквивалентна по  уравнению:

 

, (4)

 

где

 

 

Относительно  система (1), (2) также эквивалентна уравнению шестого порядка

 

, (5)

 

где

 

 

Нетрудно проверить, что уравнение (5) получается из (4) с помощью преобразований , .

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Все решения уравнения  являются одновременно решениями уравнения (4).

В справедливости данной теоремы можно убедиться, если из  найти ,  и вместе с  подставить в уравнение (4).

Остановимся на некоторых свойствах решений уравнения . Лемма. Уравнение  можно записать в виде системы

 

 (6)

 

Справедливость этого утверждения устанавливается исключением  из системы (6).

Заметим, что из (6) также следует существование трёхпараметрического семейства решений уравнения  при , которое определяется общим решением уравнения

 

 (7)

 

Действительно, если в (6) положить , , то мы получаем уравнение (7).

Для интегрирования уравнения (7) введём функцию . Тогда  и система (6) перепишется в виде

 

 (8)

 

а уравнение (7) - в виде

 

. (9)

 

Ясно, что уравнение (9) интегрируется посредством первого трансцендентна Пенлеве  заменой , , где , . Таким образом, справедлива [5]

Теорема 2. Произвольное решение уравнения Риккати , где q - произвольное решение первого уравнения Пенлеве, является решением уравнения .

Известно также [5], что уравнение  имеет рациональные решения тогда и только тогда, когда . Они легко получаются из тривиального решения  при  с помощью формул (1), (2). В частности, при  имеем решение , а при  решение .

Характерной особенностью уравнения  является то, что оно является частным случаем уравнения

 

,

где , , ,

 

получающегося из высшей иерархии  Кортевега де Фриза

 

, (10)

где , ,  

 

при помощи редукции

 

, .

 

При  уравнения  и (10) являются [6] классическими уравнениями Кортевега де Фриза и вторым уравнением Пенлеве связанными преобразованием

 

, .

 

Для  в  получаем уравнение . Ещё одной важной особенностью уравнения  является то, что оно имеет трёхпараметрические и двухпараметрические семейства полярных решений [7]. В силу теоремы 1 таким же свойством обладает и уравнение (5).

Подробное описание различных свойств решений уравнения  в связи с их многочисленными приложениями содержится в учебном пособии [8].

Заключение

 

Исследование аналитических свойств решений системы двух нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка, порождаемой прямым и обратным преобразованиями Беклунда высшего аналога второго уравнения Пенлеве позволило доказать существование у неё четырёхпараметрического семейства решений, порождаемого общим решением высшего аналога второго уравнения Пенлеве. На основании этого доказано существование у системы рациональных, а также двух - и трёхпараметрических семейств полярных решений. Работа (в рамках поставленной задачи) является завершённой.

В процессе исследований использовался пакет символьных вычислений МАТЕМАТИКА.

Список использованных источников

 

1. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. - М.: Мир. 1987. - 479 с.

2. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. - М.: Мир. 1989. - 328 с.

3. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. - М.: Мир. 1985. - 472 с.

4. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. - Л.: 1982. - 255 с.

5. Gromak V.I. Backlund transformations of Painleve’ equations and their applications // The Painleve’ property, one century later. CRM series in Mathematical Physics /. Ed. R. Conte. - New York: Springer-Verlag, 1999. - P.687-734.

6. Airault H. Rational solutions of Painleve’ equations // Stud. Appl. Math. - 1979. - Vol.61. - P.31-53.

7. Громак В.И., Голубева Л.Л. Обобщённое второе управление Пенлеве четвертого порядка // Весцi НАН Беларусi. Серыя фiз. - мат. Навук. - 2004 (в печати).

8. Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. - М. 2002. - 304 с.