2020-01-14
288
Означення. Якщо кожному елементу x з області визначення D за деяким правилом поставлено у відповідність один і тільки один елемент y з області значень E, то говорять, що задано функцію y=f ( x ).
Функцію на практиці задають таблично, графічно, аналітично (за допомогою формули).
Приклад. Залежність (функцію) прибутку від витрат на рекламу задана такою таблицею:
| Витрати на рекламу x | Прибуток f (x) |
| 50 | 80 |
| 100 | 220 |
| 140 | 240 |
| 160 | 210 |
| 200 | 160 |
Областю визначення цієї функції є множина D ={50;100;140;160;200}, областю значень – множина E ={80;220;240;210;160}.
Приклад. Залежність (функція) Q ( p ) попиту Q на товар від його ціни p задана графіком (рис. 4.1).
Q
 |
Q 1
Q 2
 |
p 1 p 2 p
Рис. 4.1.
Областю визначення цієї функції є відрізок D =[ p 1; p 2], а областю значень – відрізок E =[ Q 1; Q 2].
Приклад. Загальні витрати TC на виробництво Q одиниць продукції є функцією, що задана аналітично:
|
|
|
TC (Q) = 20 + 5 Q,
де 20 ‑ це фіксовані витрати (опалення, зарплата сторожеві, тощо), а 5 – це змінні витрати (витрати на кожну одиницю продукції).
Означення. Число b називається границею функції y=f (x) в точці a, якщо для довільної послідовності { x n}, що збігається до точки (числа) a, відповідна послідовність значень функції { f (x n)} буде збігатися до числа b.
Використовують позначення 
За допомогою кванторів ∃ та ∀ це означення можна записати так:
≡ (∀e>0)(∃d>0)(∀ x)[| x - a |<d ® | f (x)- b | <e]
Приклад. Розглянемо функцію 
.
і співпадає із значенням y (1) = 2;
;
не існує.
Приклад. Розглянемо функцію 
.
Тут 
, хоча y (10)=5.
Границі функцій мають такі властивості:
1. якщо існують границі 
та 
, то
;
2. якщо існують границі та , то
;
3. якщо існують границі 
та 
, причому 
, то 
.
Означення. Функція y = f (x) називається неперервною в точці x = a, якщо існує границя цієї функції в точці a і 
Приклад. Зарплата W продавця залежно від кількості x проданого товару (рис. 4.2) є функцією вигляду
W
50 x
Рис. 4.2.
Функція W (x) у точці x =50 не є неперервною (вона має розрив). Справді, хоча W (50)=200, проте границі 
не існує.
Приклади обчислення границь:
(тут використано властивість неперервності функцій 
та y = x 2);
|
|
|
2) знайти 
. Безпосередньо застосувати третю властивість не можна, оскільки 
, тому спершу скорочуємо дріб.
Тепер 
;
3) 
.
