2020-01-14
104Аналитическая геометрия
Методическая разработка для самостоятельной
работы студентов по курсу «Высшая математика»
Магнитогорск
2007
Составитель: Акуленко И. В.
Аналитическая геометрия: Методическая разработка для самостоятельной работы студентов по курсу «Высшая математика» для студентов всех специальностей. Магнитогорск: МГТУ, 2007. 30 с.
Методическая разработка содержит перечень вопросов по изучаемому разделу, решение типовых задач по изучаемому разделу.
Рецензент: старший преподаватель Коротецкая В. А.
Введение
Методическая разработка предназначена для студентов всех специальностей.
Данная методическая разработка ставит своей целью помочь студенту самостоятельно овладеть методами решения задач по разделу «Аналитическая геометрия».
В методической разработке:
· содержится теоретическое введение;
· решение типовых задач;
· указана литература.
Методическая разработка предоставляет студенту широкие возможности для активной самостоятельной работы.
Прямая на плоскости
1) 
– общее уравнение прямой;
2) 
– уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0, у0) перпендикулярно нормальному вектору 
3) 
уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0, у0) параллельно направляющему вектору 
(каноническое уравнение прямой);
4) 
параметрическое уравнение прямой;
5) 
уравнение прямой в отрезках, где 
и 
- величины направленных отрезков, отсекаемых на координатных осях 
и 
соответственно;
6) 
уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0, у0), 
угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси ;
7) 
уравнение прямой с угловым коэффициентом 
; - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ;
8) 
тангенс острого угла между двумя прямыми 
и 
9) 
и 
условия параллельности и перпендикулярности двух прямых и
10) 
расстояние от точки М0(х0, у0) до прямой ;
11) 
уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения прямых 
и 
12) 
уравнение прямой, проходящей через две данные точки М1(х1, у1) и М2(х2, у2);
Пример 1. Даны вершины треугольника М1(2; 1), М2(-1; -1) и М3(3; 4). Составить уравнения его высот.
Решение.
Пусть М1N – высота треугольника М1М2М3. Рассмотрим два вектора 
и 
По условию эти векторы ортогональны.
Значит, 
Аналогично находим другие высоты треугольника.
Ответ: 
Пример 2. Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами А(3; 2), В(5; -2), С(1; 0).
Решение.
1) Воспользуемся уравнением прямой, 
АВ: 
Найдем уравнение медианы АМ. Для этого найдем координаты точки М – середины отрезка ВС:
М(3; -1).
Уравнение АМ: 
уравнение медианы, проведенной из вершины А.
2) Найдем уравнения СВ и CN; N(x; y), где 
N(4; 0).
Тогда ВС: 
CN: 
Ответ: АВ: 
ВС: СА: 
АМ: 
СN: 
BF: 
Пример 3. Даны вершины треугольника А(1; -1), В(-2; 1) и С(3;5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.
Решение.
 |
По условию 
следовательно, 
Тогда искомое уравнение будет: 
Ответ: 
Пример 4. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин В(2;-7), а также уравнение высоты 
и медианы 
проведенных из различных вершин.
Решение.
1) По условию есть уравнение высоты треугольника, значит, её нормальный вектор 
является направляющим вектором стороны ВС.
(ВС).
2) Обозначим координаты вершины А через x1, y1: A(x1; y1). Так как точка М(х; у) середина отрезка АВ, то 
Так как точка М(х; у) лежит на медиане, то её координаты удовлетворяют уравнению 
Кроме того, точка А лежит на высоте h: , значит, координаты точки A(x1; y1) удовлетворяют этому уравнению. Получаем линейную алгебраическую систему двух уравнений с двумя неизвестными:
Отсюда находим х1=-4, у1=1, А(-4; 1).
3) Найдем уравнение стороны АВ треугольника как уравнение прямой, проходящей через В(2; -7) параллельно вектору 
(АВ).
4) Найдем координаты вершины С как точки пересечения прямых (ВС) и (m):
отсюда С(5; -6).
5) Уравнение стороны АС как уравнение прямой, проходящей через две данные точки: А(-4; 1) и С(5; -6); 
(АС).
Ответ: (ВС) 
, (АВ) ,
(АС) .
Пример 5. Составить уравнение биссектрис углов между прямыми 
.
Решение.
Точка М(х, у) лежит на одной из биссектрис углов, образованных данными прямыми тогда и только тогда, когда расстояние d1 и d2 от этой точки М до данных прямых равны между собой: d1=d2 , т.е.
Значит, уравнение одной из биссектрис имеет вид: 
, а уравнение другой 
или 
Ответ: 
Пример 6. Составить уравнение биссектрисы того угла между двумя прямыми 
в котором лежит точка А(2; -1).
Решение.
Подставляя координаты точки А в левые части уравнения прямых, получим 2+7(-1)+3<0, 2-1+2>0. Значит, точка А лежит в тех полуплоскостях от данных прямых, для координат точек которых 
Искомая биссектриса проходит, следовательно, в тех областях, для координат точек которых функции 
и 
имеют разные знаки. Значит, уравнение искомой биссектрисы: 
или 
Ответ: 
Плоскость
1) 
уравнение плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно нормальному вектору 
 |
2) 
общее уравнение плоскости, 
- нормальный вектор этой плоскости.
3) 
уравнение плоскости в отрезках, где a, b, c – величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью 
на координатных осях Ох, Оу, Оz соответственно;
4) Пусть даны две плоскости 
В качестве угла 
между плоскостями 
и 
принимается угол между их нормальными векторами: 
или в координатной форме
5) Условие перпендикулярности двух плоскостей и : 
или в координатной форме: 
.
6) Условие параллельности двух плоскостей 
и : 
7) Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:
М1(х1; y1; z1), М2(х2; y2; z2), М3(х3; y3; z3):
 |
или в координатной форме: 
8) Если плоскость 
задана общим уравнением 
а 
- некоторая точка пространства, то 
есть формула расстояния от точки М0 до плоскости 
.
9) Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком плоскостей.
Если 
и 
есть уравнения двух различных непараллельных плоскостей, пересечением которых служит некоторая прямая L, а числа 
любые не равные одновременно нулю, то 
есть уравнение плоскости, проходящей через прямую L. Более того, какова бы ни была проходящая через прямую L плоскость, она может быть определена из пучка плоскостей при определенных значениях 
.
Пример 1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(2; 1; -1) и имеет нормальный вектор 
Решение.
 |
Для вывода уравнения плоскости возьмем на этой плоскости точку М(x; y; z) с текущими координатами. Получим вектор 
По условию 
Ответ: 
Пример 2. Даны две точки М1(3; -1; 2) М2(4; -2; -1). Составить уравнение плоскости, проходящей через М1 перпендикулярно вектору 
Решение.
По условию вектор 
является нормальным вектором искомой плоскости 
Уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору 
есть 
или
Ответ: 
Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(3; 4; -5) параллельно двум векторам 
и 
Решение.
Отложим векторы 
и 
в плоскости, проходящей через точку М1, и возьмем на искомой плоскости точку М(x; y; z) с текущими координатами.
 |
Получим, что три вектора 
, 
лежат в одной плоскости, т.е. они компланарны.
Условие компланарности есть равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов.
Ответ: 
Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(2; -1; 3) и М2(3; 1; 2) параллельно вектору 
Решение.
Отложим вектор 
и точку М(x; y; z) с текущими координатами в плоскости, проходящей через точки М1 и М2.
 |
Получим компланарные векторы 
Следовательно, по условию компланарности трех векторов будем иметь:
или 
Ответ:
Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точку М1(3; -1; 2), М2(4; -1; -1) и М3(2; 0; 2).
Решение.
Возьмем на плоскости точку с текущими координатами М(x; y; z), будем иметь векторы 
 |
Эти векторы по условию компланарны. Условие компланарности есть равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов:
или 
Ответ: 
Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(3; -2; 7) параллельно плоскости 
Решение.
Так как искомая плоскость и данная – параллельны, то у них общий нормальный вектор. Таким образом, получим: через данную точку М1 провести плоскость, перпендикулярно данному вектору 
Ответ: 
Пример 7. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям: 
Решение.
Так как искомая плоскость перпендикулярна плоскостям 
и 
, то нормальные векторы 
и 
и вектор 
(М – точка с текущими координатами) – компланарны. Следовательно, 
или 
Ответ:
Пример 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки М1(1; -1; -2) и М2(3; 1; 1) перпендикулярно к плоскости 
Решение.
Так как искомая плоскость перпендикулярна плоскости 
, то нормальный вектор 
отложим в плоскости точек М1 и М2.
 |
Возьмем на искомой плоскости ещё точку с текущими координатами, получим векторы: 
Три вектора 
и 
- компланарны, поэтому 
или 
Ответ: 
Пример 9. Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось Оу и точку М2(1; 4; 3).
Решение.
Так как плоскость проходит через ось Оу, то её уравнение можно взять в виде 
. Плоскость 
проходит через точку М2(1; 4; 3), значит, координаты точки удовлетворяют уравнению. Получаем: , 
к =-3, 
Ответ: 
Пример 10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1(7; 2; -3) и М2(5; 6; -4) параллельно оси Ох.
Решение.
Уравнение плоскости, параллельной оси Ох, имеет вид: 
(коэффициенты B, C, D отличны от нуля). Запишем это уравнение так: 
Так как эта плоскость проходит через точки М1 и М2, то координаты этих точек удовлетворяют искомому уравнению, получаем линейную алгебраическую систему уравнений:
Þ 
Тогда 
или 
Ответ: 
Пример 11. Докажите, что четыре точки А(1; 2; -1), В(0; 1; 5), С(-1; 2; 1), D(2; 1; 3) лежат в одной плоскости.
Решение.
Рассмотрим векторы 
, 
, 
.Если они компланарны, то данные точки лежат в одной плоскости.
 |
Тогда 
Ответ: данные точки лежат в одной плоскости.
Пример 12. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(4; 3; 2) и отсекает на координатных осях положительные отрезки одинаковой длины.
Решение.
Уравнение плоскости в отрезках: 
По условию а=b=c> 0. Тогда уравнение плоскости можно записать 
Так как точка М1(4; 3; 2) лежит в этой плоскости, то её координаты удовлетворяют уравнению: 4+3+2= а, а =9. Следовательно, 
Ответ:
Пример 13. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей 
параллельно вектору 
Решение.
Векторы 
и 
- нормальные векторы данных плоскостей.
Найдем их векторное произведение:
В качестве направляющего вектора прямой пересечения плоскостей примем вектор 
Возьмем какую – нибудь точку на этой прямой, например, М1(х; у; 0), тогда
Û М1(
).
Так как векторы 
компланарны, то 
Þ 
Ответ: 
Прямая и плоскость в пространстве
1) 
каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М0(x0; y0; z0) параллельно направляющему вектору 
2) 
уравнение прямой, проходящей через две данные точки М1(x1; y1; z1) и М2(x2; y2; z2);
3) уравнения 
параметрическое уравнение прямой в пространстве.
4) Пусть даны две прямые, заданные каноническими уравнениями
L1: 
,
L2: 
.
За угол φ между прямыми принимают угол между их направляющими векторами 
:
, или в координатной форме
.
5) 
условие перпендикулярности двух прямых L1 и L2.
6) 
условие параллельности двух прямых L1 и L2 в пространстве.
7) Общие уравнения прямой в пространстве
где коэффициенты А1, В1, С1 не пропорциональны коэффициентам А2, В2, С2. В данном случае прямая задана как линия пересечения плоскостей.
Пример 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямые:
L1: 
, L2: 
.
Решение.
Обозначим точки, через которые проходят прямые L1 и L2 - М1(2; -1; 3) и М2(1; 2; -3). Им соответствует вектор 
 |
Возьмем на искомой плоскости точку М(x; y; z) с текущими координатами, получим вектор 
. Таким образом, три вектора 
и направляющий вектор прямой
компланарны. По условию компланарности трех векторов имеем 
или 
Ответ: 
Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую 
перпендикулярно плоскости 
Решение.
, 
. Данная прямая действительно перпендикулярна данной плоскости:
Следовательно, по условию задачи будут удовлетворять все плоскости, принадлежащие пучку плоскостей, проходящих через эту прямую.
Ответ: 
Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(1; 2; -3) параллельно прямым 
, 
.
Решение.
Отложим в искомой плоскости точки М1(1; 2; -3), М(x; y; z) и векторы 
, 
.
Тогда три вектора 
и 
будут компланарны. По условию компланарности трех векторов будем иметь: 
, т.е.
Ответ:
Пример 4. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М1(1; -1; -3) параллельно прямой 
.
Решение.
Возьмем на искомой прямой точку М(x; y; z) с текущими координатами, тогда векторы 
и 
будут коллинеарные, т.е. 
. Отсюда получаем 
Ответ: 
Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(2; -2; 1) и прямую 
Решение.
По уравнениям данной прямой находим точку прямой М2(1; 2; -3) и направляющий вектор прямой 
.
 |
Получаем три вектора, отложенных в искомой плоскости: 
, 
.
По условию компланарности трех векторов имеем:
или 
Ответ: 
Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую 
перпендикулярно к плоскости 
Решение.
 |
Три вектора 
, 
компланарны только тогда, когда 
или 
Ответ: 
Пример 7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(1; -2; 1) перпендикулярно прямой 
Решение.
 |
Так как искомая плоскость перпендикулярна прямой, заданной общими уравнениями, то нормальные векторы данных плоскостей можно отложить вместе с вектором 
в одной плоскости. Следовательно, векторы 
, 
, 
компланарны. По условию компланарности трех векторов имеем:
или 
Ответ: 
Пример 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(1; 1; -1) и М2(3; 4; 1) параллельно прямой 
.
Решение.
Возьмем на искомой плоскости точку с текущими координатами, получим вектор 
.
 |
Векторы , 
, и компланарны. По условию компланарности трех векторов 
, 
, 
имеем:
или 
Ответ: 
Пример 9. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М0(2; 3; 1) на плоскость 
Решение.
Нормальный вектор 
данной плоскости будет по условию направляющим вектором прямой, проходящей через точку М0(2; 3; 1). Её уравнение 
Ответ: 
.
Пример 10. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М1(3; 2; 1) на прямую 
.
Решение.
1) Составим уравнение плоскости, проходящей через данную точку М1(3; 2; 1) перпендикулярно данной прямой (или перпендикулярно вектору 
- направляющему вектору прямой):
или 
2) Составим уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данную прямую. На данной прямой возьмем точку М2(0; 0; -3). Тогда надо найти вторую плоскость, проходящую через точки М1(3; 2; 1) и М2(0; 0; -3), и параллельно направляющему вектору данной прямой . Имеем 
. Следовательно, уравнение второй плоскости
или 
Найденные плоскости пересекаются по прямой l, которая проходит через данную точку и перпендикулярна данной прямой, поэтому уравнения 
и будут уравнениями прямой l – искомого перпендикуляра.
Ответ:
Пример 11. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М0(-4; 3; 0) и параллельно прямой 
Решение.
Найдем направляющий вектор прямой 
,
Тогда уравнение искомой прямой есть 
.
Ответ: 
.
Пример 12. Найти прямую, проходящую через точку М0(-4; 3; 0) и перпендикулярно к прямым 
и 
.
Решение.
 |
Вычислим направляющий вектор перпендикуляра к плоскости, проходящей через прямую параллельно другой прямой.
Тогда уравнение искомого перпендикуляра будет: 
Ответ: 
Пример 13. Задана плоскость Р: 
и прямая L: 
, причем LÎР.
Требуется найти:
a) угол между прямой и плоскостью;
b) координаты точек пересечения прямой и плоскости.
Решение.
a) 
, 
, 
,
b) Найдем точку пересечения прямой и плоскости.
, или параметрически х =1, у =2t, z =t-1.
Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости, найдем значение t: 1+2t-t+1+1=0; t=-3. Тогда координаты точки пересечения прямой и плоскости будут: х =1, у =-6, z =-4.
Ответ: а) 
b) (1; -6; -4).
Пример 14. Определить косинус угла между прямыми: 
Решение.
Найдем направляющие векторы данных прямых
, 
Ответ:
Пример 15. Найти проекцию точки А(4; -3; 1) на плоскость 
Решение.
8) Найдем уравнение перпендикуляра, проходящего через точку А(4; -3; 1), к плоскости 
Получим 
.
9) Найдем точку пересечения прямой и данной плоскости. Для этого подставим х =t+4, у =2t, z =-t+1 в уравнение плоскости. Будем иметь уравнение относительно параметра t: t+4+2(2t-3)-(t+1)-3=0; 6t=6; t=1.
10) Подставим найденное значение параметра t=1 в параметрическое уравнение прямой, получим х0=5, у0=-1, z0=0.
Ответ: (5; -1; 0).
Пример 16. Найти расстояние от точки М(2; -1; 3) до прямой 
.
Решение.
; найдем 
Ответ:
Пример 17. Заданы скрещивающиеся прямые L1: 
и
L2: 
Найти расстояние d (L1; L2) между прямыми и написать уравнение общего перпендикуляра L к этим прямым.
Решение.
 |
Найдем уравнение плоскости Р, проходящей через прямую L1, параллельную L2. Точка М1(0; 1; -2) лежит на прямой L1 и, следовательно, принадлежит искомой плоско
|
|
