Список используемых источников

Задача №1

 

Дано: вектор напряжённости электрического поля в воздухе изменяется по закону –

 

 

где Е₀=5мВ/м; 10 м^-1; 40 м^-1; f =*10⁶ рад/с задано согласно варианта.

Решение.

Для нахождения вектора напряжённости магнитного поля воспользуемся вторым уравнением Максвелла в дифференциальной форме [1],[2]:

 

 (1)

 

В воздухе векторы напряжённости магнитного поля и магнитной индукции связаны материальным уравнением [1], [2] перепишем (1) в виде:

 

 (2)

 

Вектор напряжённости электрического поля является гармонической функцией времени поэтому можно записать:

 

 (3)

 

 Комплексная амплитуда вектора напряжённости электрического поля:

 

  (4)

 

Учитывая, что комплексная амплитуда вектора напряжённости электрического поля имеет лишь одну составляющую  , то раскроем определитель ротора комплексного вектора (4) по первой строке:

 (5)

 

 Представим комплексный вектор (5) в показательной форме:

 

(6)

 

Выразим из (3) комплексную амплитуду вектора напряжённости магнитного поля:

 

  (7)

 

Представим (7) в показательной форме:

 

(8)

 

 Определим мгновенное значение вектора напряжённости магнитного поля по формуле:

 

 (9)

 

Следовательно, амплитуда напряжённости магнитного поля в начале координат будет равна:

(10)

 

где ₀ = 1,256*10^-6 Гн/м магнитная постоянная

 

 Начальную фазу определим по формуле:

 

(11)

 

Окончательно (9) примет вид:

 

 

По определению вектор Пойтинга находится как векторное произведение векторов электрического и магнитного полей [1], [2]:

 

Рис.1 К определению вектора Пойтинга.

 

 (12)

 

Учитывая, что векторное произведение ортов , получим (12) в виде:

 (13)

 

Тогда согласно (13) амплитуда вектора Пойтинга в начале координат будет равна:

 

(14)

 

Среднее за период значение вектора Пойтинга находится по формуле:

 

  (15)

 

Таким образом, вычислим среднее значение вектора Пойтинга:

 

(16)

Задача№2

 

Дано: R₁=2 мм; R₂=7 мм; R₃=8 мм; I = 5мА.

 

Решение.

Введём цилиндрическую систему координат, с осью аппликат, направленной вдоль оси волновода.

Напряжённость магнитного поля имеет отличную от нуля азимутальную компоненту, модуль которой зависит лишь от расстояния до оси волновода т.е:

 

 (17)

 

Воспользуемся первым уравнением Максвелла в интегральной форме [1],[2]:

 

 (18)

 

Интеграл в левой части (18) может быть найден для произвольного кругового контура по формуле, выражающую зависимость напряжённости магнитного поля от расстояния от центра волновода:

 

(19)

 

 Плотность тока в диапазоне 0 <r R₁ внутреннем проводнике равна:

 

(20)

 

 Для определения напряжённости магнитного поля введём контур L1, радиус которого лежит в указанном диапазоне расстояний, тогда контур охватывает ток:

 

(21)

 

 Приравняем (19) и (21) и выразим магнитную напряжённость и индукцию и получим для r₁=0,5R₁:

 

(22)

 

где для меди, относительная магнитная проницаемость

 

Запишем (22) в векторной форме: 

 (23)

 

В диапазоне расстояний R1< r < R2 контур L2 охватывает полный ток внутреннего проводника (I2 = I). Напряжённость и индукцию магнитного поля на расстоянии r₂ = (R1+R2)/2=4,5мм определим аналогично (22):

 

 (24)

 

Или в векторной форме:

 

 

 (25)

 

Внутри внешнего проводника R2< r < R3 плотность тока определяется как:

 

(26)

 

Контур L3 охватывает ток, равный сумме полного тока во внутреннем проводнике и части тока во внешнем проводнике, взятом с противоположным знаком:

 

I3 I - I*  (27)

Часть тока находится по формуле:

 

 (28)

 

Подставим (28) в (27) и приведём к общему знаменателю:

 

 (29)

 

Приравняем (19) и (29) получим:

 

(30)

 

Из (30) выразим напряжённость и индукцию и запишем сразу в векторной форме для r₃ = (R3+R2)/2=7,5мм:

 

 

В диапазоне расстояний  контур L4 охватывает ток:

 

I4 I -I . (31)

 

Итак, H=B=0, - магнитное поле вне волновода отсутствует.

Задача№3

 

Дано: Размеры волновода  медь t=1,25.

 

Решение.

1. Волной первого высшего типа в прямоугольном волноводе является волна Н²⁰, поэтому условия одноволнового режима имеют вид:

 

они являются частотными границами.

Здесь с=3*10⁸ м/с – скорость света.

2. Поверхностное сопротивление и характеристическое сопротивление заполнения определяются из выражений:

 

 (32)

 

Коэффициент ослабления в волноводе находится по формуле:

 

(33)

 

 где 59,5*10⁶ См/м - удельная проводимость меди;

относительная магнитная проницаемость меди;

_а =₀ = 8,85*10^-12*1 = 8,85*10^-12 Кл/(В*м) ^– абсолютная диэлектрическая проницаемость воздуха внутри волновода.

=

 

для f=2,08ГГц =0,068 м^-1, для f=4,16ГГц =0,00184 м^-1, для f=5ГГц =0,001816 м^-1,

прировняв первую производную по частоте к нулю получим, что =0,001816 м^-1 при f=4,949ГГц

Воспользуемся программой Maple для построения графика.

 

Рис.4.

 

3. Определим параметры основной волны для частоты f = 1,25 =1,25*2.08=2,6ГГц с длиной волны  с/f = 0,115м

Коэффициент ослабления за счёт омических потерь в стенках волновода:

(35)

 

Коэффициент фазы:

 

 (36)

 

Длина волны в волноводе:

 

(37)

 

Фазовая скорость и скорость переноса электромагнитной энергии соответственно:

 

(38)

 (39)

 

 Характеристическое сопротивление равно:

 (40)

 

 

5.Частота волн и их длина равны:

 

 (41)

 (42)

 

Проверим условие  _кр для разных мод

 

Следовательно, могут распространятся на этой частоте волны только типа 10.

 

Список используемых источников

 

1. Ю.В. Пименов, В.И. Вольман, А.Д. Муравцов «Техническая электродинамика», М: «Радио и связь», 2000 г. – 536 с.

2.  Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн. – М: «Наука» 1973г – 607с.